船舶型线光顺过程中的数学视角分析

王亚宁　徐刚强

摘 要：数字化船舶型线光顺是船舶企业生产过程中的首要环节，直接影响船体放样，以及后续船舶航海性能、建造进度周期。文章基于沪东HD-SHM2005船舶型线光顺平台，结合数字化软件CAD，从数学理论的视角分析船舶型线光顺的方法。

关键词：型线光顺；数学船舶；NURBS曲线；拟合

HD-SHM2005船舶型线光顺系统是智能化船舶型线光顺软件，极大程度上缩减了企业放样周期，但是在船舶企业的实际光顺过程中，在将原始ACAD设计图导入光顺系统后局部挠度大的、型值点走势不明显的型线发生曲线错乱交叉等的现象，影响设计人员的放样效率及生产进度。船舶型线十分复杂，它既包含了直线、二次曲线，又包含了自由曲线。我们要想寻求光顺错乱型线的方法，不妨从设计型线的方法上入手，船舶型线的优化设计经常要面对大量的型值点，也就是数学上所说的离散点，19世纪后期开始就不断有人摸索用函数来描述船体形状，近年来，随着电子计算机技术的出现和发展，数学船舶数字化智能造船系统也逐步发展起来，那么采用何种数学模型进行离散点处理问题，数值分析中讲到若要找到一条曲线，使得它通过给定点（型值点）可以采用插值方法来解决，如果对准确度要求不用太高，只需找到一条近似地通过给定点的曲线则可以采用逼近的方法来解决，曲线拟合则是一个较好的处理上述两类问题的一个数学方法。近些年，众多科研工作者对此展开研究，也衍生出新的研究方向—数学船舶，主要是研究数学理论及算法在计算机的辅助下如何更好地应用到船舶设计与船舶性能的改善方面。

1 船舶型线光顺的数学进展

型线光顺的数学进展，准确地说是型线设计的数学进展，因为型线光顺的理念我们可以仿照型线设计理念来类比。早在20世纪60年代Schoenberg提出关于B样条曲线的理论基础，因其可以描绘离散数据，B样条曲线逐渐被用到多个学科领域的实验研究中，比如医学、理学，尤其在工学领域处理机械加工等方面受到重视。随着理论研究逐步深入，20世纪70年代，由法国工程师贝齐尔（Bézier）研究了一种曲线生成的方法，利用已知离散点绘制出一条与原图曲线相似度很高的曲线。这种曲线生成的基本思路是：通过平面上给定的几个顶点坐标，可以构造出一个多边形，再将这几个顶点的坐标输入计算机中就可自动生成一条光滑且与原图很相似的曲线，这种方法被称为贝齐尔方法。但是贝齐尔方法存在缺点是局部控制和修改曲线的能力不强。

随后，在贝齐尔用多边形控制曲线形状的启发下，B样条函数也沿用了B样条特征多边形来控制曲线的形状。为了克服贝齐尔方法的不足，在1972—1974年间人们拓宽了贝齐尔曲线，数学理论上面，先是用n次B样条基函数替换了伯恩斯坦基函数，构造了等距节点的B样条曲线[1]。1974年，美国的工程师Gordon与Riesesfeld又将B样条曲线的理论基础应用于描绘几何体中，更加突显了B样条曲线在机械工程上的作用。随着计算机技术的发展，1975年，弗斯普里尔博士在他的毕业论文中提到了在计算机辅助下将B样条曲线应用到几何体的设计中[2]。从此，数学理论与计算机技术的结合受到了众多科研工作者广泛的研究。

B样条曲线拟合算法在保留贝齐尔方法优点的基础上解决了贝齐尔方法的两个典型不足，即形状控制问题和样条曲线的局部性，尤其是在处理自由曲线曲面时表现出了极大的灵活性。但是在表达初等曲线、曲面时不能精确地表示除抛物面以外的二次曲面，比如球形、圆形等封闭曲线、曲面等。

为了解决B样条曲线的缺陷，Cheng等提出了一种基于非均匀有理B样条（Non-Uniform Rational B-Splines，NURBS）曲线的数学理论表达。同时，NURBS理论也在计算机图形学领域获得越来越广泛的应用，NURBS曲线在精確地表达自由型曲线、曲面的同时展示了标准的数学解析式，为曲线的表达与设计、修改完善提供了一个的数学形式。因此，一个统一的数据库就能存储这两类形状信息，通过调整控制顶点和权因子（控制几何连续样条曲线曲面中凹凸程度）两个因素就可以设计出各种形状的几何体，增强了计算的稳定性和效率。同时，NURBS曲线还具备了几何配套技术包括节点插入、细分、消去、升阶、分裂等能用于设计、分析、处理等各个环节，并且在比例、旋转、平移、剪切、平行和透视投影变换下保持稳定性。

随着理论的创新、科技的进步，NURBS技术自身有优点但也存在缺点[3]。优点：（1）可以为标准解析形状也可以为自由型曲线、曲面构造出一个易于表达、设计、计算、后期完善的数学模型，较之前的贝齐尔样条、B样条计算稳定而且快速。（2）通过调整控制顶点以及权因子可以灵活调整曲线的形状。（3）有灵活的几何体处理方法（节点插入、细分、消去、升阶、分裂。（4）在需要进行比例变换、旋转变换、平移变换、和透视投影等变换下保持表达函数的稳定性。

当然，NURBS曲线技术也不是尽善尽美的，实际应用时可以扬长避短。缺点：（1）权因子的不恰当可能会导致很坏的参数化，甚至毁掉随后的曲面、曲线结构。（2）曲面与曲面相结合的位置，不能准确地用此方法来表达曲面刚好接触的情形。（3）某些反求曲面、曲线上点的参数值的时候，存在数值不稳定的问题。

尽管NURBS样条曲线不尽完美，仍然得到了工业领域广泛的青睐，国际标准化组织（International Standardization Organization，ISO）把NURBS作为定义工业产品几何形状的唯一数学方法。NURBS样条曲线技术在船舶曲线、曲面的设计、光顺方面也得到了深入的发展，在船体曲线、曲面初始化设计过程中运用几何方法表达，根据型线等主要数据构造船型曲线，并对船舶型线进行光顺。

2 船舶型线光顺的顺序与思路

在前人工作的基础上，结合实际工作经验，本文总结了船舶型线光顺的顺序与思路。

船舶型线由站线、水线、纵剖线、空间线和型值点组成。在通过ACAD曲线将型线导入HD-SHM2005时，需先导入中纵剖面线、底平线、边平线、舷墙顶线和船体折角线，并对其部分型线的端点进行手工输入，然后对站线、水线、纵剖线挨个导入。光顺的初始数据是原始型值表、边界数据以及一些辅助数据。通常情况下，导入后的型线与初始线型相近，无需调整。但对型值点走向不明显的线型，导入后会出现首尾端点错乱或走向错乱的情况，例如双尾鳍船尾鳍部位的站线，特别是该部位进行站线加密时，经常会出现错乱现象。此时我们分数学理论方面和实际经验方面介绍型线光顺的方法。

船舶型线光顺的方法，数学理论方面，（1）主流手段是采取累加弦长NURBS样条，特别在遇到大挠度曲线时，目前生产实践中的CAD软件都嵌入了NURBS样条SPLINE的拟合曲线功能，NURBS样条曲线的拟合也是需要通过从众多型值点中选择位置和数量都合适的控制点，这一点很多研究文献中都清楚地提到了[1-7]，控制点越多其带来的影响因素就越多，不利于局部线性的控制。通过这些控制点作出满足指定边界条件的光顺曲线并与原始CAD导入图纸对比型线光顺的效果，这样就可以合理地描述船体型线。（2）采用Matlab拟合工具箱对局部错乱的型线采用CTOOL做函数拟合。（3）数学船型的参数化近似[6]，比如利用带有形状因子的指数曲线来拟合流线（对于潜艇和鱼雷），以及变化的型线（对于水面舰船）。（4）用增广Lagrange乘子法进行型线光顺设计，可得到一条光顺曲线，光顺曲线的形状和传统设计方法得到的结果完全相同[3]。

实际经验方面，我们分成了站线模型、纵剖线模型、水线模型、空间线模型、控制点模型5个模型[8]。（1）站线模型，可适当增加水线和纵剖线。（2）纵剖线模型，采用加密纵剖线的方式来控制曲度较大的水线端部。（3）水线模型，增加纵剖线能更好地控制水线。（4）空间线模型，在有折角的位置均增加折角型空间线。尾鳍部位的站线最低点可视情况增加轮廓线。可将底平线和边平线定义成且切点线。（5）控制点模型，将型线端点的预设坐标直接设置在HD-SHM2005光顺系统型值表中的E7H/E7B位置上。

3 结语

数学船舶的研究仍将成为大家研究的热点，数学与计算機的结合在船舶制造、生产、后期维修领域的应用仍将是我们努力的方向。

[参考文献]

[1]王虎.基于B样条的船舶型线设计绘制程序开发[D].武汉：武汉理工大学，2003.

[2]段爱玲.B样条曲线生成逼近及其数控编程加工[D].兰州：兰州交通大学，2018.

[3]于亚如.基于NURBS的船体型线智能化设计[D].大连：大连理工大学，2005.

[4]陈绍平.NURBS曲线及其在船舶型线设计中的应用研究[D].武汉：武汉理工大学，2002.

[5]于德超.船舶型线设计可视化方法研究与应用[D].大连：大连海事大学，2012.

[6]唐晓，齐翔，齐欢.基于数学船型的全参数化船型设计[J].船舶工程，2018（S1）：16-20.

[7]陈绍平，陈宾康.基于NURBS曲线的双艉船型线设计研究[J].中国造船，2001（2）：9-13.

[8]王亚宁，李兰兰.基于HD-SHM2005系统型线光顺的方法研究[J].江苏船舶，2018（4）：1-4，6.