基于小波Mallat算法重构阈值分析

李天祥 白林林 王光斌

摘要：数字图像的有效去噪是图像处理的重要环节， 本文主要研究了利用小波变换和软阈值方法对数字图像去噪的算法。主要通过对标准图像进行快速分解和重构，对原始图像和生成图像之间的关系进行分析，目的找出如何生成更高质量的效果图，图像分解过程中利用小波二次差值分析方法分解图像，利用圆周函数卷积方法对图像进行重构，重构过程中，主要考虑重构图像之间的峰值信噪比（PSNR）和原图像与处理图像之间均方误差之间（RMSE）的关系，并通过设置不同阈值参数（threshold），压缩比忽略程度（rate）越小，分解重构后，信噪比也就越高，重构后的图像更符合人的视觉系统特性。

关键词： 重构；二次差值；峰值信噪比；阈值

中图分类号：TP301 文献标识码：A

文章编号：1009-3044（2019）10-0243-03

开放科学（资源服务）标识码（OSID）：

Algorithm Analysis of Mallat based on Wavelet Reconstruction Threshold

LI Tian-xiang1 ，BAI Lin-lin1 ，WANG Guang-bin3

（1.Sichuan Changjiang Vocational College， Chengdu 610000， China； 2.University of Electronic Science and Technology Institute of Chengdu， Chengdu 610000， China）

Abstract：The effective denoising of digital image is an important part of image processing. This paper mainly studies the algorithm of digital image denoising using wavelet transform and soft thresholding.Based on the standard image fast decomposition and reconstruction， based on the original image and generating images were analyzed， and the relationship between the purpose to find out how to generate higher quality rendering， image decomposition in the process of using wavelet decomposition image quadratic differential analysis method， using the circular function convolution method for image reconstruction， reconstruction process， the main consideration between reconstructed image peak signal-to-noise ratio （PSNR） and mean square error between original image and processing image （RMSE） relationship between， and by setting the ratio（threshold） of the relationship between the two， the smaller the degree of compression ratio to ignore （rate）， decomposition after reconstruction， the higher the SNR ，the image reconstruction more accord with human visual system characteristics.

Key words：reconsitution； two difference value； PSNR； threshold value

隨着计算机应用技术的快速发展，图形图像处理技术获得了飞速发展。图形图像处理过程中最重要环节是去除图像的噪声，其结果会直接影响到图像质量和特征提取的精确性。现实中，由于获取图像的环境、设备及传输过程存在许多不确定因素，这将对后续图像的处理（如特征提取、图像压缩和信号检测等）产生不利影响[1]。基于小波变换的图像去噪算法研究一直是国内外图像处理界研究的重点之一。图像分析和理解首先应考虑对噪声的处理，因此图像的有效去噪是图像信息预处理的重要步骤，在近几十年的国内外研究中，涌现出了大量的图形去噪算法和模型，主要有：高斯滤波、中值滤波、小波变换和DCT变换滤波、各向异性扩散方程模型、全变分模型、双边滤波、非局部平均滤波等[2]，本文主要研究了利用小波变换和软阈值方法对数字图像去噪的算法。经过实验显示，该算法能够取得良好的去噪效果，避免了传统算法的不足。

小波变换被广泛地应用在图像处理的各个环节，由于小波在处理图像局部特征和多尺度（S.Mallat）[3]在研究图像处理工程提出来的特点，因此在图形图像中有广泛的应用，本文主要讨论了多尺度分析在图像合成和分解过程中，阈值的选择问题进行分析。通过对阈值的选取与评估，并对小波系数的统计模型进行了分析比较。Mallat[4]还提出了一种简单的正交小波基构造方法即Haar正交基。蒋英春[5]通过选取信噪比（PSNR），均方误差（RMSE） 和剩余噪声标准偏差（RNSD） 三者之间的关系，分析对图像去噪后，PSNR越大，RMSE和RNSD比值越小，则去噪信号就越接近原始信号，去噪效果和质量就越好。小波变换的优势在于细节的处理，能够自动适应时频信号的要求，解决时间和空间频率局部化分析细节[6]。对于小波理论的应用非常广泛，在数字水印图案的应用上，ROI区域视觉质量进行保护抗低通滤波、抗几何攻击数字水印方案[7]。

1基于小波Mallat重构原理

1.1小波变换的定义

1.2小波变换的分解原理

自然函数包括许多跳跃间断点，斑点噪声的乘性噪声模型在频率域的表现特征比较复杂，处理阈值的方式也会出现复杂的情况[8]，因此我们选择对灰度lena标准图像处理，该图像包含了各种细节、平滑区域、阴影和纹理，进行小波变换。

Mallat 算法[9]王佳在论文中探讨了基于循环卷积的单级小波分解与重构。通过先构造一定的函数空间，将信号F（t）分解到函数空间中进行一定的计算，获取你想要得到的成对采样空间，Mallat小波分解算法图1和小波重构算法图2。

在对二维离散图像进行小波变换时，对每行（列）分别调用一维离散小波变换的 Mallat[10] 快速算法子程序，先对行进行分解（c 平滑分量，d 差值分量），如图 1，再对列进行分解从而得到二维离散信号的一级分解，如图 2；再对新得到的 cc 区域重新进行 Mallat 分解，重复此过程从而得到二维离散图像的多级分解效果如图 3。再对二维图像进行重建过程中，与分解过程完全相反，先对最后一级的列进行重建，再对其行进行重建后得到上一级的 cc，重复此过程直到所有的级全部重建即得到重建恢复后的图像。从0级图片分解到1级分解，到2级分解过程，通过不断的抽样，将差值分量存入输出序列，将平滑分量赋给中间变量，不断重复该过程，直到将最后一级平滑分量存入输出序列，分解过程中具有多层塔式结构文献[11]给出证明，分层结构图如图4所示：

通过对标准lena图像分解后，调用小波函数数据包，小波基（30db），通过参数设置为高通滤波（细节分量）还是低通滤波函数（近似信号），并将增零方式，便于增大分辨率便于观察图像细节，调用傅立叶变化对细节分量和近似分量单独重构，对其他分量置为零的方式，如图5所示，崔丽鸿等人将被分解来取代对加细函数的符号分解[12] ，通过小波包的构造函数，对自适应插值给出较好的处理方法。

1.3 小波分析的重构算法

两个函数的圆周卷积是由他们的周期延伸所来定义的。通过对函数平移某个周期 T 的整数倍后再全部加起来，所产生的新函数，可以有效地降低滤波器的边缘过滤检测效果，Fukuda[13]对通过阈值处理，按照小波系数为中心点，构建3*3像素的窗口，若该窗口内包括非零数值元素，则保留小波的幅值，反之，则小波幅值减去该阈值，较好地处理滤波器的长度和待处理的信号长度之间的关系。

1.4 圆周卷积的算法

一个序列变成L点周期延拓序列，[x2（n）]，[yl（n）]以L为周期的周期延拓序列的主值序列。因为[yl（n）]有[N1+N2-1]个非零值，所以延拓周期L必须满足：[L≥N1+N2-1]。这时各延拓周期才不会交叠，而[y（n）]的前[N1+N2-1]个值正好是[y（n）]的全部非零序列值，即[yl（n）]的值。[y（n）]剩下的[L-（N1+N2-1）]个零值。周期延拓，有效地减少滤波器的边缘效应。本文算法通过将最终将离散的信号经过理由利用圆周卷积定律实现，通常将离散信号添加0补齐成为N个点，然后对N點进行傅立叶计算。对标准图像重构的效果如图6所示。

2 小波重构阈值的选择

在小波变换域对小波系数进行阈值处理， Donoho[14]基于正交离散小波变换推导出来的通用阈值求法，对于不同的小波基，选择的阈值不一样，对于图像的噪声类型不同阈值也会随之改变。提取小波分解结构中的一层的低频系数和高频系数，一种评价图像的客观标准。

（7）

其中，MSE（MeanSquareError）是原图像与处理图像之间均方误差。图像重构之前，先被压缩，压缩后系数为零或者接近为零，由巴塞瓦定理[15]知道这些图像的能量为零，存储过程中，忽略这些能量为零的点，达到图像压缩存储的效果，重构过程中，要将这些为零的像素点，所占的总的像素点的数量，来权衡压缩比例大小，重建的最终目的就是将这些为零的像素点还原的过程，本文算法通过设置统计系数绝对值为零的点占总的变换后全部系数之间的比值或者说（零的个数占总的像素点的个数的比值）通过参数threshold来表示，相应的分析 MSE和PSNR之间关系。并对分解后的图像进行重建，效果如图7，对实验数据分析发现PSNR值越大，通过公式（7）得出MSE越小，像素失真越少，越接近原始图像，画质效果更佳。

通过设置变量threshold，设置指令im（abs（y）< threshold）=0；分别设置threshold为（ 0.0001，0.001，0.01，0.1）进行比较，比较图A-D 对图像重构过程中发现，由于压缩比忽略程度rate（忽略系数与总的系数的比值）不同，导致重建图像细节发生了不同程度的失真。表1内容，当忽略的系数占的rate的值为0.73%时，压缩程度不高，峰值信噪比较高，最小均方误差很小，重建图像也比较理想；当忽略的系数占的rate的值为90.35%时，压缩程度高，但峰值信噪比低，最小均方误差大，重建图像细节变差，虽然在视觉中差异不大，毕竟PSNR的分数无法和人眼看到的视觉品质完全一致。

3结论

实验过程中，主要对标准图像分解和重构，下一步将图像的范围扩转到更多自然图像中，在重构过程中，通PSNR和MSE之间关系，设置threshold比例参数，找到合适阈值对图像重构，与蒋英春[5]研究结论PSNR，RMSE 和RNSD讨论的三者之间关系是相似的，构造较高质量的图片需要折中考虑。最终也是小波函数的消失矩，消失矩越高，将使小波变换之后的高频小波系数越小，小波分解后的能量也就越集中，但并不是消失矩的阶数越高越好，通过设置不同的阈值，最终达到更符合视觉图像的效果图。

参考文献：

[1]王静，王晅，蒋平.基于统计假设测试的噪声方差估计方法[J].计算机工程与应用，2014（21）.

[2]王蓓.基于小波变换的图像去噪算法研究与应用[D].延安大学，2015.

[3] MALLATS.信号处理的小波导引： 稀疏方法[M].戴道清，杨力华，译.北京：机械工业出版社，2012.

[4] Mallat， S. G.， A theory for multiresolution signal decomposition： the wavelet representation. I.E.E.E. Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence，1998

[5] 蔣英春. 离散空间中正交小波分解重构算法的实现[J].计算机应用研究，2013（2）：420-422.

[6] 李杰. 图像的方向多尺度分析及其应用研究[D].电子科技大学，2007.

[7] 张国伟.基于小波变换的图像去噪方法研究[J].昆明理工大学，2014.

[8] 刘春雪.基于小波变换的手机相机图像去噪算法研究[D].东南大学，2016.

[9] 王佳.Mallat算法中有限长信号边界处理问题的研究与应用. Diss. 北京交通大学，2010.

[10] 张洋.基于小波分解的计算机图像去噪算法[J]. 电子科技，2016，（08）：103-105.

[11] 任敏善.基于小波变换的图像融合算法研究[J]. 舰船电子工程，2015，（04）：47-50.

[12] 崔丽鸿，张新敬. L～2（R～s）中插值小波包的分裂技巧和精细分解（英文）[J]. 数学杂志，2005，25（3）：259-264.

[13] Fukuda， S. And Hirosawa， H. Suppression of speckle in synthetic aperture radar images using wavelet. International Journal of Remote Sensing，1998，19（3）：507-519.

[14] Donoho D，Johnstone I， Ideal spatial adaptation by wavelet shrinkage，Technical Report， Department of Statistics， Stanford University，1992.

[15] Curlander J C and McDonough R.Synthetic Aperture Radar System and Singal Processing，NY.Wiley，1991.

【通联编辑：唐一东】