找准不变量，巧解浓度难题

小聪明最爱喝可乐了，那甜甜的味道、沙沙的口感总能把他的抵抗力降到最低。这可愁坏了父亲大聪明，既不能断了小聪明的唯一乐趣，也不想让他喝太甜的。没办法，只好请老聪明出马。老聪明想到一个好主意：对市场上几种可乐进行大PK，给小聪明评选出含糖最少的可乐！

可乐大PK，PK的就是可乐中糖的含量，也就是糖的浓度问题。

浓度问题属于百分数应用题中的一种。学习浓度问题，首先要弄清楚几个概念：溶质、溶剂、溶液和浓度四个最基本的概念。

溶质：就是溶解在溶剂里的物质，盐水中溶解在水中的盐就是溶质;

溶剂：就是溶解溶质的液体或气体，水就是溶剂;

溶液：就是溶质和溶剂的混合物，盐溶解在水中，最后形成的盐水，就称为溶液。

浓度：就是溶质在溶液里所占质量的比例。

随后，老聪明给出了这四个数量之间的数量关系和计算公式：

溶液质量=溶质质量+溶剂质量

浓度=溶质质量÷溶液质量×100%

溶液质量=溶质质量÷浓度

溶质质量=溶液质量×浓度

“去吧！绝大部分浓度问题都是利用这几个基本公式来解题的。只要记住这些，解决区区浓度问题根本不在话下。”

12月6日 星期五 天气：晴

“我爱数学。英语也许会欺骗我，语文也许会折磨我，但数学不会。数学不会就是不会！”张启铭同学摇头晃脑，像是受了什么刺激，走一步念叨一句。

“喂！小铭，怎么了？”我打趣道，“让人煮了？”

“没错，就是数学题这个讨厌的‘厨子’，煎、烤、烹、炸给我来了个遍。”启铭就像抓到救命稻草一样，双眼放光，对着我大吐苦水。

“我明白了！哈哈！”我大笑起来，“来来来，让我看看这个‘数学厨师’长什么样子？我来帮你收拾它。”

数学厨师

有一瓶200克的糖水，糖的质量占糖水的20%，加了一些水后，糖的质量占糖水的12.5%。问：加了多少克水？

“原来是一道浓度问题。”为了避免他以后再次被其他‘数学厨子’当盘菜给炒了，我决定一点一点解决这个难题。“你知道这道题中的糖、糖水、水分别代表浓度问题中的什么吗？”

“糖是溶质、水是溶剂、糖水就是溶液。”小铭说道，“可溶液发生了变化，根本没办法直接带入到公式进行计算。”

“没错，你已经找到问题的关键了。”我娓娓道来，“浓度问题是比较复杂的分数应用题，这复杂就复杂在许多量前后都发生了变化，一个数量的变化往往引起另一个数量的变化。”

“但是，会存在一个不变量，这就是解题的关键。”我继续说到：“像这道题，200克糖水加入一定量水后，水和糖水的质量都增加了，但糖的质量是没有变化的。根据这一特点可以先求出糖的质量，再根据加水后含糖的浓度计算加水后糖水的质量，最后前后糖水的质量一减，就是加水的质量了。”

小铭恍然大悟，立刻计算起来：

糖的质量=糖水的质量×糖水含糖的浓度=200×20%=40克，

加水后糖水的质量=糖的质量÷加水含糖率=40÷12.5% = 320克，

加的水=加水后糖水的质量-加水前糖水的质量=320-200=120克。

“再也不用怕数学厨师喽！”小铭一脸兴奋地回答。“现在，我还要再找几个数学厨师好好较量一下呢！”

12月20日 星期五 天气：暴风雪

“谁也别拦着我，我跟他拼了。”“来来来，今天我不把你打得桃花朵朵开，你就不知道花儿为什么这样红！”

我刚从外面回来，就看到闹哄哄的班级里，泽汶和郑浩俩人撸胳膊挽袖子，摩拳擦掌地要打架。

我立刻杀入冲突的旋涡，询问原因：好嘛！原来是因为一道数学题。

“真是国不可一日无君啊，我这‘十道杠大班长’一会儿不在，就闹出这么大乱子。”我也撸胳膊挽袖子，“来来来，说说是什么数学题。”

有30克浓度为20%的糖水，用什么办法能让糖水中糖的浓度变为40%？

“加糖！”“蒸发水！”“加糖！！”“蒸发水！！”“加糖！！！”“蒸发水！！！”

“好了，好了。”我无奈地阻止两个人的打鸣比赛，“有理不在声高。你们俩来算一算，加糖的要加多少克？蒸发水的要蒸发多少克？谁的答案正确就听谁的。”

加糖后，糖的质量和糖水的质量都增加了，但水的质量并没有改变。

解：原来糖水中水的质量：30×（1-20%）=24克;

现在加糖后糖水的质量： 24÷（1-40%）=40克;

加入糖的质量： 40-30=10克。

我的答案是：需要加入10克糖。

解：蒸发前糖的质量：30×20%=6克;

蒸发后糖水的质量： 6÷40%=15克;

蒸发水的质量： 30-15=15克。

我的答案是：需要蒸发15克水。

“哈哈，不错嘛！你们俩算的完全正确！”“所以，还是应该加糖！”“应该蒸发水！”

我这下可是彻底无语了，只能看着打鸣比赛再一次拉开大幕。“加糖！”“蒸发水！”“加糖！！”“蒸发水！！”……

12月25日 星期三 天气：晴

“Jingle bells，Jingle bells，Jingle all the way……”伴随着圣诞歌声响起，我在床上一个鲤鱼打挺，直奔客厅！

“礼物呢？圣诞礼物呢？”我兴奋得满屋打转，寻找老爸去年答应过我的高达机器人。

“你爸爸一早去上班了。”妈妈从厨房探出头来，“他把礼物藏在家里某个地方了！”

“藏？藏哪儿了？”我郁闷地抱起肩膀，“哼！”

妈妈笑盈盈地走出来，说：“爸爸给你留了字条，解开字条上的谜题。就能从我这儿获得礼物的线索。”

“又想套路我做题，门儿都没有。”我不信邪地满屋子翻找起来。本以为凭借我的聪明才智应该很轻松就能找出爸爸藏起来的礼物，谁想道高一尺魔高一丈……把屋子翻了个底朝天，却连礼物的影子都没见到。

没办法，我只好妥协来寻求线索。

爸爸留下的字条：

甲、乙、丙3个试管中各盛有10克、20克、30克水。把某种浓度的盐水10克倒入甲管中，混合后取10克倒入乙管中，再混合后从乙管中取出10克倒入丙管中。现在丙管中的盐水的浓度为0.5%。最早倒入甲管中的盐水浓度是多少？

“果然是老爸，这题可真不简单。”我一拿到题，立刻被这题的难度震惊了，“最早的盐水经过三次混合后，无论是溶液、溶质、溶剂、浓度都发生了变化，很难再依靠找出不变量来解题了。”

不过，现在知道丙管中盐水的浓度和溶液的质量，我就可以利用倒推法：

① 混合后甲、乙、丙3个试管中应有的盐水分别是20克、30克、40克。可以先求出现在丙管中盐的质量。

② 又因为丙管中原来只有30克的水，它的盐是从10克盐水中的乙管里取出的。就可求出乙管里30克盐水中盐的质量。

③ 而乙管里的盐又是从混合了10克盐水中的甲管里取出的，由此可以求出甲管里20克盐水中盐的质量。

④ 最后，甲管里的盐就是最初倒入甲管中盐水的盐，最早盐水中盐的浓度也就解开了。

分析完毕，我立刻拿出笔计算起来。

解：丙管中盐的质量：

（30+10）×0.5%=0.2（克）;

倒入乙管后，乙管中盐的质量：

0.2×{（20+10）÷10}=0.6（克）;

倒入甲管，甲管中盐的质量：

0.6×{（10+10）÷10}=1.2（克）;

最初10克盐水盐的浓度：1.2÷10=12%。

“所以，最早倒入甲管中的盐水浓度是12%。”我兴奋地找妈妈论功行赏，“快把礼物的线索交出来吧！”

话音刚落，就看到妈妈笑盈盈地从身后拿出一个大盒子，说：“其实，高达机器人已经恭候你多时了。”

现在，去市场上买几瓶不同品牌的可乐，算一算哪种含糖量最低，帮小聪明一家解决可乐难题吧！