数学抽象重在探究发现——以“两平面垂直”为例

吴 彤

(江苏省盐城市教育局教科院 224000)

1 现象分析

在高三一轮复习中，经常遇到这样一类现象：在复习到某章某节内容时，教师让学生回顾思考一些重要的定义、定理，很多学生都不知所措，即使教师再启发其成因或提醒相关关键词，也无济于事，必须要教师道出其详细内容，再分析讲解才行.如复习到“面面垂直的判定定理”时，学生无法表述定理内容，这时教师启发学生，门不管旋转到什么位置，它总与地面垂直，可以从这个现象中反馈定理，还是没有效果.非要教师继续帮助分析，不管门怎么旋转，它总是绕门轴旋转，而门轴始终与地面垂直，即使如此，还是有学生不能说出定理内容.

为什么会出现如此现象呢？仅仅归咎于从新授课到一轮复习之间的时间过长，学生遗忘严重，这说不通！其实，关键原因是知识生成出了问题，学生的理解不够深刻！他们头脑中定义、定理的建立，是教师硬塞给学生的，以致长期不运用而忘记.也许有教师会说，我们没有填鸭式教学，我们是通过问题引导学生逐步发现这些定义和定理的.如果是这样，那我们就要反思我们的引导是不是真正的探究生成？比如过度引导，引导问题过细以致学生顺利归纳，其实不是学生自己发现规律并建立相关定义和定理的，理解不够深刻，经不住时间的考验.

2 教法探讨

之前的课改理念提出“以学生发展为本”，强调“学生主动参与学习”，倡导“探究发现教学”；当前课程标准又提出学科核心素养的教学，数学抽象是数学核心素养之一，要重视培养学生的数学抽象能力.所谓数学抽象，即抽取出同类数学对象中共同的、本质的属性或特征，舍弃其他非本质的属性或特征的思维过程(百度百科释义).数学定义是对现实对象中数量关系和空间形式的本质特征的反映；数学定理则是一类数学对象有应用价值的共性结论. 因此，数学定义、定理的形成是一个数学抽象的过程，而这个抽象过程的关键是发现，这需要教师合理设计问题，引导学生探究，发现有关对象的本质属性，然后抽象出相关定义、定理.针对以上分析，笔者对“两平面垂直”的相关定义、定理进行了梳理，形成以下教学思路：

(1)探究载体源自生活.实际生活中随处可见“面面垂直”的现象，学生坐在教室里，视线就离不开“面面垂直”，应从身边现象抽象出“面面垂直”的定义、定理，让学生体验数学的应用性和魅力；

(2)强化探究思路的分析.一节课就是一个微课题，研究方向要明确，这里的研究方向与教学目标有点相似，但需要教师与学生共同分析，得出合理的探究目标，而不是学生必须遵循教师的要求去学习；

(3)要遵循课程理念和课程标准的要求.定义、定理的抽象，必须是建立在探究的基础上，发现问题的本质内涵而后抽象形成.问题的设计，不能过度引导，预设指向性很强的问题，那不是探究问题，那是逻辑思考解决问题，不是真发现.探究问题要有“宽”度， 要让学生想开去，培养他们的发散思维能力，那样的发现才是自主发现，由此抽象出的结论，学生才能经久不忘！

3 教学设计

通过上文教学思路剖析，笔者重新设计了“两平面垂直”的教学流程，本文将呈现其教学探究过程，供读者教学研讨.

3.1 理顺探究思路

问题1前两节课，我们学习了两平面平行的相关定义、定理以及应用，本节课将与同学们探讨两平面垂直的相关问题，为此，需要理顺本节课的研究思路.请同学们回顾，我们研究两平面平行的过程？并思考，能否以此思路探究两平面垂直的相关问题？

一般课堂导入都是创设情境，引出本节课需要研究的问题，但笔者却开门见山，直接指出本节课要学习的内容.事实上，学生前面已经学习过直线与平面平行和垂直，之后又学习了两平面平行，他们自然想到要学习两平面垂直，创设情境意义不大.在温故知新的处理上，笔者没有机械地让学生回顾相关定义、定理，而是通过回顾学习过程，理顺知识体系，明确本节课的探究过程(即教学目标).通过问题1，要让学生反馈出两个平面平行的学习过程：从实际生活问题出发，构建两平面平行的定义，然后探究两平面平行的判定定理，再归纳两平面平行的性质定理，最后运用这些定理解决实际问题.如此，只要学生顺着这个思路探究两平面垂直的相关问题即可.

3.2 探究构建定义

问题2我们已经明确了探讨两平面垂直的思路，首先需要从实际生活中找到两平面垂直的模型，然后抽象出两平面垂直的定义.当然，仅仅找到两平面垂直的模型，还很难抽象出定义，还需要找到两个平面不垂直的模型，通过观察比较更容易抽象出两平面垂直的定义.接下来，请同学们寻找模型，并观察思考两平面垂直与不垂直的一些特征？

本着不过度引导的原则，问题中不提及实际模型，让学生自主寻找模型，其实，学生很容易找到两平面垂直的模型，如教室四侧的墙面与地面垂直等.当然，只从两平面垂直的模型中，学生很难抽象出两平面垂直的定义，考虑到课堂时间关系，问题要求学生再寻找两个平面不垂直的模型，这样更容易发现两平面垂直的特征.通过继续寻找，可以发现：开门和关门的过程中，门所在的平面与墙面不垂直；翻书的过程中，书的两边所在的两个半平面有一个特殊位置垂直，其他位置则不垂直.

问题3请同学们反复观察翻书的过程，不同的状态有不同的特征，能不能发现垂直与不垂直的差异？能不能从数学的角度刻画这个差异？

显然，完全让学生抽象出两平面垂直的定义几乎不可能，必须引导，问题3是继续引导的过程，让学生观察翻书的过程，思考能不能找到一个数学量，以此反应翻书过程的变化.如此，学生能感受到，翻书的过程体现了两个半平面形成的一个角度的变化，两个半平面垂直时，好像有直角的体现.所以，问题3的思考，是定义抽象的重要一环，有这个数学量“角”，刻画两个半平面的位置关系就容易了.

问题4翻书的过程是两个半平面位置关系的变化过程，给我们的感受是角的变化，当两个半平面垂直时，直角的感觉也比较明显.那么，对于两个相交的半平面，我们能不能找到这个角，以此来刻画两个半平面的位置关系？

学生不一定能直接得到课本上二面角的平面角的定义，但一定有学生能通过自己的描述指出这个角.比如，用一个平面截这两个相交的半平面，如果这个截面与两个半平面的交线垂直，那么所截得的角就可以作为两个半平面形成的角，即二面角的平面角.事实上，这个角的两边与两个半平面的交线垂直，很容易转化为课本上的定义.至此，再与学生明确两个相交半平面的有关概念(半平面、二面角、二面角的棱、二面角的面)以及写法，就可以定义二面角的平面角：以二面角棱上的任意一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线组成的角即为二面角的平面角.这时，可用课件动态展示二面角的一个面绕棱旋转的过程(图中已作出二面角的平面角)，让学生体验二面角的平面角随之对应变化的状态.最后，再让学生给出两个平面互相垂直的定义就不难了，只要两个平面所成的二面角是直二面角，这两个平面就互相垂直.

3.3 判定定理的探究

问题5我们已经得到两平面垂直的定义.接下来，需要研究两平面垂直的判定方法，到底有哪些方法能判定两平面垂直？

问题5属于过渡性问题，让学生理解一下知识间的关联，可以用两平面垂直的定义判断两平面垂直，但实际运用有些麻烦.还有没有别的方法？类似两平面平行，学生容易想到可能还有判定定理，可用判定两平面垂直.

问题6通过分析，同学们估计也有两平面垂直的判定定理.确实有，那么，我们能不能发现这个判定定理呢？也就是说，我们要能够发现：如果两个平面符合一些特定的条件，那么这两个平面就一定垂直.这些特定的条件不很复杂，用于判断两个平面是否垂直简便易行，我们可以把它归纳为判定定理.如何发现这样的定理呢？我们还需要再观察研究两个平面垂直的实际案例，看看能不能有所发现？

问题中不涉及具体的案例，让学生自己去找，身边也就这么几个面面垂直的案例，哪些案例中的两个平面符合一些特定的条件而始终垂直？只要给足学生时间，他们一定能够发现(而且不要让部分先发现的同学回答，要等到绝大部分同学都想到再公布这个案例)：门不管旋转到什么位置，它总与地面垂直.这时教师再提出，能不能由这个案例抽象出一个有价值的判定定理呢？虽然学生找到了判定定理的生活原型，但要从中抽象出定理绝非易事！还有个过程，需要教师继续引导.首先，要与学生明确抽象程序：先要将生活原型转化为数学图形；然后利用图形，要将我们关注的特定条件和结论抽象成数学语言；最后再用文字语言表达判定定理.如此，还需要给足时间，让学生逐步完成.

图1

3.4 性质定理的发现

问题7得到判定定理后，还要探讨性质定理.为得到性质定理，请同学们先思考一下判定定理与性质定理之间的关系.

如果在前面的章节中，已经思考过该问题，那么学生能很快回答问题7.如果第一次思考该问题，则要多花点时间.面面垂直的判定定理，就是通过两个平面满足一些特定的条件推断出两个平面垂直.因此，立体几何中的判定定理，就是由一些特定的条件判断线面位置关系的一些真命题；而性质定理，则是根据已知的线面位置关系，得出我们能够运用的一些结论.所以，面面垂直的性质定理，就是由两个平面垂直，得到一个有价值的结论的真命题.其实，判定定理与性质定理有点逆命题的意味，学生有了这样的认识之后，他们再探索性质定理，就有了方向，可以将判定定理反过来考虑，然后再结合生活案例，就能够归纳面面垂直的性质定理.

问题8我们已经理清了判定定理与性质定理的关系，能不能由此探讨面面垂直的性质定理呢？

有了问题7的铺垫，学生容易探讨性质定理.由两个平面垂直探寻结论，在判定定理中，有条件“其中一个平面内有一条直线垂直于另个一平面”，可能要近似转换为性质定理的结论.学生通过画图或观察生活模型，不难发现结论：这条直线仍是其中一个平面的直线，若它垂直两个平面的交线，则就垂直于另一个平面.最后，要求学生反馈定理的图形、数学语言、定理内容，教师板书准确内容与学生对比，或投影个别学生的内容进行解读(其教学过程与归纳判定定理相仿).

4 教学反思

笔者通过“两平面垂直”这节课的教学设计，整理了几点心得，与读者交流.

(1)深化探究，促进学生数学抽象能力的提升.数学抽象是新课标提出的数学核心素养之一，这种抽取本质属性而舍弃非本质属性的抽象思维，确是一种重要的数学思维能力，理应成为我们今后数学教学的一个重要的着力点.就如本文所探讨的定义、定理的生成教学，它其实就是一个数学抽象的过程，我们也应注意到，数学抽象是一个很难的思维过程，从哪些数学对象中寻找本质属性？怎样才能发现本质属性？这是教师引导学生深化探究的过程、引导学生逐步发现的过程、引导学生归纳的过程.

(2)把握引导的“度”.通过问题的设计，引导学生思考，是课堂教学的主旋律.评价一节课，很多教师往往看上课教师的问题数量、看学生的活动、看课堂气氛.其实，还要看问题的质量、以及问题的提出能不能促进学生的思考.笔者认为，课堂气氛热烈未必就好！说不定是问题过碎，学生易于回答.这种现象，笔者称之为引导过度，学生的思维量其实很小，某种程度上讲，适度的课堂冷场是必要的.当然，若我们所提出的问题，让学生无从思考而致冷场，也不合理.因此，问题引导要把握好“度”.首先，提出的问题要有含金量、有思考价值；其次，问题要能引起学生思考，要让学生经过一定时间的思考才能回答，起到锻炼学生思维能力的作用.

(3)立体几何的教学要多从实际生活出发.现在的数学学习，学生普遍感到困难，严重脱离实际生活，考试的应用题，学生感到恐惧，复杂的题意理解和大量数学运算，并没有真正让数学走进生活，没有让学生感到生活中充满丰富多彩的数学.因此，让数学教学贴近生活，仍是我们需要关注的一个重要课题.立体几何中的线面关系，实际生活中普遍存在，若能充分利用这些素材教学，从中抽象归纳出定义、定理，让数学走进生活、让学生经久不忘，这比运用任何先进的教育技术都更有意义.