毒素影响下具有反馈控制的互利共生合作系统的稳定性

王琼燕，赵 春

（天津师范大学 数学科学学院，天津 300387）

种群动力学是数学生态学的重要分支之一.合作系统是种群动力学中非常重要的一类模型.许多学者对种群合作系统进行了研究，并取得了一定的成果[1-8].合作系统主要分为2种形式：互惠的合作关系和互利共生的合作关系.互惠的合作关系是指2个合作种群在不合作的情况下依然可以独立生存[5]，互利共生的合作关系是指2个合作种群在不合作时，其中某个种群或2个种群不能独立生存[6].文献[6]研究了如下互利共生合作系统

证明了当δ1＜1，δ2＞1，δ1δ2＜1时，随着时间的延长，2种群的数量将趋于稳定点

在种群模型中加入反馈控制可以调整生物种群的数量使其保持稳定.文献[7]研究了具有反馈控制的Lotka-Volterra合作系统的稳定性.文献[8]在互利共生的合作系统中引入反馈控制，建立如下模型

并研究其稳定性，结果表明，对于单方不能独立生存的合作系统，当反馈控制变量控制在一定范围内时，系统的正平衡点及其稳定性仍存在，而当反馈控制变量过大时，不能独立生存的种群将走向灭绝.

随着人类对资源的过度开发和生态环境的破坏，各种毒素对生物种群造成了严重影响，相关学者将这一因素引入了种群模型[9-11].文献[11]在竞争系统中引入了毒素项，结果表明人类的捕获对系统稳定性的影响要大于毒素的影响.

本文在模型（2）的基础上引入毒素项，建立如下模型

其中：ai、bi、aij、αi、γi、ηi（i、j=1、2）均为正常数；xi（t）（i=1、2）为种群在时刻t的密度；b1为x1种群的内禀增长率；b2为x2种群的死亡率；a11、a22分别为制约2个种群密度的系数；a12、a21为种群间的合作效率系数；ui（i=1、2）为反馈控制变量；γi（i=1、2）为毒素对种群的影响系数，且0＜γi＜1（i=1、2）.分别研究在无反馈控制和有反馈控制时系统（3）的边界平衡点和正平衡点的存在性和稳定性，从而探讨反馈控制对具有毒素的互利共生合作系统的影响.

1 平衡点的存在性

1.1 无反馈控制系统

无反馈控制的具有毒素的单方不能独立生存的合作系统为

系统（4）的边界平衡点F1（x1′，0）满足

系统（4）的另一边界平衡点（0，x2′）满足

定理1若a221b1＞a11a21b2+γ1b22，则系统（4）的正平衡点F2（x1*，x2*）存在且唯一.

证明正平衡点F2（x1*，x2*）满足方程组

由方程组（5）的第2式得x1=（γ2x22+a22x2+b2）/a21，代入第1式化简得

其中

由条件得A5＜0，由文献[12]知以上四次方程有唯一正根x2*.此时，x1*=（γ2x*22+a22x*2+b2）/a21＞0，因此系统（4）的正平衡点F2（x*1，x*2）存在且唯一.

1.2 有反馈控制系统

系统（3）的边界平衡点F3（x1″，0，u1″，0）满足

解得

由x1″＞0知u1″＞0，所以系统（3）的边界平衡点F3（x1″，0，u1″，0）存在且唯一.

系统（3）的另一边界平衡点（0，x2″，0，u2″）满足

解得

由x2″＜0知u2″＜0，所以系统（3）的另一边界平衡点（0，x2″，0，u2″）不存在.

定理2若a221b1η1＞a21b2（a11η1+a1α1）+b22γ1η1，则系统（3）的正平衡点F4（x1*，x2*，u1*，u2*）存在且唯一.

证正平衡点F4（x1*，x2*，u1*，u2*）满足方程组

由方程组（8）的第3和第4式得u1=a1x1/η1，u2=a2x2/η2，代入第2式得

将上式代入方程组（8）的第1式，化简得

其中

由条件得B5＜0，由文献[12]知以上四次方程有唯一正根x2*.此时，

故x1*＞0，u1*＞0，u2*＞0.因此系统（3）的正平衡点F4（x1*，x2*，u1*，u2*）存在且唯一.

2 平衡点的稳定性

2.1 无反馈控制系统

定理3若（a11a21+2γ1b2）2＞a221（a211+4γ1b1），则系统（4）的边界平衡点F1（x1′，0）是局部渐近稳定的，否则是不稳定的.

证明边界平衡点F1（x1′，0）的Jacobi矩阵为该矩阵特征多项式的2个特征值分别为λ1=-a11x1′-2γ1x1′2＜0，λ2=-b2+a21x1′，当（a11a21+2γ1b2）2＞a221（a211+4γ1b1）时，λ2＜0，因此边界平衡点F1（x1′，0）是局部渐近稳定的，否则是不稳定的.

定理4在定理1的条件下，当a11a22＞a12a21时，系统（4）的正平衡点F2（x1*，x2*）是局部渐近稳定性的.

证明正平衡点F2（x1*，x2*）的Jacobi矩阵为

设该矩阵特征多项式的特征根为λ1、λ2，则λ1+λ2=M1，λ1λ2=M2，其中

当a11a22＞a12a21时，有Re λi＜0（i=1、2），因此系统（4）的正平衡点是局部渐近稳定的.

定理5在定理4的条件下，系统（4）的正平衡点F2（x1*，x2*）是全局渐近稳定的.

证明由正平衡点F2（x1*，x2*）满足的方程组（5）

可得

构造Lyapunov函数

其中ω为正常数.易知L1（x1，x2）关于x1、x2连续，计算得

所以

因此当x1=x1*，x2=x2*时，L1（x1，x2）取得全局最小值，即L1（x1，x2）≥0.对L1（x1，x2）沿系统（4）求导

将式（9）代入可得

2.2 有反馈控制系统

定理6若

则系统（3）的边界平衡点F3（x1″，0，u1″，0）是全局渐近稳定性的.

证明构造Lyapunov函数

其中ρi（i=1、2、3、4）是未知的正常数.L2（x1，x2，u1，u2）关于x1、x2、u1、u2连续，计算得

所以

因此当x1=x1″，u1=u1″时，L2（x1，x2，u1，u2）取得全局最小值，即L2（x1，x2，u1，u2）≥0.对L2（x1，x2，u1，u2）沿系统（3）求导

将式（6）代入得

由条件可知该矩阵是正定的，并且

定理7在定理2的条件下，当a11a22＞a12a21时，系统（3）的正平衡点F3（x1*，x2*，u1*，u2*）是全局渐近稳定的.

证明构造Lyapunov函数

其中βi（i=1、2、3、4）是未知的正常数.L3（x1，x2，u1，u2）是关于x1、x2、u1、u2的连续函数，计算得

所以

因此当x1=x1*，x2=x2*，u1=u1*，u2=u2*时，L3（x1，x2，u1，u2）取得全局最小值，即L3（x1，x2，u1，u2）≥0.对L3（x1，x2，u1，u2）沿系统（3）求导

将式（8）代入得

3 结论

比较定理3和定理6可知，无反馈控制系统和有反馈控制系统的边界平衡点都存在且稳定，但这2个平衡点不相等.比较定理5和定理7可知，无反馈控制系统和有反馈控制系统的正平衡点都存在且稳定，这2个平衡点也不相等.因此，对于毒素影响下的互利共生合作系统，反馈控制不影响平衡点的存在性和稳定性，只改变平衡点的位置.