数学概念教学的实践与思考

曾庆丰

本节课通过“提出问题→寻找其中的量→对量进行分类→归纳概念”的探究式教学设计，让学生亲身经历概念形成的全过程，感受数学概念形成的自然性与合理性，加深学生对概念的理解。

环节一：创设情景，导入新课

师：同学们，从小学步入初中到现在的这段时间里，你发生了哪些变化？

生：年龄增长了，身高长高了，知识增多了，体重增加了……

师：实际上，我们生活在一个充满变化的世界里，你还能列举一些日常生活中不断变化的量的例子来吗？

生：行驶的自行车，它的路程；放飞的风筝，它的高度；投篮时，篮球的高度……

环节二：实践体验，探索概念

师：请同学们解答下列问题。

问题1是汽车以60千米/时的速度匀速行驶，行驶里程为s千米，行驶时间为t小时，请填写下面的表格。

[t/时 1 2 3 4 5 s/千米 ]

师：问题1中有哪些量？

生：速度、路程和时间。

师：问题2是在一根弹簧的下端挂重物，弹簧的原长为10cm，每1kg的重物使弹簧伸长0.5cm，设重物的质量为mkg，受力后的弹簧长度为lcm，怎样用含m的式子表示l？

（此时，大部分学生遇到认知障碍，教师借助多媒体提示，如图1。）

生（顿悟）：

师：问题2中有哪些量？

生：弹簧的长度、重物的质量、弹簧的伸长……

师（补充）：一共四个量——弹簧的原长、受力后的弹簧长度、重物的质量和每挂1kg重物弹簧伸长的长度。

问题3是如图2是某地在24小时内的气温变化图，图中有哪些量？

生：时间和温度。

师：你能对上面三个问题中涉及的量进行适当的分类吗？你分类的依据是什么？

生：我把上面的量分为两类——速度、弹簧的原长、每挂1kg重物弹簧伸长的长度为一类；路程、时间、受力后的弹簧长度、重物的质量、时间和温度为一类。分类的依据是：量的取值是否发生变化。

师（归纳）：回答得很好！在一个变化过程中，我们把数值发生变化的量叫作变量，比如，上述三个问题中的路程、时间、受力后的弹簧长度、重物的质量、时间和温度；把数值始终不变的量叫作常量，比如速度、弹簧的原长、每挂1kg重物弹簧伸长的长度。

环节三：反思提炼，归纳定义

师：在前面的三个问题中，同一个问题中的两个变量之间有什么联系呢？同学们之间交流一下。

生：一个量变，另一个量跟着变化；一个变量的值确定，另一个变量的值也确定了。

师（结合三个问题）：对于行驶时间t的每一个取值，有唯一的行驶里程s与其对应；对重物质量m的每一个取值，有唯一弹簧长度l与其对应；对于时间的每一个取值，有唯一的温度与其对应。一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数。

练习：下列式子中，y是x的函数吗？为什么？

（1）y3x5；（2）y[1x]；（3）y2x。

生：（1）是的；（2）不是的，因为x≠0；（3）不是的，因为x不能取负数，y取互为相反数时，x是一样的。

师：对于问题（2）我们默认x≠0；由于y2≥0，所以x是非负数。对于x的每一个确定的值，（1）、（2）都有唯一确定的值与它对应，而（3）有可能有两个互为相反的两个数与它对应，所以（1）、（2）是，而（3）不是。

教学反思

整节课围绕三个问题展开，循序渐进，逻辑线条明晰，知识间的衔接与过渡流暢、自然；注重概念的形成过程，让学生全程参与常量、变量和函数这三个概念的形成过程，真正突出了学生是学习的主体，教师是学生学习的组织者、引导者和合作者。但是由于教师在整个教学过程中，忽视了变量与函数的使用范围（在一个变化过程中），淡化了变量与函数之间的关系（函数是两个变量之间的一种特殊对应关系），致使整节课的问题设计略显单薄，缺乏对概念本质的把握和揭示。

数学概念虽说是“老祖宗”人为规定的，但它也是“先人”们在长期的生产、生活实践活动中，通过对现实世界的观察和切身体验，发现了某些事物的共同属性，进而抓住事物的本质进行提炼、归纳、概括出来的，所以，每一个数学概念都有一个形成过程。在教学中，让学生经历这个过程，不仅有助于他们感受数学概念定义的自然性与合理性，加深对概念本质内在联系的理解，而且也能有效地培养学生从具体到抽象的概括能力和推理能力。

数学中的很多概念之间都是相互关联的，但这种关联又是潜在的，初学者一般不易察觉。这就需要教师去挖掘，并在教学中加以渗透、展现，让学生在学习的过程中去体验、感悟概念间的联系与区别，有助于优化学生的认知结构。比如，在变量与函数的教学过程中，教师可以通过“在一个变化过程中：‘存在多个变量→只有两个变量但有多种对应关系→两个变量间是一对一或多对一的关系→函数”的教学设计流程，去渗透变量与函数间的内在联系与区别。这样设计，既可以让学生从变量的高度去认识函数，也可以从函数的角度去审视变量，变量与函数这两个概念也就不再是孤立的了，而是一个有机的整体。

在日常教学中，很多教师在上概念课时，总会设计出大量的选择题、判断题、填空题让学生去做，目的是想让学生真正地掌握概念。这样做的想法是好的，但效果往往很差，从而造成课堂效率低下。实际上，许多数学概念不是通过一节课、两节课甚至一个月、一个学期学生就能够真正掌握的，它需要一个知识积累的过程，认识不断提升的过程。

（作者单位：襄阳市第七中学）

责任编辑 张敏