基于最小二乘法的线性与非线性拟合

莫小琴

摘 要：最小二乘法常被用于数据拟合处理以及误差估计中。目前在回归模型的参数估计或称系统的辨识中应用较多，文章主要探讨最小二乘法的基本原理及其两种变形的拟合方法，其中包括线性和非线性两种最小二乘法拟合，并简单介绍两种方法在Matlab中如何实现。

关键词：最小二乘法；线性拟合；非线性拟合；Matlab

最小二乘法最早起源于天文和大地相关数据的测量与预测需求，至今已有200多年的历史，随后被推广应用于其他的科学领域并受到广泛的关注[1]。特别是随着近代矩阵理论的研究不断深入以及电子计算机的飞速发展，使得最小二乘法不断地深入各个研究领域的数据处理中，久盛不衰。在大部分的参数估计以及曲线拟合的问题中，往往要求用确定某些（或一个）未知量，能对所测得的一组观测值进行表征，即对观测值提供很好的拟合，最小二乘法能很好地解决这类问题[2]。

1 最小二乘法的拟合原理

若通过实验或观测获得成批的离散数据，所谓的拟合问题实质上就是为这些离散的数据建立对应的、近似的连续模型，一般建立的连续模型为一个函数表达式或一条曲线。其中插值方法是比较古典的拟合方法之一，由于获取的数据往往是离散的数据点，要建立与之对应的连续模型，插值的拟合方法要求目标函数必须过已知的离散点，从而建立连续函数对非插值点进行近似计算。由于目标函数要求必须过已知离散点，所以拟合出来的图像一般欠缺圆滑度。最小二乘法在拟合问题中，只要求目标函数近似已知离散数据点的分布总体轮廓，并不要求一定要过已知的离散数据点，其拟合精确性在于尽可能地近似已知离散数据点，即与已知数据点的误差按某种意义尽可能的小，通常采用误差的平方和最小的原则，因此，在工程应用实践中，最小二乘法更具有实用性[3-4]。

4 结语

对于大部分的应用领域而言，基于已有的数据建立适当的拟合变量间关系的数学函数模型，是揭示变量间的内在关系必不可少的重要手段，而最小二乘法是一种拟合效果较为理想的拟合方法之一。本文先对最小二乘法的原理进行了论述，再结合Matlab软件进行拟合實现，使得最小二乘法曲线拟合的原理阐述更加直观易懂。如今最小二乘法被广泛应用于各门学科及行业，并在Matlab环境中，程序代码更加成熟、简单，使用起来非常方便，会一直成为科研人员开展研究工作的有效工具。

[参考文献]

[1]施光燕，钱伟懿，庞丽萍.最优化方法[M].2版.北京：高等教育出版社，2007.

[2]张德丰.MATLAB数值计算方法[M].北京：机械工业出版社，2010.

[3]肖悠南.现代数值计算方法[M].北京：北京大学出版社，2010.

[4]李庆扬，王能超，易大义.数值分析[M].4版.北京：清华大学出版社，2001.