NURBS在数控插补算法中的应用比较

张宏林 杜周洋 程帅 杜玉科 冀永刚 刘智勇

摘 要：本文指出了NURBS在数控插补算法中的重要作用，分析了传统插补算法的不足。通过分析非均匀有理B样条曲线的参数表达形式，总结了其特点与在插补应用中的优点，为插补算法的设计提供参考。

关键词：NURBS;插补;进给

DOI：10.16640/j.cnki.37-1222/t.2019.05.152

数控技术是一门高新技术，集合了计算机技术、微电子技术、自动控制与自动检测等技术于一体。而数控系统插补算法的优劣是评价控制系统性能的重要指标。非均匀有理B样条曲线，简称NURBS（Non-Uniform Rational B-Spline），是现代高档数控加工系统插补方式中必须支持的功能[1]，也是高低档数控系统的划分依据。NURBS的研究己是当前数控技术的的热点与难点问题之一。

传统的插补算法分为粗差补和精差补两部分，在粗差补阶段通过CAM软件将曲线按加工精度要求划分为大量的小直线段或小圆弧段，编写G代码输入到数控系统中，再由数控系统插补器对G代码中的每一微段进行精插补。这种插补算法数据传输量大，并且加工质量较差。

NURBS具有设计灵活、算法稳定等优点，国外先进的数控系统应用NURBS在许多方面的处理能力都比较成熟，比如：参数预插补、加减速控制、系统前馈、精确补偿和最佳拐角确定等，而我国在这一方面相对落后。

1 传统插补方式的算法问题

数控机床首先应用在模具工业，后来在汽车、航空、航天等领域也得到了普及，这些领域的零件存在大量复杂型面，如果按传统的粗、精插补方式进行数控加工，会存在以下问题：

（1）程序文件巨大，传输困难，需要机床有大的数据存储量。

（2）加工精度难以提高。在粗插补阶段需要以直代曲，用直线逼近曲线;在精插补阶段又需要以曲代直，用折线逼近直线。经过两次插补，原本光滑的零件曲面其插补轨迹已变得不光滑，加工出来的零件用肉眼可以观察得到复杂曲面上有明显的条纹和棱角，影响加工精度。这是由于数学算法的原因，使加工难以得到光顺性好的曲面。

（3）进给速度难以提高，加速度及加加速度变化剧烈。由于曲面用大量曲线近似，曲线用大量折线近似，曲线轨迹不光滑，影响机床速度变化不连续，加速度变化严重，加工速度慢且机床震动强烈。如果插补过程中的加、减速度数值超过机床的承受能力，会产生失步或丢步，使机床过切或切不足，影响零件质量;同时加工时速度的加、减速改变太频繁，会使加工效率变低。

2 空间曲线的描述方式

目前有三种常用的空间曲线描述方式。

其中，为第个控制顶点;，为的权因子，它越大曲线就越接近控制点，为参数值。为次规范样条基函数，与B样条曲线基函数相同。NURBS曲线可通过控制顶点的坐标和其所对应的权因子来改变曲线形状，而且属于局部形状的更改，曲线的调节自由度更大。改变k值，可构造不同幂次的样条曲线，这样有利于导函数的求解，并且方便寻找NURBS曲线的高曲率点。

3 NURBS曲线的优点

在众多曲线表达形式中，非均匀有理样条曲线设计灵活、算法稳定，适合成为计算机几何信息表达、图形设计和数据交换等方面的工业标准[2]。1991年国际标准化组织（ISO）的数据交换国际标准STEP中把NURBS作为自由型曲线曲面的唯一表达方式。

NURBS曲线的优点：

（1）可精确地表示所有曲线。它为现代曲面造型技术提供了一个统一的标准，并为精确表示标准解析形状和自由型曲面提供了一个统一的数学形式，可简洁、精确地表示直线和圆弧等规则曲线，因此，这两类形状信息可以通过一个统一的数据库来存储。

（2）B样条曲线基函数具备规范性，其曲线具有明确的几何解释和几何不变性，即它的数学表达形式、所表达的形状都与坐标系的选择无关，曲线在旋转与平移变换后性质不变，曲线投影变换后得到的还是原来的曲线。

（3）NURBS 曲线计算量比较大，且计算也比较繁杂，但一旦建立这种描述关系，NURBS曲线的计算稳定且速度快，使插补效率得到极大的提高，

（4）形状控制方便灵活、造型功能强大。NURBS曲线引入权因子和分母，改变权因子的数值，可以很方便的改变控制顶点的位置，从而改变曲线的形状。NUBBS是一种通过变化和再组合得到的曲线方程，具有方便的配套几何计算工具，可用于节点删除、插入、分割和升阶等各个分析、设计、处理环节，在进行数据处理和存储时明显比传统方法程序量少，更适合数控加工和编程。

4 NURBS在插补算法的优势

NURBS插补在加工中的优势体现在：

（1）可以直接对曲线插补，而不是划分微段，程序代码大为简化。NURBS 曲线插补使用一种数学模型来表达进给速度和曲线参数之间的关系，NURBS用控制点、权因子和节点矢量来描述曲线信息，因此程序代码大为减少，粗插补代码量大约是传统代码的0.1倍， 避免了由于离散的小线段产生大量数据传输问题。并且指令精度不会随着加工精度的提高而增大。

（2）加工精度更高。NURBS可以精确的表达各类规则的图形曲线而且精度高，可用插补周期所决定的最小步长构成弦线来逼近轮廓，曲线插补点间隔极短，并且插补点均在曲线上，因此没有径向误差，同时轮廓误差也远远地小于采用直线逼近时的轮廓误差，获得最高的逼近精度。

相比之下，传统插补以直代曲的多次逼近，减少了精度损失。NURBS算法虽然在每一个插补周期内机床也是做平行于导轨的直线运动，但刀具的移动量非常小，引起的误差轮廓误差大大小于传统插补中由于直线逼近所引起的误差。同时由于不划分微段，在加减速控制时，数控机床运动连续而顺滑，加、减速段更少，机床震动少而且加工效率更高。

（3）进给速度更高，进给过程平稳。NURBS同时具有在分段轨迹衔接点处连续可导的优点，可在加、减速控制过程中实现平稳地速度切换，曲线加工时刀具轨迹不再是由多条折线来近似的曲线，而是一条样条曲线。 NURBS能够避免折线所引起的刀具运动方向的突然改变，使刀具沿样条曲线的轨迹可以平滑地移动，当加工方向变化范围为一定值时，无需加速和减速，这样不但提高了进给速度，也提高了加工精度和表面质量，因此具有重要的理论和实践意义。

（4）NURBS的几何信息完整。零件加工轮廓的NURBS几何信息可以完整、准确的事先传输到数控系统，在参数预插补中，完成必要的数学运算，解决参数曲线运算量过大的问题。

（5）合理規划好进给速度的大小是提高曲线插补精度的关键， NURBS参数曲线具有进给速度更加平滑且误差容易控制在容许的范围内的优点。高速加工需要速度过渡曲线平滑，使加工速度快并且响应灵敏。NURBS方程参数插值本身具有进给速度更加平滑的优点，而进给速度的连续性解决了小线段之间的转折连接问题。

总之NURBS插补在存储空间需求量、位置精确度以及速度平稳性上具有更多优势，更适合于空间曲面加工中对高速、高精度的要求。

5 总结

传统的插补方法存在二次插补问题，加工不连续，加工的零件表面不光滑，加工精度不足。但如果采用NURBS插补，则需要5次样条曲线才能保证端点一阶、二阶连续，计算量过大，因此在数控插补领域，一般都是用三次的NURBS曲线进行插补计算。

参考文献：

[1]Piegl L，Tiller W.非均匀有理B样条[M]2版.北京：清华大学出版社，2010.

[2]李建刚，张婷华，李泽湘等.一种完善的自适应NURBS曲线插补算法[J].机械工程学报，2008，19（09）：1095-1102.

基金项目：西安思源学院科研项目资助《基于NURBS的高速数控加工前瞻插补控制算法的研究与实现》（XASY-B1805）

作者简介：张宏林（1972-），男，陕西潼关人，硕士，高级工程师，教师，主要从事数控技术和机械设计研究。