2017年北京卷抛物线大题分析

金鑫 费连花

一、背景分析

1.研究对象是y2=2px（p>0）的抛物线，过y轴一定点P（且不为原点O）的动直线被抛物线所截弦为AB，设kOA+kOB=k，求证k为定值.

证明  lPA： x a + y b =1， ①

C：y2=2px（p>0）， ②

k= y1 x1 + y2 x2 = y1  y21 2p  + y2  y22 2p  =2p y1+y2 y1y2 ，

將①代入到②式中，消x得y2=2pa 1- y b  ，

整理得y2+ 2pa b y-2pa=0，

由韦达定理得y1+y2=- 2pa b ，y1y2=-2pa，∴k= 2p b .

2.过A作x轴的垂线交OB于点A′，取AA′中点M，判断M点与x轴的位置关系.

解  设A，B两点坐标分别为（xA，yA）（xB，yB）.

lOB：y= y2 x2 x，yA′= y2 x2 x，yM= y1+ y2 x2 x1 · 1 2 = x1 2   y1 x1 + y2 x2  = p b x1.

这说明P点在y轴正半轴上，M点必在x轴上方，反之在下方.

3.求出射线OM的方程.

答：y= p b x（x>0），说明此射线位置确定.

结论：kOA+kOB=2kOM，三条直线斜率成等差数列.

4.M点轨迹.

解  M x1， p b x1 ，对应参数方程 x=x1，y= p b x1，

∴y= p b x（x>0）为M点轨迹.

注意3，4对应的方程是完全一样的.

5.求出Q点坐标.

解  y= p b x（x>0）， ①

y2=2px（p>0）. ②

联立得x= 2b2 p ，y=2b，Q  2b2 p ，2b .

二、结论分析

以上的5个结论始于P点，而P点的位置是y轴非原点，也可以理解成是过抛物线顶点且垂直于对称轴的直线上的点（异于顶点）.笔者通过斜率的关系将过P点的直线与抛物线交出的交点弦的特征给出，笔者希望读者能够理解P点作为图形的先天环境之一，甚至是某些结论的决定因素，从另一个角度来说它是一个动因，它的位置影响着斜率和的值是否为定值，影响着M点的位置，影响着M的轨迹，影响着Q点位置.本文通过坐标法讲解，所以参量b作为动因P的代数形态表达，那么所有能用b表达的量且其他量确定的情况下，因P动而动，反之因P定而定之.

三、真题分析

2017（北京·理科）18题：已知抛物线C：y2=2px过点P（1，1），过点 0， 1 2  作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点.

（Ⅰ）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程;（解答略）

（Ⅱ）求证：A为线段BM的中点.

（Ⅱ）初步分析：笔者在背景分析中为读者提供了这个高考题的原始形成过程，当然这并不能直接让读者受益，希望读者能够明白，我们可以根据研究其形成过程去对题目改编及创造或者重新赋值，接下来我们对这个高考题的数据进行具体的测试.

我们假设已知A为线段BM的中点，然后找出影响的那个Q点，由题可知p= 1 2 .

由背景分析中的5号结论可得Q（1，1），当然这里如果是笔者的话，会考虑直接赋这个值，反推出这个抛物线方程然后去编题.

深度分析：现在来看，这个题目是先找到Q点然后编辑的题目，但是考生并不会立刻判断出这个Q点竟然如此特殊，考生往往以为条件用过一次可以忽略了，其实不然，还有一个问题就是考生总是怕设斜率k，因为设了以后他就知道联立韦达，其实我们很有必要对它进行真假动因的判断，而这种判断往往需要一定的计算能力，笔者在这个题目的分析中没有用斜截式，而是截距式.最后我们来说一下第二问的思路，分别计算BM中点坐标，还有BM和OP交点坐标，判断重合即可.