几种求面积方法之间关系及其应用

杨祥生

（南京工程学院数理部，江苏 南京）

定积分是积分学中的第二个重要基本概念，它在自然科学和很多技术问题中都存在着广泛的应用[1]。例如求平面图形的面积、求空间图形的体积、求物体运动的位移以及变力做功等问题。对于利用定积分求平面图形面积问题，主要有以下三种方法：定积分的微元法、二重积分法以及第二类曲线积分法，这三种方法又可以相互进行转换。下面详细阐述这三种方法，并揭示这三种方法的内在联系。

一 求平面图形面积方法

（一）定积分的微元法

利用定积分的微元法求图形面积，又分直角坐标系和极坐标系两种不同情况。

1.直角坐标系情况下

2.极坐标系情况下

求由P=φ（θ），θ=α，θ=β 所围成的面积A。

（二）二重积分法

二 重 积 分∬f(x,y)dδ， 当 被 积 函 数f(x,y)=1 时，∬D1dδ=A(区域D的面积)。利用二重积分法求图形面积，也分直角坐标系和极坐标系两种不同情况。

1.直角坐标系情况下

2.极坐标系情况下

若 极 坐 标 积 分 区 域D 是 由0 ≤ρ ≤ρ（θ），α ≤ρ ≤β，则区域D 的面积为

（三）第二类曲线积分法

格林公式 设闭区域D 是由光滑的封闭曲线L 围成的，函数P(x,y),Q(x,y) 在D 上具有一阶连续偏导数，则有，其中L 为区域D 取正向的边界曲线[2]。

我们知道对于二重积分被积函数等于1，其计算结果就是区域D 的面积。选取一组特定的P、Q 函数，使得，此时二重积分的值就是区域D 的面积。

二 三种方法之间的内在联系

定 积 分 微 元 法 中， 由x=φ（y），x=ψ（y），y=c，y=d，φ（y）≥ψ（y）所围成的区域，可以看成是二重积分中的Y 型积分区域D，则

同理对于极坐标系下我们可以得出

对于第二类曲线积分，L 可以看成是由曲线EF、FG、GH、HE 所围成的封闭曲线，如下图所示。由于线段EF，y=g(x)，x 是从a 到b；线段FG，x=b，y 是c 到d；线 段GH，y=f（x），x 是 从b 到a；线 段HE，x=a，y 是d 到c，则

三 举例应用

例1 求由两条抛物线y2=x，y=x2所围成的图形面积。

解：分别用以上三种方法求解此题

方法一：

方法二：

方法三：

解：此题用两种方法来解

方法一：

根据对称性

方法二：

根据对称性