发现物理学中的对称美

邵韬

【内容摘要】在弹性边界的圆形磁场中，若带电粒子能从某一位置进入，且能从同一位置出射，入射速度的取值一般存在多解，对应了不同的运动轨迹。本文对此问题进行分析归纳，以期为高中师生对该类问题的设计及研究带来帮助。

【关键词】磁偏转 运动轨迹 速度多解

一、问题提出

如图1，半径为R的绝缘圆筒中存在匀强磁场，磁感应强度为B，磁场方向垂直纸面向里，筒形场区的边界由弹性材料构成（离子和筒壁的碰撞无能量和电荷量的损失）。一质量为m，电荷量为q的正离子（不计重力）从筒壁上的小孔M进入筒中，与筒壁发生了多次碰撞后，离子能从M孔射出。现讨论当入射角θ一定时，入射离子速度v的取值情况。

二、正离子的运动情况

（1）记离子从入射到出射的总碰撞次数为n，出射时也认为发生一次碰撞。令入射点为M，第n次碰撞位置为Mn（n∈N*）。令正离子的入射角θ（-90°<θ<90°），当入射速度v偏向右时θ取正。设正离子在磁场中运动的轨迹半径r，轨迹的圆心P;

（2）如图2为正离子从入射到第一次碰撞前的运动轨迹圆弧MM1，碰撞中无能量和电荷量的损失，碰撞前后速度大小不变，方向与半径OMn之间的夹角恒为θ;

（3）记每一段圆弧轨迹所对应的圆筒磁场的圆心角α，运动圈数为k。

若经过n次碰撞正离子能从M點射出，必然满足：nα=2πk（n，k∈N*）（1-1）

对ΔOPM应用正弦定理：Rsin（90°+θ-α/2）=rsin（α/2） （1-2）

由式（1-1）和式（1-2）得正离子运动轨迹半径：r=1cosθcot（kπn）+sinθ·R（1-3）

洛伦兹力提供向心力：qvB=mv2r （1-4）

由式（1-3）和式（1-4）得入射速度：v=1cosθcot（kπn）+sinθ·qvBm（1-5）

图2

三、运动圈数k与碰撞次数n的取值情况

（1）正离子在磁场中因洛伦兹力作用而偏转，碰撞位置M1不可能到达速度延长线与圆筒边界的交点N，则：a<π+2θ（2-1）

代入式（1-1）有：k<（12+θπ） n （2-2）

（2）若正离子自M点进入磁场后，能再次回到M点，必定直接从M点出射，要求正离子的运动轨迹不能重合，n和k不应存在最大公约数c，即n和k互质！

四、θ=30°入射粒子的运动轨迹赏析

【参考文献】

[1]陈杰.带电粒子在磁场中运动问题多解性的分析与思考[J].高中数理化，2015（24）：27.