高中排列组合解题技巧研究

摘要：本文主要围绕高中排列组合问题进行研究讨论，旨在充分了解排解组合的解题技巧和排列组合的类型题目，为以后学好概率论和数理统计知识打下坚实的基础。排列组合类型的题目相对来说比较简单，也很易于理解，因此其也是考生比拿分的题型，但想全面掌握也是比较困难的，因为在高中数学教材中，排列组合的问题类型相对来说较多，题目和纷繁多样，而对于考生来讲，在解答此类问题时往往会因为没有分清题目，错用解题方法而导致题目解答错误。本文就高中排列组合问题的类型进行归纳和总结，目的在于将高中课程中涉及到的排列组合问题进行研究和归纳，为今后在解题和高考中遇到问题能够第一时间快速准确的找到解决问题的关键和方法，从而提升解题能力，培养学习数学的兴趣，并在高考中取得良好的成绩。

关键词：排解组合;相邻问题;相隔问题;定序问题

引言：

通过学习高中教材和阅读课外知识我们可以了解到，在高中数学习题中或者是高考数学常见排列组合问题有相邻问题，相离问题，定序问题，元素相同问题，圆排列问题等等。而对这些问题常见的解题技巧有捆绑法，插空法，空位法，隔板法。选取哪一种方法去解决问题是关键，也是我们要讨论的目的所在，因为在解答排列组合题目的时候一定要先判断清楚题目的类型，再选择使用什么解题方法，只有这样才能正确的解决问题，不然如果用错解题方法，将很容易算出一个错误的答案。下面对具体问题进行分析：

排列与组合都是计算从N个元素中任取R个元素的取法总数公式。其主要区别在于，如果不讲究取出元素间的次序，则用组合公式，否则用排列公式[1]。

一、相邻问题（捆绑法）

相邻问题是常见的一类考试题目，常常出现在高考的选择题中，以2两种元素为例子（当然在考试的过程中可能出现两个或者两个以上的元素相邻问题），此类问题有一个及其明显的特征，即要求元素A和B在排位时要在一起[2]。面对这类问题时，最简单的考虑方式就是就要把元素A和B捆绑到一起作为一个整体的元素C来进行考虑，也就是将元素C与其它的元素进行排列组合，再按照排列组合的公式进行解题即可，在解决此类问题的过程中，根据题目的要求，要充分考虑和注意元素A和B的位置是否可换。下面举两个例子：例子1：有ABCDE五个元素，进行排列组合，要求AB相邻，问有多少种排列方式？解答：利用捆绑法我们知道，考虑问题的时候把AB考虑为一个元素，即AB整体看成Q，所以原题可以看作为QCDE的排列组合，所以原题的结论为。这就是捆绑法在常见题目中的一种应用。例子2：上述的原题如果考虑AB两个元素的位置关系，那么AB两个元素的位置关系只能是AB和BA所以，上述例题将AB元素的位置关系考虑在内的话，就是。

二、相离问题（插空法）

相离问题和相邻问题一样也是排列组合经常考查的题目之一，以2种元素为例子（当然在考试的过程中可能出现两个或者两个以上的元素相离问题），这一类问题的特征就是要求A和B不能排在一起。当遇到这种问题时，就要将A和B抽出来，剩下的元素进行排列组合，那么开头、结尾及每两个元素之前就会留下一个空，接下来将A和B分别插入这些空里即可。举例子说明和分析，例子1：还以ABCDE，5个元素进行讨论，讨论AB不排列在一起的情况，那么就是将元素A和B提取出来，将CDE进行全排列，，CDE元素形成的空檔加上首尾一共是四个空档位置，也就是将A和B填充到这四个空档位置中，即，所以原题可以得到。

三、定序问题（空位法）

定序问题在排列组合中也是比较普遍的一个考点，但是它不会单独作为考点被考查，而一般是放到其他题目中，作为一个小考点去考查。定序问题一般是指在排列时某几个元素的相对位置已经确定了，还以两个元素为例子，比如要求元素A排列在元素B前面，那么A和B就不需要进行排列只需要找到它们的位置就好。那么就可以把A和B空出来如一共有n个元素，将剩下的（n-2）个元素进行排列就可以了，排法就是 。

四、元素相同问题（隔板法）

常见形式就是有m个相同元素，要分成n份。因为要求每一份中至少有一个元素，所以可以将m个元素先排成一排，每两个元素之间剩下一个空，用（n-1）块板插入这（m-1）个空中，就可以完成了，所有的分法数就是。针对这类问题，还有一种解决办法，在给定的题目中，我们了解到要求每一份中至少有一个元素，那么我们就先在每一份中都放入一个元素，剩下的m-n个元素再进行随机分配，也可以解除此题。例子：假设有6个乒乓球，要分成3份，那么利用上述的第一种方法，可以求得结果，求得结果等于10种;那么利用第二种方法可以得到，每一个份里面必然有一个乒乓球，那么剩余的乒乓球就是6-3=3个，将剩余的3个球随机放入三份中，那么就有。所以原题可以求出。

通过这个例子我们可以看出，解决高中数学中的排列组合问题的方法不只是一种，而是很多种，所以在平日的习题训练过程中，我们要充分找到解题思路和解题方法，只有这样才能迅速找到解题的有效途径，获得事半功倍的解题能力。

五、圆排列问题（直排法）

圆排列问题也是排列组合中常见的考点之一，圆排列的考查点在于首尾相接的问题，当题目中出现圆桌，穿成项链之类的字眼时，就表示此类问题是圆排列问题。在解决圆排列的问题中，不妨找出一个点，将这个点固定，然后在这条直线上进行排列，又因为圆首尾相连，所以会出现重复的情况，最后除去重复的情况即可，计算式为 。

六、结束语

排列组合问题虽然说在高考中所占的比重不是特别大，知识点学起来也不是特别困难，但是要想学好学会弄懂，却要下一定的功夫，针对具体的排列组合问题要找到相应的处理方法。只有这样才能的解决排列组合的问题。从而在高考中取得良好的成绩，并为学习好概率论和数理统计知识打下坚实的基础。

参考文献：

[1]茆诗松 程依明 濮晓龙.概率论与数理统计教程[M].高等教育出版社.2004

[2]徐辉梅.高中数学排列组合解题技巧研究[J].高中数理化.2014 （22）：7-7

作者简介：刘宗雨（2000.10）男，民族：汉，学校：河南省郑州市第七中学。