月痕寿命研究

陆 林，李海阳，刘将辉

(国防科技大学空天科学学院，长沙410073)

1 引言

月痕是指人类活动在月面形成的痕迹，如航天员的脚印、月球车的车轮印记等。由于月球没有大气，月面活动产生的痕迹能够长期保留而不消逝。虽然月球表面区域很大，但一旦留痕就很难消除，从它的这种特性来说，留痕的空间即月痕也是一种有限资源，可以作为民众个性表达、纪念、盟誓乃至投资及宣传的载体，是一种有望在近期获得开发回报的资源[1]。

月痕寿命的长短在一定程度上影响月痕资源的开发价值，而影响月痕寿命的因素主要分为自然因素和人为因素两方面，本文分别从这两方面因素出发，分析它们对月痕的影响，估算月痕的寿命，为月痕资源开发提供理论支撑。

2 自然因素对月痕的影响

对月痕产生影响的自然因素主要包括微小流星体的撞击和静电浮扬月尘的沉积。下面分别分析它们对月痕寿命的影响。

2.1 微小流星体的撞击

微小流星体通常是指小于1 g的流星体，平均密度为0.5 g/cm3；在没有大气保护的情况下，即便是很小的流星体，撞击月球的速度也在2.4～7.2 km/s之间[2]。微小流星体的撞击对月痕的影响主要有两方面，一方面是撞击月面以及二次溅射物导致的月尘沉积对月痕的影响，另一方面是在月面形成的撞击坑对月痕的破坏。

2.1.1 微小流星体撞击以及二次溅射物导致的月尘沉积

月面受到微小流星体撞击的通量如式(1)所示[2]：

式中，Nt是在月面每平方米区域内，平均每秒受到质量大于或等于m的微小流星体的撞击次数。m是微小流星体的质量，单位为克。由式(1)求得在月面平均每平方米区域内，每年累计受到微小流星体撞击的次数与微小流星体质量的关系如图1所示。

图1 微小流星体撞击次数与质量的关系Fig.1 Correlation of micrometeoroid flux and weight

微小流星体的撞击导致月面产生二次溅射物，其平均密度是 2.5 g/cm3，平均速度是0.1 km/s。月面二次溅射物的通量如式(2)[2]：

式中，Nej是在月面每平方米区域内，平均每秒受到质量大于或等于m的二次溅射物的撞击数量。由式(2)可得在月面平均每平方米区域内，每年累计受到二次溅射物撞击的数量与微小流星体的质量关系如图2所示。

图2 二次溅射物数量与微小流星体质量的关系Fig.2 Correlation of secondary ejecta flux and weight

由于微小流星体的通量Nt对应的微小流星体质量是大于或等于m的，所以在微小流星体撞击的影响下，月面每平方米区域内平均每秒沉积的月尘总质量不超过Mt如式(3)所示：

同理，在二次溅射物的影响下，月面每平方米区域内平均每秒沉积的月尘总质量不超过Mej如式(4)所示：

2.1.2 微小流星体撞击形成的月面撞击坑

月球表面的撞击坑直径从几微米到几十千米不等，统计结果显示，撞击坑的直径越大，分布的越稀疏。撞击坑的形状主要有以下特征：直径小于10 km的撞击坑大致成碗形，直径大于10 km的撞击坑底部为平表面，形状为盆形[3]。由于直径大于10 km的撞击坑的数量非常少，所以假设撞击坑形状均为碗形，在月面上的截面均为规则的圆形。

由文献[4]可知，微小流星体的质量可以表示为式(5)：

式中，Me是速度为U的微小流星体撞击月球时产生喷射物的质量，ρp为微小流星体的密度，ρt为月壤的密度。深度为P，直径为D的撞击坑的体积为式(6)[5]：

已知微小流星体的平均密度为0.5 g/cm3，平均撞击速度为20 km/s，月壤的平均密度为3 g/cm3，撞击坑的深度与直径的比值为1∶5，结合式(5)、(6)可得到微小流星体质量与撞击坑直径的关系如式(7)：

假设每个撞击坑只由一个微小流星体撞击形成，结合式(1)，可得月面撞击坑数目与撞击坑直径的关系如式(8)：

由此能够得到在月面每平方米区域内，平均每年累计形成的撞击坑数目与撞击坑直径的关系如图3。

图3 月面撞击坑数目与直径D的关系Fig.3 Correlation of the number and diameter of craters on lunar surface

假设每个撞击坑对月痕的破坏面积为撞击坑在月面形成的圆形截面面积，则在月面每平方米的区域内，直径大于或等于D的撞击坑平均每秒能够对月痕造成破坏的面积至少是SD，如式(9)所示：

因为撞击坑数目Nt对应的撞击坑直径是大于或等于D的，所以在月面每平方米的区域内，平均每秒因撞击坑而遭受破坏的总面积最大为S，如式(10)所示：

2.2 静电浮扬月尘的沉积

月尘的静电浮扬现象主要是由太阳风和太阳辐射引起的[6]。如图4所示，月表月尘的带电机制主要有太阳辐射引起的光电效应、太阳风中的电子流和离子流作用，细小的带电月尘在月表电场的作用下发生静电浮扬[6]。经研究发现，月尘静电浮扬现象与月尘粒径和太阳高度角有关[7]。月尘粒径越小，越容易发生静电浮扬现象，亚微米级的月尘能达到月球表面100 km以上的高度，粒径大于1 μm的月尘平均运动高度在10 m以下，大于100 μm的月尘很难发生静电浮扬；太阳高度角越小，越容易发生静电浮扬现象，月球表面晨昏线处静电浮扬现象最剧烈，形成一条从月球北极延伸至南极的狭长薄膜状的月尘风暴，并随着月表晨昏线的移动而移动[8-9]。

图4 月尘静电浮扬机制Fig.4 Mechanisms of electrostatic floating of lunar dust

根据静电浮扬月尘运动状态的不同，可以将其分为静态悬浮月尘和动态浮扬月尘[10]，如图5所示。在这两类静电浮扬月尘中，静态悬浮月尘主要是悬浮在距月面10 cm范围内的局部电场中的微米级月尘颗粒，动态浮扬月尘主要是浮扬高度可达几千米以上的亚微米级的月尘颗粒。因为月球表面晨昏线处月尘静电浮扬现象最剧烈，大量月尘从黑暗半球浮扬、到明亮半球沉积[10]，所以假设月表晨昏线处的静电浮扬月尘均为动态浮扬月尘，其沉积对月痕的寿命产生主要影响，而其它区域的静电浮扬月尘均为静态悬浮月尘，对月痕的影响可忽略不计。

如图5(b)所示，根据月尘的动态喷泉模型[11]，月尘颗粒一旦获得足够的电荷，直至克服重力Fg和粘性力Fc，即Fq＞Fg+Fc时，将离开月球表面，在高度为λD的鞘层区域内加速上升，其中λD为月表离子的德拜长度。因为月尘颗粒小、质量轻，在到达λD的高度前，重力相对于初始的静电加速作用可忽略不计。月尘颗粒以一个向上的速度Vexit离开鞘层区域，在月面重力作用下以近似弹道的轨迹落回月球表面。

图5 静电浮扬月尘的静态悬浮和动态“喷泉”模型Fig.5 Static levitation and dynamic fountain model of lunar dust

月尘颗粒在鞘层区域内的加速度为式(11)：

式中，aq是静电加速度，gL＝1.62 m/s2为月球表面重力加速度。假设aq只在月球表面鞘层区域内作用，大小为式(12)：

式中，φs是月球表面电势，ε0是真空介电常数8.85×10-12F/m，ρ是月尘颗粒的密度，单位为kg/m3，rd为月尘颗粒的半径。月球表面带电离子的德拜波长[7]为式(13)：

式中，npe0是月球表面的光电子密度，kB是玻尔兹曼常数1.38×10-23，Tpe是太阳辐射的温度，qe是基本电荷量。月尘颗粒离开鞘层区域时的速度Vexit为式(14)：

式中，Zmax是月尘颗粒能够到达的距月面最高的高度[11]，大小为式(15)：

其中，式(15)成立的条件是aq＞gL。 月尘颗粒到达Zmax的高度时所需时间为式(16)：

式中，tsh是月尘颗粒通过鞘层区域的时间，tbal是月尘颗粒离开鞘层后以弹道轨迹上升到最高处的时间。因为动态浮扬月尘的浮扬条件是aq＞gL，则能够发生动态浮扬的月尘颗粒的最大半径为式(17)：

颗粒半径小于或等于rmax的月尘在电场的作用下将会发生动态浮扬，大于rmax的月尘将会保持静态悬浮或者停留在月球表面。

已知月表晨昏线处电子流的温度为1.1×105K，电子流密度为7 e/cm3[10]，由式(13)可得月表晨昏线处带电离子的德拜波长为8.66 m。月表晨昏线处电势为-36 V，则发生动态浮扬的月尘颗粒的最大半径为0.9 μm。动态浮扬月尘颗粒上升的最大高度Zmax、所需时间tmax与月尘颗粒半径rd的关系分别如图6、图7所示。

图6 浮扬最大高度与月尘颗粒半径关系Fig.6 Correlation of the maximum height reached and dust grain radius

图7 到达最大高度所需时间与月尘颗粒半径的关系Fig.7 Correlation of the time taken to reach Zmaxand dust grain radius

在粒径小于20 μm的月尘颗粒中，有90%的颗粒粒径小于2 μm，中值粒径在 0.1～0.4 μm 之间[12]，而发生动态浮扬的月尘粒径均小于0.9 μm，故假设动态浮扬月尘粒径均为0.25 μm。进而得到动态浮扬月尘的最大浮扬高度Zmax为113.28 m，所需时间tmax为12.3056 s。

由McCoy的“0”模型[13]可知，月表晨昏线处单位面积区域上垂直方向的月尘柱密度为10-9g/cm3。因为动态浮扬月尘上升到最大高度的时间tmax为12.3056 s，所以在每平方厘米的区域内，平均每秒发生动态浮扬的月尘的质量为8.1264×10-11g。 由于月球昼夜交替周期为四周，月表晨昏线移动速度为4.3 m/s，假设月表晨昏线在移动时，所掠过区域内扬起的月尘，在晨昏线经过后，全部沉积到月面上，那么在月面每平方米的区域内，平均每年沉积的动态浮扬月尘质量约为1.1377×10-5g。

3 人为因素对月痕的破坏

影响月痕的人为因素主要有以下四种：①航天员的行走。航天员穿着较大的保护靴在月面行走时，由于月球低重力、高真空的环境，月尘很容易被踢起，因此航天员行走时不仅留下的脚印可能会破坏原有的月痕，而且被踢起的月尘在沉积后也会对月痕产生影响。据有关资料[14]显示，因航天员行走导致月尘颗粒扬起的最大高度和速度分别是4 m、3.6 m/s。②采样、钻孔、施工等活动。航天员在月面上进行此类活动时，不可避免的会破坏月面原有痕迹。③月球车的漫游。月球车在月面上以3.56 m/s匀速行进时卷起的月尘可达20 m远[15]，在月面上留下的车轮印记和卷起的月尘均会对月痕产生不同程度的影响。④飞行器的着陆与起飞。飞行器在着陆或起飞时，发动机喷射出的燃气羽流将与月尘发生相互作用，激起大量月尘，月尘颗粒以较低的初射角度向外喷射，形成向四周扩散的月尘云，这些月尘在离着陆点不同的距离沉积后也会对月痕产生不同程度的影响。

在这四种因素中，飞行器的着陆与起飞激起的月尘最多[16]，月尘扩散的区域最大，对月痕的破坏也最严重，因此主要从飞行器的着陆与起飞这一因素出发，分析其对月痕寿命的影响。

Katzan等[16]根据Surveyor III和Apollo 12的着陆情况，采用正态分布函数统计方法逼近实际的数据，确定其中的参数，再基于待解决的问题的实际观测结果，对相应变量进行修正，大致估算出月尘颗粒的分布，分析了推力为13400 N的月球探测器在月球表面着陆时发动机羽流对附近月尘的作用，计算了距离着陆点不同位置的月尘颗粒数分布。

根据该方法，设喷射角度为θ，由于月尘颗粒运动轨迹几乎是水平的，因此θ取0～1°。 当给定θ时，扬起月尘颗粒总数与离着陆点距离的关系如式(18)：

4 沙痕试验

上文对影响月痕的自然因素和人为因素进行了具体分析，得到了不同因素对月痕的影响结果，但对月痕寿命进行估算还需要确定月痕被完全覆盖时所需月尘的厚度。因此，设计并开展如下沙痕试验。

4.1 试验过程

通过进行沙痕试验，测量一定深度的沙面痕迹被完全覆盖时所需细沙的厚度，进而估计一定深度的月痕被完全覆盖时所需月尘的厚度，为月痕寿命的估算提供事实依据。

首先，在气流平稳的天气下，选择一个平坦的沙面区域，如图8(a)所示。然后在平坦的沙面上刻划出深度为2 cm的“月”字痕迹，如图8(b)所示。

接着用筛子将细沙均匀地筛落在沙面区域上，以此来模拟沉积的月尘对月痕的覆盖过程，随着细沙的不断沉积，沙痕的清晰度也在不断地下降，如图9所示。

经过一段时间后，沙痕已经变得十分模糊。为了更加准确地确定沙痕是否到达无法辨认的程度，在试验过程中请了十个人对沙痕的清晰程度作出判断，最终选择了以下三种状态的沙痕作为沙痕无法辨认的样本，如图10所示。

图8 试验的初始情况Fig.8 Beginning of experiment

图9 不断模糊的沙痕Fig.9 Constantly vague sand trace

图10 沙痕无法辨认时的样本Fig.10 Unidentifiable sand trace samples

将沙痕的辨认难度分为完全可辨认、易辨认、难辨认、很难辨认、无法辨认5个等级，分别计为1、2、3、4、5 分，10 个人分别对以上 3 个样本的辨认难度作出了各自的判断并进行打分，打分结果如表1所示。

由表1可知，十名试验人员对3个样本的平均打分分别为3.9分、4.5分、5分。样本3的平均打分为5分，因此可以认为样本3的沙痕为最终无法辨认的状态，即沙痕被完全覆盖。

4.2 结果分析

在确定沙痕无法辨认的状态后，测得此时覆盖沙痕的细沙厚度为3.8 cm，即深度2 cm的沙痕被完全覆盖时至少需要3.8 cm厚的细沙。因为月壤的平均孔隙比大于地球上细沙的孔隙比[17]，由此可推算深度为2 cm的月痕被完全覆盖时需要的月尘厚度一定大于3.8 cm。

表1 沙痕样本的辨认难度打分结果Table 1 Results of grades on recognizable degree of sand trace samples

5 月痕寿命估算

本节基于不同因素对月痕寿命的影响的分析，结合沙痕试验的结果，分别估算月痕在不同因素影响下的寿命。假设在月球表面平坦区域存在一个30 cm×20 cm×2 cm的月痕，由沙痕试验的结论可知，完全覆盖此月痕至少需要30 cm×20 cm×3.8 cm的月尘。月尘颗粒的密度范围为2.3～3.1 g/cm3[18]，假设月尘颗粒密度均为2.7 g/cm3，则该月痕被完全覆盖至少需要6156 g的月尘。

首先，估算月痕在微小流星体撞击及二次溅射物的影响下的寿命。由式(3)、(4)计算可得，在月面每平方米区域内，平均每年沉积的月尘总质量分别不超过1.5316×10-6g、0.1285 g。在这种情况下，平均每年覆盖到该月痕上的月尘总质量最多为0.007 1009 g，沉积的月尘厚度随时间的变化如图11所示。当月尘厚度超过3.8 cm时，月痕被完全覆盖，则完全覆盖此月痕至少需要866 932年的时间，即在微小流星体撞击及二次溅射物的影响下，该月痕的寿命大于866 932年。

其次，估算月痕在撞击坑破坏下的寿命。由式(10)计算可知，在月面每平方米的区域内，平均每年因撞击坑破坏的总面积不超过1.185×10-6m2，那么月痕被破坏的概率与时间的关系如图12所示。

图11 沉积的月尘厚度与时间的关系Fig.11 Correlation of thickness of dust deposition and time

假设月痕被破坏的概率超过0.5，便视作此月痕被完全破坏，则月痕被完全破坏需要超过421 941年的时间，即在撞击坑的破坏下，该月痕的寿命大于421 941年。

再次，估算月痕在静电浮扬月尘沉积的影响下的寿命。假设月表晨昏线在经过此月痕时，一秒钟所掠过的4.3 m×4.3 m区域内扬起的月尘，在晨昏线经过后，全部沉积到该月痕上。那么每年有质量约为2.1036×10-4g的月尘沉积到该月痕上，沉积的月尘厚度随时间的变化如图13所示。由图13可知，沉积的月尘厚度超过3.8 cm需要大于2.926×107年的时间，即在静电浮扬月尘沉积的影响下，该月痕的寿命大于2.926×107年。

最后，估算月痕在飞行器着陆与起飞的影响下的寿命。在离着陆点距离为x的地方，将在0～1°之间的100个喷射角度下到达该处的月尘颗粒数累加，得到扩散至该处的月尘颗粒总数，经过转换后得到距着陆点x处的单位面积区域内月尘沉积的质量。根据 Surveyor III实际观测的数据[16]——距着陆点155 m处月尘沉积质量为1 mg/cm2，对模型的系数进行修正。最终经过转换得到沉积的月尘厚度与到着陆点距离的关系，如图14所示。

图13 沉积的月尘厚度与时间的关系Fig.13 Correlation of thickness of dust deposition and time

图14 沉积的月尘厚度与到着陆点距离的关系Fig.14 Correlation of thickness of dust deposition and distance from landing site

由图14可以看出，沉积的月尘厚度在距着陆点约100 m处达到最大，超过3.5×10-4cm。在距着陆点3500 m及更远的地方，沉积的月尘几乎为零。根据不同位置沉积的月尘厚度，可以得到完全覆盖月痕时，飞行器着陆或起飞的次数与月痕到着陆点距离之间的关系，如图15所示。

图15 飞行器着陆或起飞次数与距离的关系Fig.15 Correlation of number of spacecraft landing or launch and distance

假设着陆点距上述月痕100 m，则一次着陆或起飞对该痕迹不足以产生严重的影响，月痕依旧能够保持很久。若该月痕被完全覆盖，将需要进行10 160次着陆或起飞。未来如果在月球开发基地建设的过程中以及建成之后，每年都将需要飞行器运输一些保障基地正常运转和航天员日常生活的物资，假设采用此种推力的飞行器每年在同一着陆点分别进行一次着陆和起飞，那么该月痕的寿命为5130年，若采用更大推力的飞行器进行运输时，扬起月尘的沉积量将会更多，月痕寿命也会随之缩短。

6 结论

1)由月痕寿命估算的结果可知，月痕一旦在月面形成，在没有人为破坏的情况下，其寿命至少长达数十万年，完全可以作为一种资源用于开发。

2)关于人为因素对月痕的破坏，飞行器的着陆与起飞对月痕寿命的影响程度较大。未来在进行月痕资源开发时，为避免其对月痕的影响，可以在月球上建立专门的着陆场，确保着陆场离月痕资源开发区域的距离超过3500 m。