立几搭台 “三角”唱戏*——从浙江省“9+1”联盟的一道测试题说起

(凤鸣高级中学，浙江 桐乡 314500)

立体几何是高中数学的重点内容，也是高考考查的难点之一，尤其是空间角的大小问题，更是成了近几年高考的“宠儿”.学生对空间几何图形的认识、处理和思想方法的选择，直接显示了对立体几何知识的掌握程度和运用水平，而当他们遇到角度问题时，更是头痛不已.在最近一次浙江省高二“9+1”联盟考试中，在倒数第二个填空题(第16题)安排了一道立体几何题，令人意想不到的是，测试成绩远低于难度更大的最后一道填空题(第17题).不妨先看一下参加联考的10所学校这两道题的平均得分情况(每道题总分均为4分,如表1).

表1 10所学校最后两道填空题的平均得分

从表1中可看出，除了一所学校外，其余学校第16题的得分都明显低于第17题.究竟是何原因导致难度不如第17题的第16题反而失分严重呢？通过这道测试题反映出刚学立体几何的高二学生处于什么层次的几何思维水平？这又给立体几何教学带来了什么启示？

1 考题呈现

(2018学年第一学期“9+1”高中联盟期中考试高二数学试题第16题)

图1 图2

2 解答剖析

2.1 学生答题“三重门”

2.2 正解剖析

图3

当点D运动到点Q时，

从而

于是

3 考题背景与来源

3.1 命题者意图

此题隐含着立体几何3个空间角的背景，而这正是命题者的意图，着重考查学生是否深刻理解3个空间角的概念及相互关系.

背景1线线角与线面角的大小关系.

结论1已知一直线与平面内任一直线所成的所有线线角中，与射影所成的夹角(即线面角)是最小的.

说明如图4，由三余弦定理cosθ=cosθ1cosθ2可知θ1≤θ.这说明平面外的一条斜线和它在平面内射影所成的角是这条斜线和平面内任一条直线所成角中最小的角.

图4 图5

背景2线面角与面面角的大小关系.

结论2已知两个平面，一个平面中的一条动直线与另一个平面所成的所有夹角中，当形成的线面角是二面角的平面角时最大.

说明如图5，在平面α内的任一直线上取OP，假设点O固定在交线l上，且保持OP长度不变，则在线段OP变化的过程中，点P的轨迹是个半圆，显然点P到平面β的距离越大时线面角就越大，因此当OP⊥l时，线面角达到最大，而此时所成的角恰好正是二面角α-l-β的平面角.

至于线线角与面面角的大小关系，没有固定结论，要看它们具体的位置关系才能确定.

3.2 考题根源揭示

根据立体几何中“三角”的大小关系解题，可追溯到以下高考试题.

图6

例2如图6，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练.已知点A到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面上的射线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰角θ的大小.若AB=15 m，AC=25 m，∠BCM=30°，则tanθ的最大值是______(仰角θ为直线AP与平面ABC所成角).

(2014年浙江省数学高考理科试题第17题)

当时大多数人采用的都是代数中的函数法，先写出tanθ的函数解析式，再求最大值.若掌握了上面的结论，就能很快解得.因为θ是AP与地面所成的角，直线AP在面MAC上运动，所以求tanθ的最大值，即求θ的最大值.由结论2知，当θ是面MAC与地面所构成的二面角的平面角时最大，于是这道题可直接转化为求P-AC-B的二面角.

图7

如图7，过点B作BD⊥AC于点D，过点B作PB⊥BC，联结PD，则∠PDB即为P-AC-B的平面角.在Rt△ABC中,

因此

3.3 立体几何中的“三角”成了主角与网红

图8

立体几何中3个空间角的大小关系成了浙江省近两年高考、学考或高三模拟考的网红题，这反映了命题组的观点：厘清这“三角”的关系是立体几何的重点内容之一.

例3如图8，已知三棱锥D-ABC，记二面角C-AB-D的平面角是θ，直线DA与平面ABC所成的角是θ1，直线DA与BC所成的角是θ2，则

( )

A．θ≥θ1B．θ≤θ1C．θ≥θ2D．θ≤θ2

(2017年浙江省数学高考样卷第9题)

例4已知四棱锥S-ABCD的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB上的点(不含端点).设SE与BC所成的角为θ1，SE与平面ABCD所成的角为θ2，二面角S-AB-C的平面角为θ3，则

( )

A．θ1≤θ2≤θ3B．θ3≤θ2≤θ1

C．θ1≤θ3≤θ2D．θ2≤θ3≤θ1

(2018年浙江省数学高考试题第8题)

图9

例5如图9，四边形ABCD为矩形，沿AC将△ADC翻折成△AD′C.设二面角D′-AB-C的平面角为θ，直线AD′与直线BC所成角为θ1，直线AD′与平面ABC所成角为θ2，当θ为锐角时，有

( )

A．θ2≤θ1≤θB．θ2≤θ≤θ1

C．θ1≤θ2≤θD．θ≤θ2≤θ1

(2018年11月浙江省数学学考试题第18题)

4 归因分析与几何思维水平

4.1 4种错误类型

学生在做这道涉及“三角”关系的题目时失分严重，有必要详细分析其错误原因.借鉴学者王光明教授关于解题错误的4种类型[1]，具体划分见表2.

表2 4种解题错误类型划分

根据学生答题的3个层次，再结合对部分学生的访谈情况，笔者分析出学生解题的错误类型及原因如下：

4.2 归因分析

2)“定形”薄弱缺想象.学生的空间想象能力较差，对现实世界中的各种图形及其位置关系的直观感知不够，缺乏对立体几何图形进行切割、旋转、翻折、拉伸、补形等的处理能力，直观想象素养薄弱，思维混乱.比如想象不出考题中直线BD在旋转过程中所形成的图形，属于逻辑性错误与策略性错误.

3)“定量”计算欠精细.学生缺乏数感，不会降低维度，在三维空间中找不出二维平面的量化关系，同时计算能力较差，不能通过数据运算找到图形规律，或想不出从哪个角度去突破，欠缺计算的途径与方法，属于策略性错误，当然也有习惯性错误.

4)综合应用少关联.学生不能很好地把握前后知识点之间的内在逻辑联系，孤立地认知,缺少关联意识.比如题目中求的是线面角，而题中所给直线的旋转，涉及空间几何体中旋转体的概念，学生不能很好地联系起来进行综合应用，属于认识性错误与逻辑性错误.

4.3 几何思维水平的衡量

1)范希尔的几何思维水平发展理论.荷兰学者范希尔曾将几何思维发展水平划分为5个层次[2]，并形成了一整套理论体系，其基本特征和对应的水平层次如表3.

表3 范希尔的几何思维发展5个水平

由表3可知，范希尔的几何思维水平层次是从低到高循序渐进发展起来的，一旦学生具备较低水平的许多能力，就能逐渐发展到高一层次的水平.当然，如果学生到了更高层次的思维水平再回头俯视前一水平，就能进一步加深对前面水平的认识和理解.范希尔认为这些不同水平的递进发展，主要依赖于教学干预，即通过教学来推动学生的不同层次逐步上升，这为几何思维水平的发展和培养提供了理论依据.

2)学生的几何思维水平.根据学生对测试题的回答，也可以大致判断出刚开始学习立体几何的高二学生的思维水平.给出第一类答案的学生，其几何思维只停留在最低层次的“直观水平”，思维既不严密也不清晰；给出第二类答案的学生，其几何思维高了一个层次，达到了“描述分析水平”或“抽象关系水平”，因为这类学生已有了一定的推理且厘清了概念范围，但终究缺少了严谨的计算或推导；给出第三类答案的学生，则已达到了“形式演绎水平”或“严谨水平”，这类学生的空间想象能力强，已不需要借助实物模型来推导，做到了纯几何的形式推理与操作.

总的来说，刚学立体几何的高二学生，其几何思维水平还不高，大多数处在从最低层次逐步过渡到中间层次的水平，只有少部分学生直接达到了最高层次水平.这就需要教师在教学中不断反复训练，辨清概念与各知识点间的内在逻辑关系，依靠教学进一步推动学生的几何思维发展水平.

5 教学启示

启示1重视数学概念教学.

李邦河院士曾说：“数学根本上是玩概念的.”这说明了数学概念对数学学习的重要性，因为离开了概念，一切就成了无源之水、无本之木,所以要想让学生学好数学，教师首先要重视概念教学.而根据学生回答测试题的归因分析可发现，教师显然没有对概念教学引起足够的重视.一线教师在日常的课堂教学中，由于教学任务大、课堂时间紧，为了能腾出更多的时间进行解题训练，往往是“一个定义、三项注意”地一带而过，弱化了概念的教学，结果使学生一知半解，题型一有变化就不会了，事倍功半.

启示2基于教材又不拘泥于教材.

教师既不能脱离教材自顾自地教，也不能拘泥于教材照本宣科，而要创造性地使用教材，进行二次开发.应根据学情结合考纲，对教材内容进行灵活处理，善于内引外延，丰富教学内容，努力拓宽知识面.比如补充立体几何3个空间角的大小关系，以拓展学生思维弹性.再如三垂线定理，课改以后教材删去了三垂线定理，目的是为了给学生减负，可实际上并没有做到，因为学生为了得到线线垂直需通过线面垂直的判定定理和性质定理才能得到.因此这样的“减负”只停留在内容形式上，在思维上反而是“增负”，而且也不利于学生用几何法去寻找线面角和二面角的平面角.

启示3挖掘教材中各知识点之间的内在联系.

众所周知，数学知识间都是相互关联的，它不是孤立状的碎片化单点结构，而是网络状四处联通的多元结构，于是就形成了数学知识的连贯性和整体性.根据前面的分析，高二学生的几何思维水平还处在中间层次，因此更应加强立体几何中各知识点间的关联.比如线线角、线面角、面面角之间存在着的密切逻辑联系.如果只注重局部或单个知识点的教学，学生便无法及时掌握数学知识的连贯性，缺乏解题的灵活性.总之，教师应引导学生挖掘教材中各知识点之间的内在联系，真正把握知识的本质，提高解决问题的能力.

启示4加强数学思想方法的渗透.

方法是术，思想是道.只有走“正道”，强调数学思想才能提高学生的解题能力，做到事半功倍.因此一线教师在授课时，要将数学知识产生过程中蕴涵着的数学思想渗透给学生，以“思想为经，方法为纬”，抓住数学教学的“魂”.比如立体几何这一章节内容，在教学过程中特别要注意培养学生的数形结合思想、转化与化归思想和降维思想，才能让学生以不变应万变，应对自如.

启示5注重数学核心素养的培养.

《普通高中数学课程标准(2017年版)》已明确提出了六大核心素养，并将“学生发展为本，立德树人，提升素养”作为基本理念.因此如何将核心素养在课堂上落地是教师每节课都要思考的问题.以立体几何教学为例，应该多注重培养学生的数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学建模和数学运算等核心素养.让学生在高中数学学习过程中，能运用多种思维方式和多种能力解决数学问题，这对于加强学生的理性思维和提高数学能力有着重要作用.

《中学教研(数学)》“2019年高考试题评析”征稿启事

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