一次函数在方案设计中的应用

程蒙

摘要：一次函数是初中学习中最基本的函数，它的应用非常广泛，本文就其在经济活动中的方案设计和选择问题做了归纳，重点研究其在分配和调运中方案问题，突出函数思想。

关键词：一次函数；方案设计

一次函数是最基本的函数，它与一次方程、一次不等式有密切联系，在实际生活中有广泛的应用，尤其利用一次函数的增减性等有关知识可以为某些经济活动中的方案设计和选择提供帮助，做出最佳的决策。近几年来一些省市的中考或竞赛试题中也时常出现这方面的应用题，这些试题新颖灵活，具有较强的时代气息和很强的选拔功能。下面以几道中考题为例说明一次函数在中考中的重大作用。

一、分配方案的设计

例1某经营世界著名品牌的总公司在我市有甲、乙两家分公司，这两家公司都销售香水和护肤品，总公司现将香水70瓶、护肤品30瓶分配給甲、乙两家分公司，其中40瓶给甲公司，60瓶给乙公司，且都能卖完，两公司的利润（元）如下表：

（1）假设总公司分配给甲公司x瓶香水，求：甲、乙两家公司的总利润W与x之间的函数关系式子；

（2）在（1）的条件下，甲公司的利润会不会比乙公司的利润高？得出结论并说明理由。

（3）若总公司要求总利润不低于17370元，请问有多少种不同的分配方案，并写出方案。

考点：一次函数的应用 专题：函数思想

解：（1）依题意，甲公司的护肤品瓶数为：40-x，乙公司的香水和护肤品瓶数分别是：70-x，30-（40-x）=x-10，W=180x+200（40-x）+160（70-x）+150（x-10）=-30x+17700

故甲、乙两家公司的总利润W与x之间的函数关系式是W=-30x+17700

（2）甲公司的利润为：180x+200（40-x）=8000-20x；乙公司的利润为：160（70-x）+150（x-10）=9700-10x，8000-20x-（9700-10x）=-1700-10x<0

∴甲公司的利润不会乙公司的利润高。

（3）由（1）得 ，解得10≤x≤40，再由W=-30x+17700≥17370，得x≤11

所以10≤x≤11，所以有两种不同得分配方案。①当x=10时，总公司分配给甲公司10瓶香水、30瓶护肤品，乙公司60瓶香水、0瓶护肤品；②当x=11时，总公司分配给甲公司11瓶香水、29瓶护肤品，乙公司50瓶香水、11瓶护肤品。

【点评】此题考查得知识点是一次函数的应用，关键是先求出函数关系式，再对甲、乙公司的利润进行比较，通过求自变量的取值范围得出方案。

二、调运方案的设计

例2某市产苦荞茶、青花椒、野生蘑菇，为了让这些珍宝走出大山，走向世界，政府决定组织21辆汽车装运这三种土特产共120吨参加全国农产品博览会，现有A型、B型、C型三种汽车可供选择。已知每种型号汽车可同时装运2种土特产，且每辆车必须装满，根据下表信息解答问题。

（1）设A型汽车安排x辆，B型汽车安排y辆，求y与x之间的函数关系式。

（2）如果三种型号的汽车都不少于4辆，车辆安排有几种方案？并写出每种方案。

（3）为节约运费，应采用（2）中哪些方案？并求出最少运费。

考点：优选方案问题

解：（1）方法①根据题意得4x+6y+7（21-x-y）=120，化简得：y=-3x+27；法②根据题意得：2x+4y+2x+（21-x-y）+2y+6（21-x-y）=120，化简得：y=-3x+27。

（2）由 解得5≤x≤ ，因为x为正整数，所以x=5，6，7，故车辆安排有三种方案，即：方案①A型车5辆，B型车12辆，C型车4辆；方案②A型车6辆，B型车9辆，C型车6辆；方案③A型车7辆，B型车6辆，C型车8辆。

（3）设总运费为W元，则W=1500x+1800 （-3x+27）+2000（21-x+3x-27）=100x+36600，因为W随x的增大而增大，且x=5，6，7，所以当x=5时， =37100元。

【点评】本题考查的是用一次函数解决实际问题，此类题是今年中考中的热点问题，注意利用一次函数求最值时关键是应用一次函数的性质，即由函数y随x的变化，结合自变量的取值范围确定最值。

综上所述，利用一次函数的性质及不等式的整数解与方程的有关知识可以解决实际生活中许多的方案设计问题，如果同学们能切实理解和掌握这方面的知识与应用，对解决方案问题的数学题是很有效的。

参考文献

[1].吴克.一次函数与方案设计问题探究[J].初中生世界.2015年2月：49-53.

（作者单位：湖北省十堰市第二中学湖北十堰）