浅谈含绝对值不等式解题技巧

贺敬

【摘要】含绝对值不等式的题型是高考物理中比较常见的一类题型，这类题型由于难度不高，属于送分题型，需要确保解题的准确率以及保证一定的解题速度，这需要学生掌握一定的解题方法以及特定的解题技巧.本文简单地阐述了常见绝对值不等式的一些解题技巧，希望能给广大学生的学习带来帮助.

【关键词】绝对值不等式;几何法;定义法;分类讨论法

一、有关定义法求解绝对值不等式

分析：利用定义法求解含有绝对值的不等式，即利用|a|=a（a>0），0（a=0），-a（a<0）， 出发点是将绝对值先去掉后再进行求解.

例1 解关于含有x的绝对值不等式|ax-2|<4，其中a∈R.

解 |ax-2|<4属于|x|0）型，

∴-4

当a>0时，-2a

当a<0时，-2a>x>6a，

当a=0时，不等式实际转化为-2<6，显然x∈R.

因此，a>0时不等式解集是x-2a

点评 利用定义法求解含有绝对值的不等式实际是根据不等式右边常数是正数、零还是负数，将不等式左边的绝对值去掉，然而求解不含有绝对值的不等式，再进行求解.但是，要注意分类讨论时千万别漏掉一些情况.

二、有关几何法求解绝对值不等式

分析：几何法求解含有绝对值的不等式，又称为数轴法或者图像法求解含有绝对值的不等式.

例2 求解含有绝对值不等式|x-1|+|x+1|≥5的解集为.

解 利用数轴法定义：从几何意义方面去考虑|x-1|表示的几何意义是x到1的距离，|x+1|表示的几何意义为x到-1的距离，原不等式的几何意义是求x到1的距离及到-1的距离之和大于等于5，观察数轴：

当x位于-1与1之间时，x与1的距离及与-1的距离之和为2，即|x-1|+|x+1|=2;当x在1的右边时，取x=2.5，有x到1的距离及到-1的距离之和为5，即|x-1|+|x+1|=5，因此，当x≥2.5时，有|x-1|+|x+1|≥5.同理，当x在-1的左边时，取x=-2.5，有x到1的距离及到-1的距离之和为5，即|x-1|+|x+1|=5，因此，当x≤-3时，有|x-1|+|x+1|≥5.

综合以上可得x∈（-∞，-2.5]∪[2.5，+∞）为所求解.

点评 利用数轴法的解决含有绝对值不等式的关键是将分界点找出，然后利用距离的思想找出符合题意的方法，数轴法解题的速度是最快的，但应用范围较窄，一般仅限于含有两个绝对值不等式的求解.

三、有关分类讨论法求解绝对值不等式

分析：通过合理的分类来将不等式中的所有绝对值去掉，从而有效方便地求解不等式.|x-a|+|x-b|≤c型绝对值不等式的解题步骤是：

（1）假设每个具有绝对值的等式代数和为零，并求出相对应的解;

（2）将这些所有的解按从小到大排序，并把这些解分为若干个区间（类似于几何法）;

（3）由所分区间去掉绝对值符号后，所组成若干个不等式，解这些不等式，求出所有可能的解;

（4）取各个不等式解集的并集求得原不等式的解集.

例3 不等式|x+3|-|2x-1|

解 ① 当x<-3时，原不等式化为-（x+3）-（1-2x）

② 当-3≤x<12时，原不等式化为（x+3）-（1-2x）

③ 当x≥12时，原不等式化为（x+3）-（2x-1）2，∴x>2.

因此，绝对值不等式的解集为xx<-25或x>2.

点评 分类讨论法解决绝对值不等式是一种通用的方法，所有的绝对值不等式都可以用此类方法进行求解.分类讨论时要将所有的临界点都分析清楚，要全不能漏掉，将临界点考虑清楚后可以将绝对值符号全部去掉，从而化简为一般的不等式，最后将所有的解都求解出.

四、结束语

含有绝对值的不等式是高中数学一个较为常见的知识点，也是高考数学的一个送分题，需要好好把握.本文主要阐述了定义法、几何法以及分类讨论法求解含有绝对值的不等式，其所有方法的核心思想是将绝对值符号去掉，转化为不含有绝对值的不等式，再进行求解即可.