多维融通：儿童数学素养落地的重要通途

江苏扬州市邗江区实验小学 黄 彪

《义务教育数学课程标准（2011年版）》明确指出：让学生用数学眼光观察世界，用数学思维思考世界，用数学语言表达世界。 这是小学数学教学的最终目标。 在数学素养为导向的当下要实现这样的目标，需要从完整学习的理念出发，用融通的思维来开展实践， 具体来说就是不局限于过去静态的、事实性的、结论性的经验系统，改变过去将认知、情感和态度等方面对立起来的二元论，让数学学习不仅是认知的过程，还是一个让学习者全部身心和精神都真正参与进来的过程，主要可从以下四个方面开展实践。

一、纵横交融，让学生察而有真觉

问题是思维的触发器，有了问题，学生的数学探索才会开始，数学研究才会深入，也才会有创新的火花展现。 要培养学生的数学眼光，就要引导学生积极面对各式各样的问题情境，包括显性情境和隐性情境，从中发现并提出有价值的数学问题。 然而，现有的实践研究主要集中于启发学生根据显性情境中的已知条件提出问题，并分析、解答，这样的反复训练，一方面学生容易形成固化的模式和“条件反射”，另一方面由于对生活直观的过多依赖，学生对数学知识缺少深刻理解，难以建构起整体的联系。 实际上，数学教学应更多地鼓励学生从学习现状（即隐性情境）出发，自疑自问，真疑真问，随疑随问，让每一次数学学习的起点都精准，每一次数学信息的汲取都鲜活。 这就需要教师帮助学生在面对新问题时，能对学情做自我审视和理性判断，并引领他们根据具体的学习内容和学习进程，灵活地在不同学习方式间作选择，主要包括两个方面：一是横向数学化，即基于生活经验，把生活世界自然地引向数学世界；二是纵向数学化，即在数学世界里实现知识的重组、方法的重构和思想的重塑，并付诸应用，以真起点引发前行内驱，在真体验中获得真知真觉。

以苏教版数学三年级下册“两位数乘两位数”单元教学为例， 这部分内容是在学生学习过两、三位数乘一位数的基础上进行的，掌握了两位数乘两位数的计算方法，能为今后学习更多位乘数的乘法计算、四则混合运算以及解决与之相关的实际问题奠定基础。 本单元的主要内容包括：两位数乘整十数的口算、两位数乘两位数（不进位）的笔算、两位数乘两位数（进位）的笔算和乘数末尾有0的乘法等。其中，理解两位数乘两位数的笔算方法是重点。 考虑到学生对多位数乘一位数的知识有所遗忘，笔算两位数乘两位数时掌握乘的顺序和写的方法均需要以算理为支撑，学生理解上有难度，在教学两位数乘整十数的口算和两位数乘两位数（不进位）的笔算时，可选择横向数学化的方式，即从教材中的生活情境引入， 让学生提出问题并得出算式，算法探究过程中再借助生活情境帮助学生理解算理，掌握算法，继而实现从生活世界到数学世界的自然衔接。 以此为基础，为避免学生受到非本质因素的干扰，让新旧知识的链接和数学思维的衔接有连续性，在教学两位数乘两位数（进位）的笔算和乘数末尾有0的乘法时， 可去除书中情境引领学生作纵向数学化的学习，直接从“不进位”过渡到“进位”，让学生在自主尝试中获得体验并产生疑问，如今天学习的两位数乘两位数和前面有何不同？ 出现进位了该怎么办？ 第一个乘数和第二个乘数末尾的0相乘可否省略？ 直接关注数学本身，直接叩击知识本质。 如此，通过教师纵横交错的教，去实现学生灵活多变的学，学习效率会明显提高，也有益于学生数学素养的发展。

二、感理交融，让学生思后有深悟

数学教学中的感性主要指具体形象思维，理性主要指抽象逻辑思维。 小学生的思维发展正处于具体形象思维向抽象逻辑思维的过渡阶段，这就意味着教学时两者不能彼此割裂， 既要在衔接上下功夫，又要在理性思考能力的提升上动脑筋。 然而，现实中不少数学知识的教学主要基于规律的猜测和发现，即便证明也仅限于操作和举例。 要培养学生的数学思维，就要强化感性认识与理性思考的有机结合，突出对数学信息的深加工。 具体来说，要引领学生既能摆脱直观多做理性思考，又能在理性思考时借助直观作多元表征，并灵活地解决疑难问题。

如在教学圆柱的特征时，学生通过观察很容易发现圆柱的两个底面是相等的， 关键是如何证明。通常有两种方法：一是比一比，将圆柱实物的盖子取下与另一个底面作比对，根据完全重合证明两底面相等；二是量一量，借助直尺和细绳，度量两个底面的直径或周长， 由直径或周长相等得出面积相等。 如果教学止步于此，学生的思维缺乏严密性，抽象逻辑思维很难得到发展。 实际上教学可更进一步：首先鼓励学生质疑，让学生发现在“比一比”“量一量”的过程中容易出现误差，继而引发理性思考“还有更好的证明方法吗？ ”接着出示一个长方形，适当配以动画来引导学生想象长方形旋转形成圆柱的过程； 最后基于学生想象让学生在推理中发现：长方形的宽就是圆柱的底面半径，由半径相等得出底面相等。 如此安排，学生经历了动手操作—动脑想象—数学推理的全过程，思维从感性向理性螺旋式推进，领悟深刻。 今后在面对复杂问题时，学生会自然地从体积计算公式出发，配合脑海中呈现的立体图形表象，寻找到相关信息，轻松解决问题。

三、内外交融，让学生言里有底气

从某种意义上来说，数学学习就是数学思维活动。 数学语言作为数学思维的载体，在学生数学素养形成过程中具有重要价值。 从信息加工论的观点来看，人的知识体系一般需要经历信息输入—信息加工—信息输出的过程才能形成，数学教学往往止步于第二阶段，学生听懂即行，会做即可。 殊不知听懂不一定能融会贯通， 会解题往往只是重复加工，真正意义上的信息输出并未形成。 培养学生用数学语言表达，正是实现信息输出的重要方式之一。 需要注意的是，数学语言是一种高度抽象的人工符号系统，儿童在学习时必然存在难度，教学时要注意内外交融：向内提升学生的理解力，可通过强化知识之间的关联促理解，借助文字、符号和图形的多元表征促理解，灵活运用变式比较，演绎推理，类比迁移等方法促理解；向外培养学生的表达力，教师要为学生创设交流与表达的机会，激发他们表达的自主能动性，引导他们从正确表达、清楚表达，走向数学表达。

以常见的问题解决为例，如“学校买了8套课桌椅共花了1440元， 每张课桌120元， 每把椅子多少元？ ”正确表达一般直接指向结果，主要表现为面对问题能列出算式，并说出每一步算的是什么。 清楚表达既指向结果，也指向过程，主要表现为能用分析法或综合法阐述自己的想法和相应的做法，必要时配以图示说明。 数学表达则是引导学生用数学的模式与方法呈现真实问题中的关系， 建立数学模型，并能完整而有逻辑地作解析。 上述问题教师可以从以下四个方面培养学生的数学表达：一是引导学生通过数量关系分析和数据观察，与相遇问题产生沟联；二是说出此问题与相遇问题的共同特点及对应关系；三是建立数学模型“AB＋AC＝S”，列方程求解并验证；四是基于此模型创编新问题并作解析说明。

考虑到任何一种语言都需要以普通语言（学生日常生活的语言）为解释系统，数学语言也是如此，因此在教学时要加强两种语言的互译，主要包括两个方面：一是将普通语言数学化。 如每袋大米的价钱×大米的袋数＝购买大米总共付出的钱，诸如此类的语言均可表达为单价×数量＝总价。 如此转换，除了准确、严密、简明外，还能帮助学生用一个数学模型来解决多个实际问题。 二是将数学语言普通化。 有些数学语言口头表达有难度，翻译成普通语言后学生会感到通俗易懂，便于交流。 如加法结合律是小学数学五大基本定律之一，用文字叙述或用含有符号的式子表示均显冗长，小学生难以表述清楚，很多时候都是死记硬背，时间一长容易混淆或遗忘， 在单元复习时可鼓励学生用自己的话说说对加法结合律的新理解。 如“只要是连加，随便哪两个数先加结果都一样”“在加减混合运算中，可以先算出一共要加多少，再算出一共要减去多少，最后再把两个结果相减”， 这样既巩固了学生对加法结合律的理解，也引发了学生由三个数连加向多个数连加以及加减混合运算作延伸思考，实现了学生对加法交换律和结合律的综合运用和灵活运用。 实践告诉我们，当学生能用普通语言陈述概念的定义和介绍概念的本质属性时，他们对概念的理解大多比较深刻。 由此可以看出，内在的理解与外在的表达是相辅相成的，只有理解有深度，表达才会有逻辑，显底气。

四、动静交融，让学生心中有热情

从以上三个方面可以清楚地看出，“三会”目标的培养都必须以发展思维为核心，但都离不开外部因素的刺激和牵引， 对小学生而言这固然必要，然而，数学素养终究要成为学生自己能带走的、随时用得上的精神财富，如何让学生从“被思维”走向真正意义上的“自思维”至关重要。 教师在教学过程中要有意识地做到动静交互：“动”是指学生在外部指令下能迅速地做出反应，主要表现为教师提问后能快速思考作答，学生发言时能快速判断，依据要求能快速完成操作，等等，日常教学中这方面的情况总体较好；“静”是指学生在独立面对问题情境、他人观点，特别是学习遇阻时能静思默想，理性辨析，智慧取舍，在百折不挠中完成学习任务，这是当前教学中最为或缺的。

教师可从多层面予以重视：一是创设学生独立启学的机会，让学生知道该从哪儿出发。 如新授时经常发现很多内容学生已经学过，教师就不能按原定计划开展教学， 可以让学生自己思考研究方案，自己选择研究方法，静静地走进“最近发展区”。 二是给予学生深度研学的空间，让学生拥有思维跌宕后的快乐体验。 教学时可多用大问题引领，让学生不疲于应付，自我找寻深入思考的适切点，在不断迂回与调整中选择有效策略实现问题攻坚，在静悟中积累数学探究经验。 三是培养学生积极反思的习惯，让学生拥有不断前行的动力。 学生有效思考时间越长，越有益于思维水平往高处发展，越有益于数学素养的形成。 教师应经常性提醒学生对学习活动做深刻内省，重点聚焦学习中的痛点，如第一次操作为什么没成功？ 后来怎么调整的？ 以后要注意什么？ 课上要坚持独立思考基础上的集中交流，课后要强化哲学意义上的反复考量，让“这样肯定对吗？ ”“只能这样吗？ ”成为思辨的常态，在静省中实现数学学习由课内向课外展延，从而获得持久的学习热情，这股热情将激发学生在发展数学素养的道路上越走越远。