不同角度深入分析“恒压半偏法”测电表内阻系统误差

北京市第九中学高中部(100041) 李 学 钱莉莉 辛采奕

1 问题的提出

“恒流半偏法与恒压半偏法测电表内阻的系统误差分析”是一个老生常谈的问题，各类文献对于“恒流半偏法”测电表内阻的系统误差分析的头头是道，清晰明了。然而，对于“恒压半偏法”测电表内阻的系统误差分析却主要是定性分析，少有的几篇定量分析文章或语焉不详，一带而过；或晦涩难懂，不明所以。

2 “恒压半偏法”测电表内阻的系统误差分析

“恒压半偏法”测电表内阻实验原理图一般如图1所示。实验操作步骤为：首先闭合开关S2，将滑动变阻器R0的滑片P滑到最左边a端。然后闭合开关S1，调节滑动变阻器R0的滑片P的位置，使电压表指针满偏。保持滑动变阻器R0的滑片P的位置不变，断开开关S2，调节电阻箱R的阻值，使电压表指针半偏。记下此时电阻箱R的阻值，则认为此时电阻箱的阻值等于电压表的内阻RV。

图1 恒压半偏法实验原理图

实验中认为电压表先满偏再半偏是因为电阻箱R分走一半电压，电阻箱R与电压表串联，两者电压比1∶1，所以电阻箱R的电阻等于电压表的内阻RV。但是实际上，断开开关S2，将电阻箱R与电压表串联后，滑动变阻器aP间的电压变大，电压表半偏分得原电压的一半，电阻箱R分得的电压大于原电压的一半，电阻箱R的电阻大于电压表的内阻RV。也就是说，实验中将电阻箱R与电压表串联后，滑动变阻器aP间的电压发生了变化，而不是所谓的“恒压”，由此引入了系统误差。

设滑动变阻器aP间的电阻为R1，Pb间的电阻为R2，总电阻R0=R1+R2，电源电动势为E，内阻为r，电压表满偏电压为UV，内阻为RV，则根据闭合电路欧姆定律有：

满偏时:

(1)

半偏时：

(R2+r)

(2)

由(1)(2)两式得电阻箱阻值：

(3)

相对误差：

(4)

若是运用等效电源法，则此结果的推导更为简单直接，图1所示电路可以等效为如图2所示电路，虚线框内的等效电源的等效内阻为：

(5)

满偏时：

(6)

半偏时：

(7)

由(6)(7)两式得电阻箱阻值

R=RV+r′

(8)

相对误差：

(9)

运用等效电源法的分析结果式(9)与前面分析结果式(4)保持一致，从运算方面看更为简单直接，但是需要理解等效电源原理。

图2 恒压半偏法等效电路

3 “恒压半偏法”测电表内阻相对误差的不同角度分析

相对误差δ的表达式(4)较为复杂，从表达式可以看出，在RV确定的情况下，相对误差δ既与滑动变阻器的总电阻R0有关，又与R1、R2有关(即与滑片P所处的位置有关)，表达式不能直接显示出相对误差δ与电源电动势E的关系，但是滑片P的位置却跟满偏电压UV与电源电动势E的比例有关。

3.1 相对误差δ表达式(4)的均值不等式处理

对式(4)采用均值不等式进行处理如下：

(10)

3.2 用分压电路的分压特性曲线分析相对误差δ

图3 输出电压U与R1/R0的关系

3.3 对相对误差δ表达式(4)进行函数处理

相对误差δ的表达式(4)可以变形为

(11)

图4 δ关于R1的函数图像

4 分析结论、拓展性思考与佐证

4.1 分析结论

以上3种分析方法都可以得到相同的结论：要减小“恒压半偏法”测电表内阻相对误差δ，首先要保证滑动变阻器R0尽量小，在R0尽量小的前提下，还需要注意满偏电压UV与电源电动势E的比例关系，取E≫UV，使滑片P趋近a端，R1→0，如图5(a)所示；或者取E略大于UV，使滑片P趋近b端，R1→R0，如图5(b)所示。

(a)取E≫UV,R1→0

(b)取E≈UV,R1→R0图5 滑动变阻器滑片的位置

4.2 拓展性思考

图5(a)与图5(b)所示的两种做法虽然都能更好的减小相对误差δ，但是从功耗方面看，两者大不一样。显然，图5(a)所示做法的功耗更大，在实际实验时还需要注意不能超过滑动变阻器的额定电流值，在实验时R1不能趋于0。

图6 P移至b端时的等效电路

图7 不使用滑动变阻器

4.3 高考真题佐证

以对中学一线教学起“指挥棒”作用的高考真题来说明问题，或许更有说服力。经过查阅统计2014～2018近5年的高考试题，发现“恒压半偏法”共出现3次，分别是2014年安徽卷、2015年全国Ⅱ卷和2016年全国Ⅱ卷，具体题目如下(部分内容有删减)。

(2014年安徽卷第21题)某同学为了测量一个量程为3 V的电压表的内阻，进行了如下实验：

图8 2014年安徽卷第21题电路图

(1)他先用多用电表进行了正确的测量，得出电压表内阻为3.00×103Ω。

(2)为了更准确地测量该电压表的内阻RV，该同学按照正确的“半偏法”实验步骤，先使电压表满偏再半偏，将电阻箱R0的阻值记为电压表内阻RV的测量值。

实验中可供选择的实验器材有：

a．待测电压表

b．滑动变阻器：最大阻值2 000 Ω

c．滑动变阻器：最大阻值10 Ω

d．电阻箱：最大阻值9 999.9 Ω，阻值最小该变量为0.1 Ω

e．电阻箱：最大阻值999.9 Ω，阻值最小该变量为0.1 Ω

f．电池组：电动势约6 V，内阻可忽略

g．开关，导线若干

按照这位同学设计的实验方案，回答下列问题：

(1)要使测量更精确，除了选用电池组、导线、开关和待测电压表外，还应从提供的滑动变阻器中选用，电阻箱中选用。

(2015年全国Ⅱ卷第23题)某同学用“半偏法”测量电压表的内阻，实验器材如下：

图9 2015年全国Ⅱ卷第23题电路图

待测电压表V(量程3 V，内阻约为3 000 Ω)，电阻箱R0(最大阻值为99 999.9 Ω)，滑动变阻器R1(最大阻值100 Ω，额定电压2 A)，电源E(电动势6 V，内阻不计)，开关2个，导线若干

(1)将虚线框内电路图补充完整；

(2)根据设计的电路写出步骤；

(3)将这种方法测出的电压表内阻记为R测与内阻的真实值RV相比，R测____RV，理由是______。

(2016年全国Ⅱ卷第23题)某同学用如图所示电路测量量程为2.5 V的电压表V的内阻(内阻为数千欧姆)，可供选择的器材有：电阻箱R(最大阻值99 999.9 Ω)，滑动变阻器R1(最大阻值50 Ω)，滑动变阻器R2(最大阻值5 kΩ)，直流电源E(电动势3 V)，开关1个，导线若干。

实验步骤如下：

图10 2016年全国Ⅱ卷第23题电路图

(1)按电路原理图连接线路；

(2)将电阻箱阻值调节为0，将滑动变阻器的滑片移到与图中最左端所对应的位置，闭合开关S；

(3)调节滑动变阻器使电压表满偏；

(4)保持滑动变阻器的滑片位置不变，调节电阻箱阻值，使电压表的示数为2.00 V，记下电阻箱的阻值。

回答下列问题：

(1)实验中应选择滑动变阻器________；

(2)根据图示电路连线实物图；

(3)实验步骤(4)中记录的电阻箱阻值为630.0 Ω，若认为调节电阻箱时滑动变阻器上的分压不变，计算可得电压表的内阻为________Ω。

纵观以上3道高考真题，2014年安徽卷第21题与2015年全国Ⅱ卷第23题都通过比较电压表内阻的测量值R测和真实值R真的大小，定性考查了“恒压半偏法”的系统误差，2014年安徽卷第21题还通过选择不同阻值的滑动变阻器考查了如何减小“恒压半偏法”的系统误差。需要指出的是这两道题使用的实验器材都是量程为3 V的电压表和电动势约6 V内阻可忽略的电源，没有避开E≈2UV的比例关系，由前面分析可知，此种情况下的相对误差是滑动变阻器确定条件下的最大值，两题的相对误差分别为0.08%和0.83%(两题只有滑动变阻器最大阻值相差10倍，最大相对误差相差10倍)，虽然相对误差都比较小，但是两题给出的电源内阻都忽略不计，如果采用“直连法”则两题相对误差都为0。2016年全国Ⅱ卷第23题改用“恒压五分之四偏法”，其系统误差与“恒压半偏法”保持一致，本题同样通过选择不同阻值的滑动变阻器考查了如何减小系统误差。有意思的是，2016年全国Ⅱ卷第23题使用的实验器材改为量程2.5 V的电压表和电动势3 V的电源，相比前两题，既避开了E≈2UV的比例关系，又不提电源内电阻，避开了与“直连法”孰优孰劣的争议。

综上可知，从实验相对误差的角度看，“直连法”比“恒压半偏法”的实验相对误差更小；从实验电路的复杂性看，“直连法”实验电路更加简单，实验误差分析更为方便，功耗更小。但是，“恒压半偏法”因为与“恒流半偏法”相对应，能对比学习“恒流半偏法”，能更好的帮助学生理解“限流”与“分压”电路，所以在一线教学中几乎是必讲内容，在各类教辅资料中更是频频出现，而电路简单测量误差又小的“直连法”反而出现频次较低，容易被忽视，理应引起一线教师的注意。