分析图象面积，巧解相关问题

四川 陈泽勇

函数图象在中学物理中的应用广泛，它能形象、直观地描述物理过程，也能反映物理量间的函数关系，应用数学图象解决实际物理问题是一种重要的研究方法，有利于在中学物理课程教学中培养学生跨学科的学习思维品质。本文通过实例分析函数图象与坐标轴围成的“面积”所反映出的物理量，巧解相关问题。

一、利用速度时间图象，求解质点的位置

在速度—时间图象中，图线与时间轴所围成的面积表示物体的位移，t轴上方的面积表示质点沿正方向运动的位移，t轴下方的面积表示质点沿负方向运动的位移。如果已知质点的初位置，可以根据质点运动位移求出质点的末位置。

【例1】一质点沿x轴做直线运动，其v-t图象如图1所示。质点在t=0时位于x=5 m处，开始沿x轴正向运动。当t=8 s时，质点在x轴上的位置为

( )

A．x=3 m B．x=8 m

C．x=9 m D．x=14 m

二、利用速率时间图象，比较质点运动时间

在速率—时间图象中，图线与时间轴所围成的面积表示质点运动的路程。如果已知时间相等，初位置相同，可以根据围成的面积判断末位置；如果已知质点运动路程相等，可以根据图象判断质点运动时间。

【例2】如图3所示游乐场中，从高处A到水面B处有两条长度相同的光滑轨道，甲、乙两小孩沿不同轨道同时从A处自由滑向B处，下列说法正确的有

( )

A.甲的切向加速度始终比乙的大

B.甲、乙在同一高度的速度大小相等

C.甲、乙在同一时刻总能到达同一高度

D.甲比乙先到达B处

【例3】一只老鼠从老鼠洞沿直线爬出，已知爬出速度v的大小与距老鼠洞中心的距离s成反比，当老鼠到达距老鼠洞中心距离s1=1 m的A点时，速度大小为v1=20 m/s，问当老鼠到达距老鼠洞中心s2=2 m的B点时，其速度大小v2为多少？老鼠从A点到达B点所用的时间t为多少？

【解析】由于老鼠速度大小与其离洞口的距离成反比，

四、利用a - t图象，求质点速度

根据Δv=at，在加速度—时间图象中，图线与横轴围成的面积表示质点运动速度的变化量。如果已知初速度，可以求出质点的末速度。

【例4】某物体从足够高处由静止开始下落，测得其加速度a随时间t变化的关系图象如图7所示。已知重力加速度g=10 m/s2,下列说法正确的是

( )

A.在0～2 s内，物体所受阻力与下落的速度成正比

B.在0～2 s内，物体所受阻力与下落的时间成正比

C.在0～2 s内，物体下落的速度与下落时间成一次函数关系

D.物体下落的最终速度为10 m/s

五、利用P - t图象，求变力做功

根据W=Pt，在功率-时间图象中，图线与横轴围成的面积表示牵引力对质点做的功。

【例5】二十一世纪，能源问题是全球关注的焦点问题。从环境保护的角度出发，电动汽车在近几年发展迅速。下表给出的是某款电动汽车的相关参数：

参数指标整车质量0～100 km/h加速时间最大速度电池容量制动距离(100 km/h～0)数值2 000 kg4.4 s250 km/h90 kW·h40 m

请从上面的表格中选择相关数据，取重力加速度g=10 m/s2，完成下列问题：

(1)求汽车在(100 km/h～0)的制动过程中的加速度大小(计算过程中100 km/h近似为30 m/s)；

(2)若此电动汽车的速度从5 m/s提升到20 m/s需要25 s，此过程中电动汽车获得的动力功率随时间变化的关系简化如图10所示，整车在行驶过程中的阻力仍约为车重的0.05倍，求：此加速过程中汽车行驶的路程。

(2)如图11所示，由P-t图象围成的面积可知牵引力在25 s内做功：

代入数据解得：x=265 m

六、利用F - t图象，求质点的动量

根据I=Ft，在力—时间图象中，图线与横轴围成的面积表示力对质点产生的冲量，t轴上方的面积表示力对质点产生正方向的冲量，t轴下方的面积表示力对质点产生负方向的冲量。如果已知质点的初动量，可以根据动量定理求出末动量。

【例6】一质量为2 kg的物块在合外力F的作用下从静止开始沿直线运动。F随时间t变化的图线如图12所示，则

( )

A．t=1 s时物块的速率为1 m/s

B．t=2 s时物块的动量大小为4 kg·m/s

C．t=3 s时物块的动量大小为5 kg·m/s

D．t=4 s时物块的速度为零

七、利用I - t图象，求电荷量

根据q=It，在电流-时间图象中，图线与横轴围成的面积表示电荷量。

【例7】按照图17甲连接电路，电源用直流8 V左右，电容器可选几十微法的电解电容器，先使开关S与1端相连，电源向电容器充电，这个过程可在瞬间完成。然后把开关S掷向2端，电容器通过电阻R放电，传感器将电流信息传入计算机，屏幕上显示出电流随时间变化的I-t曲线，一位同学测得I-t图象如图17乙所示，它的电源电压是8 V。

(1)在图中画出一个竖立的狭长矩形(在图17乙最左边)，它的面积的物理意义是什么?

(2)根据图乙估算电容器在全部放电过程中释放的电荷量Q=________C。

(3)根据以上数据估算的电容C=________。

【解析】(1)竖立的狭长矩形面积的物理意义代表：电容器在0.1 s内释放的电荷量。

(2)如图18所示，根据横轴与纵轴的数据可以知道，一个格子的电量为 0.08×10-3C，由大于半格算一个，小于半格舍去，因此图象所包含的格子个数为45，所以释放的电荷量是：Q=0.08×10-3C×45=3.6×10-3C。

八、利用E - x图象，比较电势高低

根据U=Ed，在E-x图象中，图线与时间轴围成的面积表示电势差。

【例8】如图19甲，真空中有一半径为R、电荷量为+Q的均匀带电球体，以球心为坐标原点，沿半径方向建立x轴。理论分析表明，x轴上各点的电场强度随x变化关系如图19乙，则

( )

A．x2处电场强度和x1处的电场强度大小相等、方向相同

B．球内部的电场为匀强电场

C．x1、x2两点处的电势相同

D．假设将一个带正电的试探电荷沿x轴移动，则从x1移到R处电场力做的功大于从R移到x2处电场力做的功

【解析】根据题图所示的x轴上各点的电场强度随x变化关系，x2处电场强度和x1处的电场强度大小相等、方向相同，球内部的电场为非匀强电场，选项A正确，B错误。根据电场强度随x变化关系图象与横轴所围面积表示电势的变化可知，x1点处的电势大于x2点处的电势，选项C错误。根据电场强度随x变化关系图象与横轴所围面积表示电势的变化(电势差)，如图20所示，由电场力做功公式可知，假设将一个带正电的试探电荷沿x轴移动，则从x1移到R处电场力做的功大于从R移到x2处电场力做的功，选项D正确。

九、利用F - x图象，求电阻上的焦耳热

根据W=Fx，在F-x图象中，图线与横轴围成的面积表示力对质点做的功。在电磁感应中，根据题设条件与相关物理知识构建安培力F与x函数关系，然后利用F-x图象求安培力所做的功，进而求出电阻上的焦耳热。

( )

A.金属棒做匀加速直线运动

B.金属棒与导轨间因摩擦产生的热量为10 J

C.通过电阻R的感应电荷量为0.5 C

D.电阻R产生的焦耳热为0.5 J