数学核心素养的培养策略①

赵思林

(内江师范学院数学与信息科学学院 641112)

1 关于数学核心素养的认识

从全球范围看，目前对核心素养的内涵、结构和组成要素等并没有达成共识，可能很难达成共识[1].《普通高中数学课程标准(2017年版)》(以下简称《课标2017年版》)指出：数学核心素养是数学课程目标的集中体现，是具有数学基本特征的思维品质、关键能力以及情感、态度与价值观的综合体现，是在数学学习和应用的过程中逐步形成和发展的.数学核心素养包括：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析(以下简称“六核素养”)[2].在这里，数学的思维品质应包括思维的深刻性、敏捷性、灵活性、批判性和独创性，在数学中应特别重视批判性思维和创造性思维的培养.《课标2017年版》第8页在课程目标中把数学的关键能力概括为“四能”：发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力.从“六核素养”的角度，也可把数学关键能力概括为抽象概括能力、数学推理能力、数学建模能力、直观想象能力、数学运算能力和数据分析能力.史宁中把数学核心素养概括为“三会”，即会用数学的眼光观察世界、会用数学的思维思考世界、会用数学的语言表达世界[3].在这里，把数学的眼光、数学的思维、数学的语言看成是构成数学核心素养的三大支柱.郑毓信认为，“数学核心素养”最为基本的一个含义是学会“数学地看待世界，发现问题，表述问题，分析问题，解决问题”[4].这个观点与《课标2017年版》提出的“四能”基本一致.笔者认为，数学核心素养是指个体在理解数学、应用数学、思考数学、发现(创造)数学等活动中对数学感悟、反思和体验的结果.

2 数学核心素养的培养策略

数学核心素养的培养已有不少研究.如，汤普森(D．R．Thompson)等认为数学交流和表达是数学素养的基本成分，也是发展数学素养的工具，因此提出教师应鼓励学生运用听、说、读、写交流他们对数学符号、概念的理解，还应鼓励学生用口头的、符号的、图表的和数字的形式对数学概念进行表达[5].朱德全认为，数学素养是生成的，它是个体在已建立数学经验基础之上对数学感悟、反思和体验的结果[6].史宁中认为，只要“重视夯实数学基础知识和基本能力”的同时，兼顾“数学基本思想”和“数学基本活动经验”的教学核心，那么就能提升学生的数学核心素养[7].史宁中还提出了培养和发展数学核心素养的实施路径，就是：把握数学的本质；创设合适的教学情境、提出合适的数学问题；启发学生独立思考、鼓励学生与他人交流；使学生在掌握知识技能的同时，感悟数学本质；积累数学思维和实践的经验、形成和发展数学核心素养[8].章建跃认为，“数学教学的基本任务是帮助学生把一个个数学知识理解到位并能用于解决问题”.培养学生的理性思维始终是数学课程的核心任务，这就是数学教学的“宗”.在数学教学中，“为发展学生的核心素养而教”与“为培养学生的理性思维而教”是完全一致的[9].由此，学生“为核心素养而学”与“为理性思维而学”也是一致的.学生获得数学核心素养的必要条件是“把一个个数学知识理解到位并能用于解决问题”.章建跃还认为，“四基”、“四能”是通向数学核心素养的主渠道[10].王尚志认为，培养并提升核心素养，不能依赖模仿、记忆，更需要理解、感悟，需要主动、自觉[11].朱德江认为，培养学生的数学素养应当注意：联系生活实际，利用丰富的数学课程资源引领学生走进数学世界；关注学习过程，引导学生在积极参与知识的“再创造”过程中理解数学；重视实践应用，引导学生在“做数学、用数学”中感悟数学[12].这些意见或建议对培养数学核心素养是有指导性和启发性的.

数学核心素养的生成是一个过程，既是个体在长期的数学理解、数学应用、数学思维、数学发现(创造)等活动中反复修炼、自主生成的过程，也是对数学经验不断积累、反省、反证的自我体验过程.培养和发展数学核心素养的策略很多，如情意激活策略、思维训练策略、问题解决策略、思想感悟策略、数学发现策略、元认知开发策略等.其中，数学思维的训练包括对数学语言、思维方式(方法)以及思维品质的训练.

2.1 情意激活策略

数学核心素养的养成是一个需要长期修炼的过程.数学核心素养是在长期地认知理解数学、应用数学解决问题、感悟数学思想、发现(创造)数学等活动中修炼而成的，这当然离不开个人“情”“意”的参与.随着快速的社会发展和知识迭代，晶体智力的相对作用会逐渐减弱，而认知能力和情绪动机能力对个体发展会产生更重要的影响.因此，数学核心素养的修炼与养成离不开个人情意(情感)的参与和投入.张华认为，“素养是一种以创造与责任为核心的高级心智能力”，“将认知性素养和非认知性素养同时关注，体现了知识社会的新要求”[13].人的认知与情感共居于本体知识系统之中，共用某些神经回路，因此，情感活动能够影响人的认知过程[14].这说明，情感对学习既可能起积极作用，也可能起消极作用.学生学习应努力培养积极正面的情感，而应尽力管控消极负面的情感.学习的本质是个体在认知和非认知的协同配合下获取新经验的过程.非认知系统即情意系统.情意系统包括情感、意志和态度，它是人们在进行各种活动时除心智因素以外的但对心智的发挥或发展有影响的心理因素.情意系统是长期修炼核心素养的动力系统.情意系统对核心素养的作用体现在学习目标定位、创设认知冲突、产生心理需求、激发动机兴趣、磨练意志品质、管控情绪情感、感受成功体验等方面.虽然中学阶段(青春期)是情绪动机和决策能力发展的关键期，但当下的教育并未得到充分地关注.对此，长江学者薛贵教授建议，开发专门课程和训练任务来培养积极情绪和动机，包括成长性思维、习惯养成、决策能力、情绪调节能力等的培养[15].

情意激活有以下策略：(1)由认知冲突产生认知需求，通过了解和认识数学的价值产生学习需要，通过数学德育让学生产生学习需要，等.(2)运用“立志教育”、“成就动机理论”、“归因理论”、“强化理论”、“自我效能感理论”、“创设问题情境激发好奇心”、“适当开展学习竞争”等理论和方法激发动机.(3)兴趣对学习的意义是不言而喻的.通过做数学游戏、讲数学家的故事、立目标、激发好奇心、设置新颖情境、探究疑难问题、欣赏数学美、数学小竞赛等措施或办法激发兴趣.(4)以平和的心态抑制情绪，运用转移注意力、阅读、做题、深呼吸等方法调整(节)自己的情绪，调动元认知去监控和管理情绪.(5)通过挑战难题、克服各种困难、面对失败不言放弃等方法锤炼意志、磨练性格.

2.2 思维训练策略

形成学科思维应当是学习者学科核心素养发展的最高表现[16].数学核心素养是个体在学习数学(其核心是理解数学)、应用数学(其核心是问题解决)、感悟数学思想、发现数学等认知活动中实现的.而思维是认知活动的内核，对认知活动具有统领的作用.数学作为锻炼思维的体操，可以通过系统的、全面的数学思维训练实现数学核心素养的提升.数学思维的训练的方法很多，数学思维的训练包括对数学语言、数学思维方法以及思维品质的训练.

数学思维与数学语言有密切关系.“语言是有声的思维，思维是无声的语言.”数学思维的培养应重视数学语言的教学，因为数学思维依赖于数学语言.数学语言是用来反映数量关系和空间形式的数学“行话”(专用语言)，由普通文字语言、数学概念语言、符号语言、图表语言组成.发展数学语言对学生理解数学、思考数学、表达数学、交流数学等具有重要作用.应特别重视直观的“形”的语言与抽象的“数”的语言的互译互化，这是因为它是数形结合的基础，也是达到“直觉上的显然”的基础，还有助于对问题的深度思考.通过熟悉、表征、互译等方式发展学生的数学语言，对于学生的数学理解、数学表达、数学思维、数学发现等有着重要作用.

数学思维方式的训练.数学思维方式包括全脑思维、发散思维、逆向思维、创造性思维等.脑科学研究表明，在大多数时间里大脑的两个半脑和整体对于学习都是重要的.美国学者Eric Jensen认为，不应该强调半脑，否则会损害另一半脑，最好是促进“全脑思维”[17].史宁中教授认为：“理想的教育必须有意识地、有针对性地激活大脑的各个部位”[18].“激活大脑的各个部位”可理解为激活全脑思维，即激活左脑的线性思维和右脑的非线性思维.基于“猜想—证明”、“估算—精算”的教学设计，真正实现了激活全脑思维[19].发散思维可通过一题多解(证)、一题多变、一题多探等来训练.逆向思维可通过补集思想、反证法、“执果索因”的分析法、正难则反的数学解题策略等训练.创造性思维可以通过“创新思维方法”[20]来训练.

数学思维方法的训练.数学思维方法是个体对数量关系和空间形式进行思维加工而达到一定思维目的的途径、手段和办法.这里的“思维加工”的方法很多，包括抽象、概括、观察、比较、划分(分类)、分析、综合、归纳、类比、演绎、运算、反驳、想象、建模等.

数学思维优良品质的形成是数学核心素养生成的重要标志.数学思维品质包括思维的深刻性、敏捷性、灵活性、批判性和独创性.数学思维品质特别是批判性思维、创造性思维的训练应贯穿于数学教学的始终.

2.3 问题解决策略

问题是数学的心脏.数学问题的发现、提出、分析和解决是培养学生数学核心素养的重要内容.数学问题解决体现了“做数学”和“用数学”的理念与方法，“做数学”和“用数学”是培养学生数学核心素养的根本方法.“做数学”突出学生自己去建模、解模、验模、改模、评模，亲自去计算(包括估算、精算、机算等)，自己去推理，自己去发现.“做数学”要求学生独立完成各种作业，包括课本中的习题和复习题、课前预习和课后复习、课内到课外延伸的研究性学习、数学文化学习、课题研究作业等.“用数学”是指在理解数学知识、数学方法和数学思想的基础上用数学的眼光看问题，用数学的思维看待问题、分析问题和解决问题，用数学的语言表达自己的数学观点、数学方法、数学思想、数学成果.在数学中面对的问题主要有三类：一是把含有实际背景和非数学学科背景的问题变成数学问题即建立数学模型，这类问题可归结为“现实问题数学化”；二是数学知识系统和结构怎样组织、怎样严密的问题，即数学知识系统的组织化和逻辑化，这类问题可归结为“数学结构逻辑化”；三是怎样把数学理论广泛地应用于各种具体情境(含数学学科)，这类问题可归结为“数学理论应用化”.这里的“现实问题数学化、数学结构逻辑化、数学理论应用化”，其实包含了弗赖登塔尔大力倡导的“数学化”.“现实问题数学化”可培养数学抽象、数学建模、数学运算、数据分析等素养，“数学内部结构逻辑化”可培养逻辑推理、数学运算、数据分析等素养，“数学理论应用化”可培养数学运算、直观想象、数据分析、逻辑推理、分析和解决问题等素养.数学问题有好问题和不好的问题之分，好的数学问题应有利于学生巩固数学核心知识、训练数学基本方法、领悟数学基本思想，并且还要有利于激活数学直觉思维和逻辑思维，教师应选择“好”的数学问题作为教学的例题、学生的习题、测评的考题以及数学探究的课题.

在信息化、大数据时代，应用数学理论并借助于智能计算机(计算器)强大的数据处理能力，去分析问题和解决问题应作为学生基本的数学素养.也就是说，在“现实问题数学化、数学结构逻辑化、数学理论应用化”等过程中，应重视培养智能计算思维.2011年美国国际教育技术协会与计算机科学教师协会对智能计算思维给出了一个定义：智能计算思维是一种问题解决过程，它强调用有助于求解的计算机或其他工具表述问题；逻辑组织并分析数据；用模型与模拟等抽象表征数据；通过算法思维将求解过程自动化；识别、分析并实施可能的求解过程，以便获得步骤和资源最有效率和效益的组合；将问题解决过程概括并转换为更为一般的问题解决过程[21].从这个定义可以看出智能计算思维与数学的密切关系.在数学教育领域，智能计算思维包括数据实践、数学模拟、基于计算机的问题解决、系统思维等四方面的能力[22].需要说明的是，中学生的智能计算思维的训练应做到有规划、有步骤、有办法，并稳步地开展.智能计算思维的培养应与数学建模、数学运算、数据分析等核心素养的培养结合起来，就可收到一举多得之效.

2.4 思想感悟策略

史宁中认为，“数学核心素养”就是数学基本思想的具体表现[23].弗利德曼曾指出，“数学思想是数学逻辑结构的一个特殊的和最重要的要素”.数学基本思想是“六核素养”的基础和本质体现，也是“六核素养”所要突显、表达和传递的真谛.因此，胡典顺等人把“数学基本思想”放置在数学“素养魔方”图的中心块[24].也就是说，他们把“数学基本思想”视为“数学核心素养”的核心.从而，感悟数学思想就是在修炼数学核心素养.

笔者认为，数学知识的学习既可以靠教又可以靠学，还可以依靠教与学的互动；数学方法的掌握主要应靠练(练习)；数学思想的学习单凭靠教、靠学、靠练或这三者的组合都是不够的，数学思想的获得主要是靠(觉)悟，人们常说的“思想觉悟”其实可以说成“思想的觉悟”或“觉悟的思想”，也可以说，觉悟的既不是知识也不是方法，而是思想.数学知识和数学方法都只是形成(产生)数学思想的必要条件，但不是充分条件.“知识是外在于人的，是一种可以量化的‘知道’，只有在‘悟’的过程中，让知识进入人的认知本体，悟有所得，才能称为素养.”[25]由此可知，数学学习需要对数学知识和数学方法的悟，悟到的东西就是数学思想也就是数学素养.既然“悟”是产生(形成)数学思想的重要途径，那么“悟”也是生成数学素养的重要途径.从而，“悟”对数学核心素养的培养尤为重要，但遗憾的是，现在世界上还没有系统的、有效的关于“悟”的教学方法或修炼方法.因此，研究对数学的“悟”的教学方法或修炼方法是非常有意义但又很困难的问题.

教学中应把“六核素养”的培养与对数学的“悟”结合起来.如，从数学抽象中感悟数学化思想、公理化思想；从逻辑推理中感悟数学推理的思想、公理化思想；从数学建模中感悟数学化思想、模型思想；从直观想象中感悟数形结合思想和数形转化思想；从数学运算中感悟算法思想；从数据分析中感悟数据思想、预测思想.

2.5 数学发现策略

数学是一门充满了探索和发现(创造)的科学.培养数学核心素养的最高要求是学生能够发现(或创造)新的数学知识、新的数学方法和新的数学思想，但应坚持量力而行的教学原则，不能随意拔高教学要求.数学教学若能采用布鲁纳倡导的数学发现教学(学习)法，则对培养学生的数学核心素养是有益的.对中学生来说，发现数学包括数学问题的发现，数学命题的发现，数学方法的发现，解题思路的发现等.鉴于中国的中学生发现问题和提出问题的能力比较薄弱，《课标2017年版》在课程目标中有针对性的提出了“四能”，即发现、提出、分析和解决问题的能力.在数学中，发现问题的途径很多，如可以在数学建模过程中发现并提出新问题，在探究问题的过程中发现并提出新问题，在解决问题的过程中发现并提出新问题，也可以对现有问题的一般化或特殊化发现并提出新问题，还可以在质疑或问题解决后的反思时发现并提出新问题，等.数学命题是实施数学发现学习的极好素材，命题发现的过程往往也是数学发现(创造)的过程，学生需要经历“观察与分析——联想与探索——原型与顿悟——灵感与猜想”等过程.命题发现的途径和方法有很多，如从定义中发现新命题，从合情推理(归纳、类比)中猜想新命题，从演绎推理中获得新命题，利用四种命题关系发现，对某个命题加强发现新命题，对命题改进而发现新命题，从数学推广中得到新猜想(命题)等[26].数学教师必然会花大量时间进行解题教学，数学解题教学可概括为三个层次：“展现解法”，“展现思路”，“展现思路的发现过程”.从数学发现的角度看，教师应花足够的时间去“展现思路的发现过程”，有的时候教师可以假装不会发现并鼓励学生亲身经历思路寻找(发现)的过程.此外，从培养“六核素养”的过程中也可以培养学生的发现(创造)意识，如从数学抽象中发现新的数学概念，从逻辑推理中发现新的数学命题，从数学建模中发现新的数学模型，从直观想象中发现新的解题思路和新的数学结论，从数学运算中发现新的计算工具和计算方法，从数据分析中发现数据的新规律和数据变化的新趋势.

2.6 元认知开发策略

“元认知是对认知的认知.”元认知对认知具有管理、调节、评价、反思等作用.简单地说，元认知是认知的“领导”.如果认知的“领导”不好，那么认知能够好到哪里去呢.全脑思维、问题解决、思想感悟、数学探究、数学发现(创造)等，归根到底都是对数学的高级认知活动.数学认知活动是一个复杂、开放、有意识的自组织系统，这个自组织系统的良好运行必须要有一个强有力的“领导”即元认知来管理.数学高级认知能力是数学核心素养的核心成分.因此，个体的数学元认知能力是决定数学核心素养的关键性因素.所以，开发元认知就是在培养数学核心素养.素养的核心是反思性思考与行动.“反思性 (ref lectiveness) 正居于核心素养之中心”，“反思性思维需要相对复杂的心智过程，并要求思考过程的主体成为其客体.”[27]反思就是将自身作为思考对象，通过思考自身而不断调整自己的思考和行动.培养数学核心素养为什么强调反思的重要性呢？这是因为，反思是开发元认知最有效的方法.反思包括返回去思考，从反面去思考，反复地思考等方式.从开发数学元认知的角度看，在学习数学、应用数学、探究数学、感悟数学、发现(创造)数学等各种活动中，反思不仅不能缺席，而且应有意识地、自觉地把反思用于各种数学活动之中.