平面向量,“圆”来如此直观

湖北省监利县实验高中(433300) 万平方

《普通高中数学课程标准(2017年版)》指出:直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化,利用空间形式特别是图形,理解和解决数学问题的素养.直观想象是发现和提出问题、分析和解决问题的重要手段,是探索和形成论证思路、进行数学推理、构建抽象结构的思维基础.

向量是数形结合的一个典范,教材突出强调了向量的工具性特征,即用向量去描述几何关系用于解决几何问题,而后通过向量的运算获解.重视用向量去刻画几何关系,重视向量的运算,这毋庸置疑是向量非常重要的一个方面.但这仅仅是向量数形转化的一个方面.平面向量的高考小题的几何解法思路上刚好是向量工具性特征运用的逆向转化,透过向量语言的外衣把握其几何直观快捷获解,这是向量数形转化的另一个方面(即把向量的描述转化为几何的情形).这也是考场上避免复杂运算提高解题效率的重要手段.

平面向量的许多高考试题都具有极强的数学味,试题背后都有一个漂亮的几何背景,都对应一个浅显直观的几何结论.这样的试题既可以考查向量的代数运算,也能通过对向量几何背景的透视,抓住向量本质.“有圆看圆,无圆寻圆”,简化解题思路.

1.有圆看圆

有些试题本身就是以圆为平台设计问题,可“看圆”(利用圆的直观性)或挖掘圆的性质求解.

例1(2015年高考湖南卷理数)已知点A,B,C在圆x2+y2=1上运动,且AB⊥BC,若点P的坐标为(2,0),则的最大值为( )

A.6 B.7 C.8 D.9

解析由题意知AC是圆的一条直径,故AC必经过原点.如图1,当P,O,B三点共线时等号成立,即当点B落在点(−1,0)处时,取 最 大 值.此 时,的最大值为7.故选B.

图1

评析利用“直径上的圆周角是直角”得到AC是圆的一条直径,将转化为减少变量个数,结合图形直接得到答案.

例2(2014年高考全国I卷理数)已知A,B,C为圆O上的三点,若则的夹角为____.

解析由若得O为BC的中点,即BC为圆O的直径,故在△ABC中,BC对应的角A为直角,即的夹角为90◦.

评析本题将平面向量基本定理和圆的性质(过圆心的弦是直径)结合,利用“直径上的圆周角是直角”直接得到答案.

例3(2017年高考北京卷文数)已知点P在圆x2+y2=1上,点A的坐标为(−2,0),O为原点,则的最大值为____.

图2

解析观察到向量的长度和方向都确定,而随着点的运动而变化,利用向量数量积的几何意义,的值就是方向上的投影与之积.因此,当方向上的投影最大时,取最大值.依据图形2可以直观判断,当点P的坐标为(1,0)时,方向上的投影的最大值为3,此时的最大值为6.

评析利用投影,使数量积从二元变量的长度及两向量的夹角)转化为一元变量方向上的投影),使问题变得更加直接、直观,干脆利落!向量数量积的几何意义功不可没!

例4(2017年高考江苏卷)在平面直角坐标系xoy中,A(−12,0),B(0,6),点P在圆O:x2+y2=50上,若则点P的横坐标的取值范围是______.

解析设P(x,y),则(-12-x,-x),由有2x-y+50.故点P(x,y)既在圆x2+y2=50上,又在直线2x-y+5=0的左上方,其公共部分是一段圆弧,其中圆弧的两端点分别为M(−5,−5),N(1,7),结合图形3可知点P的横坐标的取值范围是(图中C点与N点横坐标).

图3

评析平面向量的几何表示与坐标表示,使得向量与几何、向量法与解析法之间有了天然的联系.既要会运算,也要能够充分利用图形的几何性质进行直观判断.

2.模长关系寻圆

例5 (2013年高考湖南卷理数)已知a,b是单位向量,a·b=0.若向量c满足|c-a-b|=1,则|c|的取值范围是( )

解析如图4作点C在以D为圆心的单位圆上运动,c-a-b=c-(a+b)=当O,D,C三点共线时,|c|取得最值.则有故选A.

图4

评析本题先利用向量加法的几何意义将三个向量的线性运算转化两个向量的差,再由它的模为1得到C在以D为圆心的单位圆上运动直接得到答案.

例6(2011年高考浙江理数)若平面向量α,β满足|α|=1,|β|1,且以向量α,β为邻边的平行四边形的面积为则α与β的夹角θ的范围是____.

解析如图5作β,其中点A在单位圆上,点B在线段CD上,线段CD与OA所在直线间的距离为则∠AOC因此,α与β的夹角θ的范围是

图5

评析由|α|=1,|β|1得到α的终点在单位圆上,β的终点在单位圆内部.利用平面几何中“到定直线距离相等的点在一条直线上”的结论画出图形,再利用“圆中两条平行弦所夹的弧相等”结合直角三角形的性质直接得到答案.

3.角的关系寻圆

传统的二胡演奏重视独奏能力而忽视合奏能力，导致演奏者在合奏时，只重视个人发挥，缺乏合奏意识。因此在新形势下开展二胡的多元合奏训练，提高团队合作意识，对二胡合奏的演出效果来说是非常必要的。

解 析如图6,作的 外 角 为120◦,则∠OAB=60◦.则点A在圆心为G,OB所张圆周角为60◦的圆的一段弧上,从而∠OGB=2∠OAB=120◦.在△OGB中,当点A在直径的端点C处时,|α|取最大值在点O处有最小值(不符合条件).故|α|的取值范围是

图6

评析由α与β−α的夹角为120◦利用“同弧(等弧)上的圆周角相等,同弧所对圆心角是圆周角的2倍”将条件直观表示,再利用“圆中最长的弦是直径”得到答案.

例8(2008年高考浙江理数)已知a,b是平面内两个互相垂直的单位向量,若向量c满足(a-c)·(b-c)=0,则|c|的最大值是( )

A.1 B.2 C.D.

解析如图7作因为(a-c)·(b-c)=0所以点C在以AB为直径的圆上,故|c|的最大值为圆的直径,即AB长故选C.

图7

评析由a⊥b与(a-c)·(b-c)=0得到O,A,C,B四点共圆,利用“直径上的圆周角是直角”与“圆中最长的弦是直径”的结论直接得到答案.

例9(2011年高考全国II卷理数)已知a,b,c满足若向量满足则|c|的最大值是( )

A.2 B.C.D.1

解析如图8作=c,∠BOA=120◦,∠BCA=60◦.因此O,A,C,B四点共圆.当线段OC为直径时|c|最大.连AB,在△OAB中,由余弦定理得再利用正弦定理可得其外接圆的直径为故选A.

图8

例10(2011年高考辽宁卷理数)已知a,b,c均为单位向量,且a·b=0,(a-c)·(b-c)0,则|a+b-c|的最大值是( )

A.B.1 C.D.2

解析如图9,c的终点在以1为半径的圆弧上运动,它到图中a+b终点距离的最大值为1.故选B.

图9

评析由(a-c)·(b-c)0知c的终点在以1为半径的圆弧上运动,先利用向量加法的平行四边形法则表示a+b,再结合图形直接得到答案.

4.坐标方法寻圆

例11(2014年高考湖南卷理数)在平面直角坐标系中,O为原点动点D满足|CD|=1,则的最大值是____.

解析动点D的轨迹为以C为圆心的单位圆,则其轨迹方程为问题转化圆(x-3)2+y2=1上的点与点间距离的最大值.圆心C(3,0)与点之间的距离为所以的最大值为

评析本题利用向量坐标运算将三个向量和向量的模长问题转化为求圆上的动点与定点距离的最大值问题.题干中给出了坐标,用坐标法是顺势而为!

例12(2018年高考浙江卷)已知a,b,e是平面向量,e是单位向量.若非零向量a与e的夹角为向量b满足b2−4e·b+3=0,则|a−b|的最小值是( )

A.B.C.2 D.

解析e为单位向量,设e=(1,0),b=(x,y).由b2−4e·b+3=0可得x2+y2−4x+3=0,即(x−2)2+y2=1.如图10,(B在圆C:(x−2)2+y2=1上运动),(A在l上运动,l与x轴的非负半轴所成角为过C作CD⊥l,垂足为点D,则故选A.

图10

评析本题在直角坐标系的平台上研究几何关系和数量关系,已知条件坐标化是解决此题的关键.通过直线与圆的方程将问题转化为定直线上动点与定圆上动点距离的最值问题,以平面向量为载体,隐圆于平面向量中,匠心独运,考查直观想象的核心素养于无痕.

例13(2016年高考四川卷理数)在平面内,定点A,B,C,D满足动点P,M满足则的最大值是( )

A.B.C.D.

解析因为且所以DA,DB,DC三条线段的夹角两两相等,且∠ADB=∠BDC=∠CDA=120◦.建立如图11所示的直角坐标系(D与坐标原点O重合),则取线段AC的中点N,则点N的坐标为因为M,N分别是线段PM,AC的中点,所以所以M的轨迹方程为(x−32)2+(y−12)2=14.问题转化圆(x−32)2+(y−12)2=14上的动点与定点间距离的最大值的平方.圆心与点之间的距离为3.所以则的最大值是故选B.

图11

评析利用三角形中位线的性质得到是解决本题的关键!有了这个关键,就能捕捉到M点的轨迹是圆.建立直角坐标系,则将问题转化成熟悉的问题——求圆上的动点与定点距离的最大值,使得原本复杂无序的变化显得清澈见底,直透本质.

例11到例13,有坐标用坐标、无坐标想坐标、缺坐标建坐标,无圆寻圆,无圆觅圆,层层递进,精彩纷呈!

高考向量试题启示我们看透包装把握问题的数学本质行之有效的途径之一就是换一种方式来表述问题.数学解题实质就是不断地转化问题,直至最简.

重视几何直观,不意味着忽视代数运箅,代数运算与几何直观相辅相成、相得益彰.用向量的运算来研究几何是向量学习中的重点,将向量包装的试题转化为几何问题是高考命题的特色,灵活自如地进行数与形的互相转化是我们的追求!