问题表征对数学阅读能力的影响研究

杨红萍，肖志娟



问题表征对数学阅读能力的影响研究

杨红萍1，2，肖志娟3

（1．山西师范大学 教师教育学院，山西 临汾 041000； 2．山西基础教育质量提升协同创新中心，山西 临汾 041000；3．阳泉市第十二中学校，山西 阳泉 045000）

数学阅读是数学学习的一项重要技能，探讨影响数学阅读的因素对指导数学阅读教学具有重要意义．问题表征是个体在阅读过程中将外部信息转化为内部信息，并结合自己的认知结构形成完整的问题空间．研究表明：个体的问题表征能力与数学阅读成绩之间有密切联系；不同问题表征能力学生的数学阅读水平存在显著性差异，问题表征水平越高，其数学阅读能力越好；不同数学阅读能力学生的问题表征能力存在显著性差异，数学阅读水平越高，其问题表征能力也越好．

问题表征；数学阅读；相关性

1 问题提出

阅读是人类社会生活的一项重要活动，是人类汲取知识的主要手段和认识世界的重要途径．数学学习离不开阅读，阅读是数学学习的一项基本技能．目前，国内外学者从数学阅读的内涵、数学阅读的影响因素、数学阅读能力、数学阅读方法以及数学阅读教学等几个方面进行了初步研究．贝尔认为数学阅读和一般阅读大不相同．数学阅读要求读者必须了解每个数学术语和符号的精确含义[1]．邵光华认为，数学阅读过程是一个完整的心理活动过程，包含数学语言（文字、符号、图表等）的感知和认读、新概念的同化和顺应、阅读材料的理解和记忆等各种心理活动因素[2]．胡理华认为数学阅读能力分为认读水平、概述水平、辨析水平、串联水平、领悟水平、研究水平[3]．喻平提出数学能力结构的3个层面：元认知能力、共通任务的能力和特定任务的能力，而数学阅读能力是指阅读、领会和理解数学材料的能力，属共通任务能力成分之一[4]．辛自强认为学生对数学文本的理解至少发生在如下4个层次上：理解词汇和符号、词汇和符号之间的互译问题、在“篇章”水平或者整体水平上理解数学问题、建构合适的问题模型[5]．Österholm认为有符号数学材料的阅读过程是一种特殊的理解过程，需要特殊的读写能力．阅读不同类型的数学材料需要不同的技能[6]．秦麓花指出数学阅读强调数学文本如何说明概念[7]．杨红萍指出数学阅读是从数学文本中获取意义的、积极的认知心理过程，而要获取意义，需要对字符（文字、符号与图形的总称）进行正确编码，对文字、符号、图形3种语言进行正确转译，并且能够对文本进行综合理解[8]．项目组从2008年起，一直致力于对数学阅读深入系统的研究[9-16]，先后对数学阅读障碍、数学语言对阅读的影响、个体CPFS结构和自我监控对数学阅读的影响、数学阅读教学叙事研究等进行了研究．问题表征与数学阅读的相关研究不曾涉及．

问题表征是个体在阅读过程中将外部信息转化为内部信息，明确问题给定的条件、目标和允许的操作，结合自己的认知结构形成完整的问题空间[17]，是问题解决者对具体的问题信息进行感知提取、理解内化、转换表达的认知过程．具体表现如下．（1）通过阅读题目了解已知信息与目标状态．（2）通过联想，激活与问题信息相关的知识经验，其中涉及对相关数学符号、概念、命题等的理解、识别问题类型，以及概括能力和推理能力．（3）在理解的基础上将问题信息进行转换，构建出自己的问题空间，最后选择恰当的方式将其呈现出来．

对问题信息意义的获取必定要经过信息转换．如果对已知信息、目标状态以及需要进行的操作模糊不清，那么就无法对问题进行正确转换．事实上，有不少阅读困难就是源于对问题的不理解，不能将外部信息转换成内部信息，进而不能形成完整的问题空间，在阅读过程中就会出现障碍．

据此提出研究假设——问题表征是影响数学阅读的重要因素．

2 研究过程

2.1 材料

2.1.1 “数学阅读能力测试卷”的编制

在参考其他学者问卷设计的基础上[18-22]，自行编制“数学阅读能力测试卷”．首先，通过理论分析初步拟定数学阅读能力结构成分有13种：词义获得、数感、符号意识、信息筛选、语言互译、空间想象、抽象能力、逻辑推理、合情推理、模型识别、阅读迁移、数学交流能力、阅读元认知．

根据拟定的13种数学阅读能力成分，编制“数学阅读能力结构因素调查问卷”，分别对高校数学课程与教学论教师和一线不同学段的数学教师进行测试，以获得更加完善、准确的成分．问卷采用Likert量表5点记分，要求被试对每一个问题根据自己的理解，选择成分与数学阅读能力的接近程度，数字“5”代表非常接近，数字“1”代表非常不接近．同时，问卷最后设置开放性问题：“除以上因素外，您认为还需要补充的是？”以得到数学阅读能力结构假设成分的补充性意见．

于2017年8月10日通过问卷星平台进行网上调查，样本来自山西、广西、江苏、广东等地高校教师以及不同学段的一线教师．截至2017年9月26日下午6时，共回收问卷139份，其中高校教师38份，一线教师101份．测试结果的数据分析如下．

（1）描述性数据分析，结果见表1．

表1 数学阅读能力结构因素描述统计

注：1到13表示数学阅读能力结构的13种成分．

从统计的基本结果可以看出，每一道题高校教师和一线教师选择4分和5分累加起来比例都达到70%以上，说明他们对问卷中所提出数学阅读能力成分具有较高的认可程度．

（2）对量表进行信度分析，计算可靠性统计量Cronbach系数，得出问卷整体信度系数为0.907，说明此量表具有很高的可靠性，因此本问卷所设置量表的内容可信度较高．

调查结果显示，被试对13个假设成分普遍比较认同．在提出的13种数学阅读能力成分之外，还补充了概括能力、信息整合能力．

而抽象和概括是紧密联系的，抽象是概括的基础，没有抽象就不可能认识数学对象的本质属性，就无法概括．概括是抽象的目的，没有概括，抽象也就失去了意义，概括不仅以抽象为基础，还是抽象的发展，通过概括，能够使抽象达到更高的层次[23]．因此，把“抽象能力”和“概括能力”合并为“抽象概括能力”．

通过理论分析，结合调查结果，对数学阅读能力的成分假设进行适当调整，对意义重复的成分合并整理，最终确定10个成分，这10个成分的名称及含义见表2．

依据以上10个成分假设，从历年中、高考题中，选择适合高三学生的题目，筛选整合，编制“数学阅读能力测试卷”，1，2……10分别对应以上10个成分假设，每一个成分设计成一个分测验，包含测试该成分的2~3题．测验卷共包括22题（小题），每一题重点测学生数学阅读的某一成分．从临汾市的一所重点中学和普通中学各选取一个高三理科班进行预测．得到测验卷分半信度0.801，表明问卷具有良好的信度．各题项与总分之间均在0.01水平上存在显著性相关，表明各亚维度都对总分做出贡献．

表2 数学阅读能力结构10成分及其具体涵义

数学阅读能力的因素确定采用“活动—因素分析法”．因素分析法是把一组反映事物性质、状态、特点等的变量简化为少数几个能够反映出事物内在联系的、固有的、决定事物本质特征因素的统计分析方法．西方的因素分析法未能解决测验设计与结果解释的客观性问题[24]．苏联学者提出了以活动为中心的、研究能力结构的活动分析法．首先对与某能力有关的活动进行分析，据此提出该能力结构模式的假设，然后按照所设想的能力结构因素设计相应的实验作业，让能力不同的被试个别完成，并对他们的完成过程进行定性分析，以检验原先所设想的能力结构因素是否符合实际，最后确定能力结构[25]．这种方法是直觉的、经验的，难以保证能力结构的完整性及结构中因素组合的合理性．

为了克服以上两种研究方法的局限，莫雷综合了因素分析法和活动分析法的优势提出“活动—因素分析法”[25]．“活动—因素分析法”认为，能力是在个体的活动中起调节制约作用的，具体地对个体完成各种分测验的过程作定性的分析研究，便可以揭示调节这些活动的内隐的心理特质．因此，可以将对各因素有高负荷的分测验内容分别编制成相应的个别作业，让学生个别完成，对过程作定性分析，揭示其心理机制，据此对因素作出解释，称为活动鉴别法．

通过“活动—因素分析法”最后确定高三学生数学阅读能力的结构为8个因素，分别为概念理解能力、抽象概括能力、阅读推理能力、语言互译能力、直观想象能力、阅读迁移能力、阅读元认知能力和信息整合能力．

研究从测试卷中选出与这8个因子相关的题目，形成“数学阅读能力测试卷”共18题（小题）．题型为不定项选择题和简答题，总分共112分，每一因素总分14分．其中1、10①、12①测试概念理解，4①、5②测试抽象概括，5①、11①测试阅读推理，2、3、13测试语言互译，7、8测试直观想象，4②、10②测试阅读迁移，11②、12②测试阅读元认知．6、9测试信息整合．整套测验限定完成的总时间为45分钟．

2.1.2 “数学问题表征测试卷”的编制

借鉴喻平问题表征的测试题[26]，如下：

已知A、B相距20千米，甲、乙两个物体分别位于A、B两点，同时分别向C点和D点作匀速直线运动，=12 km/h，=2，20分钟后甲、乙分别到达C、D两点，求C与D之间的距离．（此题为开放性试题．要求：详细写出分析思路和解答过程）

选取该数学问题作为测试材料，原因是：

①这一问题可从直线几何、平面几何、空间几何3个层面进行表征．如果表征为直线几何，即答案有4个，分别为8千米，16千米，24千米，32千米．如果表征为平面几何或立体几何，即答案为8≤S≤32（S为CD间的距离），即有无穷多种答案．这样，通过测试就可以考察学生对问题隐含信息的提取与理解，另外通过学生的不同层面表征，可以更好地判断学生的问题表征能力水平．

②该问题属于开放题，难度适中，而且也不受问题熟悉度的影响．

该测试卷总分12分，计分方法如下：

因为问题答案为8≤S≤32，即该答案有无数个，所以采取分情况计分．

① 若被试考虑的是直线几何，则答对一种情况得1分．

②若被试只画出平面图，未讨论求得答案，得5分；若被试在空间上只画出图，未讨论求得答案，得6分；若被试考虑的是平面几何且经过讨论答案也正确，得10分；若被试考虑的是空间几何且经过讨论答案也正确，得12分．

③ 若被试考虑了直线几何、平面几何（或空间几何），那么最后以平面几何（或空间几何）结果计分；若被试讨论了平面与空间的情形，那么空间正确计12分，否则平面正确计10分．

另外，测试题附有6个问题构成问卷，每题2分．①该题的已知条件有哪些？②你认为该题比较关键的信息是什么？③题目中“甲、乙两个物体”该如何理解？④你是如何确定20分钟后C、D的位置关系的？⑤当你读完题目后，是否想到通过画图来描述这个问题？⑥如果想到画图来描述此问题，那么请将你所画的图呈现出来．其中题目①②测试问题信息的提取，题目③④测试问题信息的理解内化，题目⑤⑥测试问题信息的转换表达．

2.2 程序

“数学问题表征测试卷”和“数学阅读能力测试卷”均利用学生自习时间进行，在三周内完成测试．正式测试前都进行预测，并在预测的基础上发现问题进行修正，并最终确定“数学问题表征测试卷”的测试时间为25分钟，“数学阅读能力测试卷”的测试时间为45分钟．测试过程由班主任监督完成．最后，使用SPSS 22.0进行数据统计处理．

选取临汾市L中学高三年级理科3个班的学生，共131人．两份测试卷各发放131份，收回有效测试卷各118份．

3 研究结果

3.1 数学问题表征与数学阅读能力的相关性分析

数学问题表征与数学阅读能力的相关性分析见表3．数据显示，问题表征的3个维度——问题信息的提取（1）、问题信息的理解内化（2）和问题信息的转换表达（3）与数学阅读能力（）之间存在显著相关；数学阅读能力的8个成分（1—8）与问题表征（）之间存在显著相关；问题信息提取与概念理解（1）存在0.05水平上的显著相关，与数学阅读能力的其它成分（除抽象概括2）存在0.01水平上的显著相关，问题信息理解内化、问题信息转换表达均与抽象概括存在0.05水平上的显著正相关，与数学阅读能力的其它成分存在0.01水平上的显著相关．

以上数据分析表明，个体数学问题表征能力与数学阅读能力总成绩之间存在显著相关，各亚维度之间也密切相关．

表3 数学问题表征与数学阅读能力的相关性分析

注：**表示在0.01水平上显著相关，*表示在0.05水平上显著相关．

3.2 不同数学问题表征能力学生的数学阅读能力水平分析

首先将118名被试按数学问题表征测试成绩分为3组：10~12分（38人）为高分组，4~6分（41人）为中分组，4分以下（39人）为低分组．3组被试的平均数学阅读成绩分别为：高分组83分，中分组73分，低分组54分．将数学问题表征能力作为自变量，进行单因素方差分析．结果如表4、表5所示．

表4 不同问题表征组数学阅读成绩的方差分析

表5 不同问题表征组数学阅读成绩多重比较

注：*表示均值差的显著性水平为0.05．

从表4、表5可以看出，=55.574，=0.000<0.01，所以在=0.01水平上，检验达到显著水平，表明3个问题表征组的数学阅读平均成绩之间有显著性差异．每两组之间的数学阅读成绩在0.05水平上存在显著差异．说明问题表征水平高的被试其数学阅读水平也高，问题表征水平低的被试其数学阅读水平也低．

3.3 不同数学阅读能力学生的数学问题表征水平分析

同样，将118名被试按照数学阅读测试成绩分为3组：83分以上（37人）为高分组，62~83分（45人）为中分组，62分以下（36人）为低分组．求出被试的问题表征测试成绩平均分：高分组8分，中分组6分，低分组3分．以数学问题表征成绩为因变量进行单因素方差分析，结果如表6、表7所示．

由表6、表7可知，=44.875，=0.000<0.01，说明数学阅读水平高分组、中分组和低分组的问题表征成绩在0.01水平存在显著差异．每两组之间的数学问题表征成绩在0.05水平上存在显著差异．说明数学阅读水平高的被试其问题表征水平也高，数学阅读水平低的被试其问题表征水平也低．

表6 不同数学阅读能力组问题表征成绩的方差分析

表7 不同数学阅读能力组问题表征成绩多重比较

注：*表示均值差的显著性水平为0.05．

3.4 问题表征对数学阅读能力的回归分析

数学问题表征与数学阅读能力的散点图如图1所示，可以得出结论：数学问题表征与数学阅读线性相关．表8、表9、表10是数学问题表征对数学阅读能力的回归分析．

由表8模型汇总得知，=0.875，经过调整后2为0.766，表明因变量的变化76.6%是由自变量引起的，即数学问题表征水平能较好地反映数学阅读水平．

由表9得=0.000<0.01，回归方程高度显著，即建立的回归方程有意义．由表10可知常数项和“数学问题表征”都是有统计学意义的，由此得出数学问题表征与数学阅读的回归方程为数学阅读=5.597数学问题表征+34.954．

图1 问题表征与数学阅读能力的散点图

表8 模型汇总

注：自变量为数学问题表征．

表9 方差分析

注：自变量为数学问题表征，因变量为数学阅读．

表10 回归系数检验

注：因变量为数学阅读．

4 讨论

研究表明，问题表征是影响数学阅读的重要因素．具有优良的问题表征能力的学生，其数学阅读水平比较高．一个适宜的表征应该满足3个条件：表征与问题的真实结构相对应；表征中的各个问题成分被适当地结合在一起；表征结合了问题解决者的其它知识[27]．在阅读过程中，问题表征能力高的学生，能够将外部信息转化为内部信息，能够挖掘题目中的隐含条件，并与认知结构联系起来，迅速构建已知与未知的桥梁，达到对问题的准确理解．相反，问题表征能力弱的学生，不能正确识别问题类型，难以对信息进行正确转换，最后表现为理解失败．

数学阅读能力高的学生问题表征水平也高．数学阅读是从数学文本中获取意义的、积极的认知心理过程，需要对文字、符号与图形进行正确编码和转译，并且能够对文本进行综合理解[8]．字符编码、文字转译、综合理解是对问题正确表征的前提．辛自强认为学生对数学文本的理解至少要理解词汇和符号，理解词汇和符号之间的互译，从“篇章”或者整体水平上理解数学问题，并建构合适的问题模型[5]，这也是完成问题表征的过程．因此，数学阅读水平高的被试问题表征能力也高．

5 结论

（1）个体的问题表征能力与数学阅读总成绩之间存在显著相关，各亚维度之间也密切相关；

（2）不同问题表征水平学生的数学阅读成绩在0.01水平上存在显著差异，问题表征水平越高，数学阅读成绩越好；

（3）不同数学阅读水平学生的数学问题表征成绩在0.01水平上差异显著，数学阅读能力越高，问题表征成绩越好；

（4）数学问题表征水平能较好地反映数学阅读水平．

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The Influence of Problem Representation on Mathematics Reading

YANG Hong-ping1, 2, XIAO Zhi-juan3

(1. College of Teacher Education, Shanxi Normal University, Shanxi Linfen 041000, China; 2. Shanxi Basic Education Quality Promotion Collaborative Innovation Center, Shanxi Linfen 041000, China; 3. No.12 Middle School in Yangquan, Shanxi Yangquan 045000, China)

Mathematics reading was an important skill in mathematics learning. It was important to explore the factors that influence mathematics reading. Problem representation is the transformation of external information into internal information in the process of reading and the formation of a complete problem space based on one’s own cognitive structure. The research showed that there was a close relationship between individual problem representation ability and mathematics reading achievement. There were significant differences in the level of mathematics reading among students with different problem representation ability. There were significant differences in the problem representation ability of students with different mathematics reading ability. The higher the level of mathematics reading, the better the problem representation ability was.

problem representation; mathematics reading; correlation

2019–01–07

教育部人文社科规划基金项目——数学阅读能力：结构与发展研究（16YJA880056）；山西基础教育质量提升协同创新中心规划项目（XTB1608）；山西省教育科学十二五规划项目——中小学生数学阅读能力发展研究（GH-15015）；山西师大“中学数学教学论”优质课程建设项目（2016YZKC-08）；山西师大教改创新项目——交互式教学模式在“中学数学教学论”中的实验研究（2017JGXM-32）

杨红萍（1969—），女，副教授，博士，硕导，主要从事数学课程与教学论研究．

G451.6

A

1004–9894（2019）02–0070–05

杨红萍，肖志娟．问题表征对数学阅读能力的影响研究[J]．数学教育学报，2019，28（2）：70-74．

[责任编校：张楠、陈隽]