有序Banach空间中一类分数阶边值问题的正解

李小龙

(陇东学院 数学与统计学院，甘肃 庆阳 745000)

分数阶微分方程在自然科学、工程技术和控制系统等领域有着广泛的应用，近年来许多学者应用相关的不动点定理与上下解的单调迭代技巧研究了分数阶边值问题的正解及其多个正解的存在性[1-7]，但在一般的Banach空间中对该类问题的研究还比较少。Banach空间的微分方程与普通微分方程的最大差异是，把微分方程转换为与之等价的积分方程后，相应的积分算子不再具有紧性.为了对该积分算子应用凝聚映射的不动点定理，通常需要给非线性项f附加一些非紧性测度条件。本文使用了如下非紧性测度条件：

在研究Banach空间中微分方程正解的文献中，有很多文献[8]都要求f在有界集上一致连续.文中利用新的非紧性测度估计技巧[9]只需要f连续。

本文将在一般的有序Banach空间E中讨论非线性分数阶边值问题：

(1)

正解的存在性,其中2<α为Caputo分数阶导数,f:[0,1]×P→P连续,P为E中的正元锥。

1 预备知识

记C(I,P)={u∈C(I,E)|u(t)∈P,t∈I},则C(I,P)为C(I,E)中的正规锥.正规常数亦为N,以下使用的C(I,E)中的半序由C(I,P)引出。

定义1[1-2]设α>0,函数f:(0,+)→R的α阶Riemann-Liouville积分为

其中Γ(·)为Gamma函数。

定义2[1]设α>0,函数f:(0,+)→R的α阶Caputo导数为

其中Γ(·)为Gamma函数,n=[α]+1。

u(t)=c0+c1t+c2t2+…+cn-1tn-1,ci∈R,i=0,1,2,…,n-1,n=[α]+1。

引理2[3]假设u∈C(0,1)∩L(0,1)有α>0阶导数属于C(0,1)∩L(0,1),则

引理3[3]设2<α3,则对任意h∈C(I,E),Banach空间E中的线性分数阶边值问题

(2)

存在唯一解

(3)

其中

证明由(3)式知

‖Th(t)‖G(t,s)‖h(s)‖dsG(t,s)ds‖h‖

显然算子T:C(I,E)→C(I,E)为正的线性连续算子,T有相应于第一特征值λ1的正特征函数u*,即λ1Tu*=u*。文中E与C(I,E)中有界集的Kuratiwski非紧性测度均由α(·)表示。对B⊂C(I,E),记B(t)={u(t)|u∈B}⊂E,t∈I。

引理6[11]设B={un}⊂C(I,E)为可列集,若存在ψ∈L1(I)〗使得‖un(t)‖ψ(t),a.e.t∈I,n=1,2,…,则α(B(t))在I上可积,且

引理7[9]设D⊂E有界,则存在D的可列子集D0,使得α(D)2α(D0)。

定义算子Q:C(I,P)→C(I,P)如下：

(4)

则Q:C(I,P)→C(I,P)连续,且方程(1)的解等价于积分算子Q的不动点。

引理8设f:I×P→P满足假设(H0),则由(4)式定义的算子Q:C(I,P)→C(I,P)为凝聚映射。

因为Q(B1)等度连续,由引理5知

于是有

α(Q(B))2α(Q(B1))

因此Q:C(I,P)→C(I,P)为凝聚映射。

取C(I,P)的子锥：

K={u∈C((I,P)|u(t)≥θ,∀t∈I}

易证Q(C(I,P))⊂K,从而当f:I×P→P时,Q:K→K为凝聚映射,方程(1)的正解等价于Q在K中的不动点。本文将用凝聚映射的不动点指数理论寻找Q的不动点。

2 主要结果及其证明

定理1设E为有序Banach空间,其正元锥P为正规锥,f:I×P→P连续,满足条件(H0)。若f满足下列条件之一:

则边值问题(1)至少存在一个正解。

证明由上面的论述知,只需证明由(4)式定义的凝聚映射Q:K→K存在非零的不动点。取0

情形1f满足假设(H1)。取0

u≠λQu,∀u∈K∩∂Ωr,0<λ1。

(5)

反设(5)式不成立,则存在u0∈K∩∂Ωr及0<λ01,使得u0=λ0Qu0。根据Q的定义及条件(H1)中①得

u0(t)=λ0Qu0(t)G(t,s)f(s,u0(s))dsεG(t,s)u0(s)ds=εTu0(t)。

累次使用上式,则有

u0(t)εTu0(t)…εnTnu0(t),∀t∈I,n∈N。

由锥K的正规性和引理4知

‖u0‖Nεn‖Tnu0‖(n→),其中N为正规常数,

故‖u0‖=0,这与u0∈K∩∂Ωr(‖u0‖=r)矛盾。于是(5)式成立,再由引理9知

i(Q,K∩Ωr,K)=1。

(6)

下面证明当R充分大时

u-Qu≠τu*，∀u∈K∩∂ΩR,τ≥0。

(7)

反设存在u0∈K∩∂ΩR及τ0≥0,使得u0-Qu0=τ0u*,则u0=Qu0+τ0u*,根据算子Q的定义及条件(H1)中②得

从而有

(ηT-I)u0G(t,s)h0(s)ds-τ0u*G(t,s)h0(s)ds。

又由η>λ1知(ηT-I)为正算子,故逆算子(ηT-I)-1存在,由锥K的正规性得

(8)

情形2f满足假设(H2)。取0

u-Qu≠τu*,∀u∈K∩∂Ωr,τ≥0。

(9)

反设(9)式不成立,则存在u0∈K∩∂Ωr及τ0≥0,使得u0-Qu0=τ0u*,从而u0=Qu0+τ0u*≥τ0u*。令τ*=sup {τ|u0≥τu*},即0<τ0<τ*<+,且u0≥τ*u*。又由T的正性知λ1Tu0≥τ*λ1Tu*=τ*u*。

由条件(H2)中①可得

这与τ*的定义矛盾。故根据引理10知

i(Q,K∩Ωr,K)=0。

(10)

再证当R充分大时

u≠λQu,∀u∈K∩∂ΩR,0<λ1。

(11)

假设存在u0∈K及0<λ01,使得u0=λ0Qu0。从而由条件(H2)中②得

u0=λ0Qu0G(t,s)f(s,u0(s))dsG(t,s)(ηu0(s)+h0(s))ds=ηTu0+G(t,s)h0(s)ds。

即(I-ηT)u0G(t,s)h0(s)ds,又所以