立体几何试题中关键点坐标的确定方法初探

宋正道

在立体几何中引入空间向量后，实现了几何问题代数化，由为主考查抽象的空间想象能力转化为为主考查具体的运算能力，从而使立体几何的解题难点转化成求关键点的坐标，本文拟以2018年高考数学全国I卷第18题第（Ⅱ）问关键点坐标的确定为例，探讨立体几何问题中关键点坐标的确定方法，

例（2018年高考全国卷I.理18）如图1，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把ADF1折起，使点C到达点P的位置，且PF⊥BF.

（I）证明：平面PEF⊥平面ABFD;

（Ⅱ）求DP与平面ABFD所成角的正弦值，

該立体几何题第（I）问的求解思路是线⊥线线⊥面 面⊥面，在此不再赘述，下面主要就第（Ⅱ）问中关键点P坐标的求解方法解析如下：

如图2，以E为坐标原点建系，不妨取正方形ABCD的边长为4，则A，B，C，D，E，F各点坐标均可写出，故该立体几何问题的关键点是点P的坐标，若能求出点P的坐标，则剩余问题均为计算，再无思维难度，而由面PEF上面ABFD知关键点P在底面的投影点一定在EF上，如图3，做PH⊥ EF，垂足为H.