反以变量代参数解三变量立自参互变法解三变量

俞 泉

南昌市第五中学 江西南昌 330038

有许多高考试题对于三变量函数恒成立的题型没有清晰的解法，反而用了一种错误方法解题，以下面的例题来讲：

读者只要看第二问，很明显这里有三个参数(k.m.x)，我们先看答案：

首先，我们知道了a＝0，函数f（x）=x-x，题目中f(x)≤kx-m恒成立，其中m≥0，我们先不看后面的问题，直接看题目前半部分，我们可以题目转化为任意想x∈(0，∞)，任意m∈(0，∞)，有x-x+m-kx≤0恒成立，求参数k的最值？拿到这个题目很多同学就明白了，我们按答案的方法解题我们先把x看成自变量，把k和m看成参数，可以如答案一样求得k+1≥e-1-m，那么这里就需要注意了，答案认为k+1的最小值最小值就是e的负一减m次方，并把它代入(k+1)m，直接认为h(m)是关于m的函数，把参数k换掉了，最后求出h(m)最大值，但答案忽视了一点，在求得k与m的关系时能不能直接用m代(k+1)的最值，这显然是不行的。

我们知道在求到k与m关系时，m＞0，这个这个不等式恒成立，在这里，我们要用到变换主元法，把m看成自变量，k为参数，我们可以求得（k+1）的最小值为e分之一，再把（k+1）*m最小值是m乘以e分之一，h（m）无最大值。

或许很多同学还没认识到答案的错误。我们来看，既然k+1≥e-1-m，m＞0，我们得k+1的最小值，而答案居然把k+1最值用m表示，显然没有理解恒成立的真谛。如果按答案所说，当m＝1时，h（m）取的最大值，此时k+1的最小值为e方分之一，明显与k+1≥e-1-m，m＞0，恒成立不符，答案结果只是得到了m在(1，∞)上恒成立范围，而没有求到m在(0，1)上恒成立。这里就是用自变量代参数求最值，在就是一个错题。

同学们，我们恒成立的意思就是无论自变量取什么值，我的参数一定恒大于或等于它的函数值。我们反观此题，这个题目涉及三个变量，对于这种三变量题，我们应当好好利用我们的自参互变法，所谓自参互变法就是在恒成立中，我们三个字母既可以当自变量，又可以当参数，我们要明白，函数中的自变量或参数只是符号。只要恒成立题中有三个变量求参数范围或最值题，我们一定用这种方法，我目前还没有遇到这种方法做不来的题目，并且这是最有用的方法，下面我们用这种方法解两题。

例题1中，我们发现三个变量(x.a.b)，这就是典型题，我们先把a看成自变量，x和b是参数，我们知道要恒成立，就要求h（a）的最大值，之后我们找到b与x的关系不等式，因为我们要求b的范围，自然我们把x看成自变量，所以我们只要求f（x）的最大值，最后我们可得参数b的范围。

例题2中，我们发现三个变量（x.a.m），我们先将不等式变型，把x看成自变量，a和m为参数，显然我们要恒成立，所以我们先解f（x）的最大值，可以知道a和m的关系，最后再转化为关于a的一次函数，之后就是恒成立常规题求h（a）的最大值≤0。可以求得m的范围。

我们现在再回顾一下这种题型，是不是发现我们的自参互变法很有用。我们发现首先我们要知道要求最大值还是最小值，之后再找两函数，这两函数的自变量为除所求变量外另两个变量，在这里到底是先求哪个函数呢？我们一定先求最容易知道最值的函数动手，一般情况下（首选一次函数，再二次函数，再分式函数。）不过题目都是设计好的，我们求完一个函数后，另一个函数一定很简单。