含有参数的线性规划问题及其解法

浙江省绍兴市柯桥区钱清中学(312025) 王红娟

湖北省阳新县高级中学(435200) 邹生书

线性规划问题通常是指在线性约束条件下求线性目标函数的最值问题,其求解方法就是图解法.根据二元不等式组的解与坐标平面内点的对应关系,将约束条件转化为平面区域,然后利用目标函数的几何意义求最优解和最值.线性规划问题将函数、方程、不等式和最值融为一体,将代数与解析几何有机联合,将函数方程、数形结合和化归转化等数学思想深透到问题的解决过程之中,因此线性规划问题成为考查考生能力和综合素养的良好载体.其中含有参数的线性规划问题,对考生能力方面的要求更高,从而使得问题难度大增.笔者通过统计发现含有参数的线性规划问题在高中较为少见,但在高考模拟考和联考中却风起云涌屡见不鲜,下面主要以模拟考试的题目为例,分类解析这类问题的解法.

图1

1.约束条件含有参数

例1在直角坐标系xOy中,若不等式组表示一个三角形区域,则实数k的取值范围为____.

解如图1,y=k(x−1)−1是斜率为k过定点A(1,−1)的一条直线,要不等式组表示一个三角形区域,由图知当且仅当直线y=k(x−1)−1与直线y=2x在第一象限有交点,故实数k的取值范围为(−∞,−1)∪(2,+∞).

例2(2015年高考重庆卷)若不等式组表示的平面区域为三角形,且其面积等于则m的值为( )

A.−3 B.1 C.D.3

解不等式组所确定的平面区域是图2所示的△ABC.易求得xC=2,xD=−2m,yA=m+1,所以S△ABC=S△ADC−S△BDC=(m+1)2=4,所以(m+1)2=4,又m+1>0,所以m=1,故选B.

图2

点评二元一次不等式所对应的平面区域是半个平面,其确定方法主要有如下两种方法.

方法一第一步,画出二元一次不等式所对应的二元一次方程所表示的直线,有等号画成实线,没有等号画成虚线;第二步,在直线外取一特殊点,若这个点的坐标满足不等式,那么这个点和这条直线所确定的半平面就是这个二元一次不等式所确定的平面区域,否则就是另一个半平面.确定区域的口诀是:直线定边界,一点定区域,合则在,不合则不在.

方法二若二元一次不等式可化为y>kx+b,则其表示的平面区域为直线y=kx+b的上半平面,反之为该直线的下半平面.若二元一次不等式可化为x>my+n,则其确定的平面区域为直线y=kx+b的右侧半平面,反之为该直线的左侧半平面.确定区域的口诀是:纵大则上,横大则右.这个方法简单实用.

有了上述二元一次不等式确定平面区域的方法,二元一次不等式组所确定的平面区域可象作战地图一样用箭头包围法来确定.

例3(2017年福州市高中毕业年级第二次质量预测理科第15题)已知x,y满足若目标函数z=3x+y的最大值为10,则m的最小值为______.

解把z=10代入z=3x+y得y=−3x+10.在同一坐标系下画出三条直线x=2,x+y=4,y=−3x+10,如图3所示.求得直线y=−3x+10与x=2,x+y=4直线的交点分别为A(2,4),B(3,1).则直线2x−y−m=0必过点A或点B.当直线过点A时求得m=0,当直线过点B时求得m=5,故m的最小值为0.

点评解题经验告诉我们:线性规划问题的最值如果存在,若最优解唯一,则最优解必是可行域的某个顶点即为两边界直线的交点,并且取得该最值时的目标函数所表示的直线也经过这个交点,此时形成三线共点的态势.若最优解不唯一,则取得该最值时的目标函数所表示的直线必与某一边界直线重合.以上两点经验直取核心在解决线性规划的最值等有关问题时具有很好的指导作用.

图3

2.目标函数含有参数

例4已知变量x,y满足约束条件若目标函数z=ax+y仅在点(3,0)处取得最大值,则a的取值范围是____.

图4

解不等式组所确定的平面区域是如图4所示的△ABC,其中点A的坐标就是(3,0).目标函数z=ax+y仅在点(3,0)处取得最大值,即直线y=−ax+z仅在点A处时的截距z取得最大值,由图知当且仅当直线斜率解得故a的取值范围是.

例5(2016东北三校联考题)已知变量x,y满足约束条件若使z=y+ax取得最大值的最优解有无穷多个,则实数a的取值集合是( )

A.{−3,0} B.{3,−1} C.{0,1} D.{−3,0,1}

解不等式组所表示的平面区域是如图5所示的△ABC.由z=y+ax得y=−ax+z,z就是直线l:y=−ax+z在y轴上的截距,−a是该直线的斜率,要使z取得最大值的最优解有无穷多个,由图知此时直线l应与直线AB或AC重合,则斜率−a=kAB=1或−a=kAC=−3,解得a=−1或a=3,故选B.

图5

例6当实数x,y满足时,1ax+y4恒成立,则实数a的取值范围是____.

法1不等式组所确定的平面区域是如图6所示的△ABC.求得A(1,0),BC(2,1),因为1ax+y4恒成立,所以三点坐标也应该满足不等式,于是有1a4,112a+14,解得故实数a的取值范围是

图6

法2设z=ax+y,则y=−ax+z,由图知当直线过点A时,截距z=a最小,当直线过点C时,截距z=2a+1最大.又因为1z4,所以有1a4且12a+14,解得故实数a的取值范围是

例7(2017年东北三省四市第一次联合考试第15题)若函数y=ex−a的图象上存在点(x,y),满足约束条件则实数a的取值范围是____.

解不等式组所确定的平面区域是如图7所示的△ABC.设曲线f(x)=ex−a与直线x−y=0相切于点(x0,y0),则有即解得易求得点C的坐标为(−1,5),当曲线y=ex−a过点C时求得a=e5+1.故实数a的取值范围是[0,e5+1].

例8(太原市高三第二次模拟考试第7题)设x,y满足不等式组若z=ax+y的最大值为2a+4,最小值为a+1,则实数a的取值范围是( )

A.[−2,1] B.[−1,2] C.[−3,−2] D.[−3,1]

图7

解不等式组所确定的平面区域是如图8所示的△ABC.因为z=ax+y,当z=a+1时,直线z=ax+y过点A(1,1);当z=2a+4时,直线z=ax+y过点B(2,4).注意到点A,B分别在直线3x−y−2=0和x+y−6=0上.由图知,要直线y=−ax+z分别在点A,B时截距z取得最小值和最大值,则其斜率−a满足0−akAC=2或0>−akBC=−1,解得−2a1,故选A.

点评直线斜率与截距的几何意义在上述解题过程中发挥得淋漓尽致,其中斜率几何意义理解不透彻是解题受阻或失败的重要原因.斜率的几何意义要注意如下两点,一是符号,二是绝对值.斜率大于零,函数递增直线上升,斜率小于零,函数递减直线下降.绝对值越大,直线越陡峭,绝对值越小,直线越平缓.斜率几何意义全面透彻的理解与应用是解决求最值问题的关键.

图8

3.目标函数含有双参数

例9设x,y满足约束条件若目标函数z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为12,则的最小值为( )

A.B.C.4 D.5

解不等式组所确定的平面区域是如图9所示的四边形OABC.因为z=ax+by,a>0,b>0,所以此直线斜率由图知,当此直线过点B(4,6)时截距取得最大值从而z=12最大,此时有4a+6b=12即2a+3b=6.于是有

图9

故选A.

图10

4.约束条件和目标函数均含有参数

例10设m>1,在约束条件下,目标函数z=x+my的最大值小于2,则m的取值范围为( )

A.(1,1+B.(1+√+∞) C.(1,3) D.(3,+∞)

解不等式组所确定的平面区域是图9所示的△OAB.由z=x+my得由m>1得由图知当直线z=x+my经过点时,截距最大,从而最大,依题意得即m2−2m−1<0,也就是(m−1)2<2,又m>1,解得故选A.