孪生素数猜想的一个简单证明

叶雉鸠

（陕西财经职业技术学院会计一系，陕西 咸阳 712000）

0 引言

纵观孪生素数猜想的诸多论述，孪生素数展现的规律是一个不断扩展衍变的过程。这一过程很难用普通的代数式来进行描述或者表示，所以其证明就很难用初等数论的方法来精确地完成。本文通过IF函数值的测试发现其衍变趋势过程具有不减的单调性。如果这一单调性通过数学机械化能够演算，则孪生素数猜想的研究可以推进一步了。

定义集合和函数：

IF函数是指Excel中的一个逻辑函数。IF函数表达的意思是当满足某条件时，返回一个值，否则返回另一个值。

1 孪生素数猜想的充分条件

孪生素数猜想成立的充分条件：对于任意大于10 的正整数a（a≥11，a∈N），若同余式方程组（1）恒无正整数解，则孪生素数猜想成立[1]。

注意：由于要证明孪生素数存在无穷多组，只要在pb所约的最大数域空间存在孪生素数即可，所以（1-1）中方程式的个数要取最大值，即。a表示式分子上的pb+1是比pb大的下一个素数。

2 （1）中无解方程式个数的统计函数

如何来统计（1）中无解方程式个数？这要分两个步骤：首先要设法判定特定方程式无解，其次对所有无解方程式进行数量统计。

如何判定特定方程式无解？比如（1）中的第一个方程(2×4)2-1≡0（modp01）是否无解，可以应用Excel的IF函数来进行判断。

如何对（1）中所有无解方程式进行数量统计？那就是要对（1）中每个方程式的IF函数的值进行相加。这时，可以得到一个数论函数（2）。

（2）中u,v均为奇素数，

以pb＝3为例，

以pb＝5为例，

3 IF函数的值

IF(3,5,7,…,pb|(2a)2-1)函数是今天人们尚不熟悉的函数。幸运的是，这个IF(3,5,7,…,pb|(2a)2-1)函数可以通过手工计算其大小，只是费时一些，所以针对IF(3,5,7,…,pb|(2a)2-1)进行机械计算是可行的。作者是用Excel表来进行计算。借助Excel表格计算得出IF(3,5,7,…,pb|(2a)2-1)的值如表1所示。

表1 IF(3,5,7,…,pb|(2a)2-1)函数值表

表1中IF函数值的发展趋势如图1所示。

图1 测试（1）中无解方程式个数的值

从表1中IF函数值的发展趋势来看，IF(3,5,7,…,pb|(2a)2-1)的值具有“不下降”的趋势。

4 IF函数非0性的证明

用Excel表格容易测算得出

根据能否整除的特性可知：

为了直观的表现这一非零性的证明技巧，帮助人们准确把握这一数论函数，我们随便选择一个pb，比如pb=29，展示如下：

当pb=29时，所对应的IF函数赋值如（11）所示。

5 IF函数的一个逼近估计的下限

5.1 IF函数Excel计算表的分析

用来计算IF函数的Excel表格具有以下三大特点：

3、对“方程式左边的值”取模3到模pb的同余区域的各列纵向进行分析观察，会发现各列的同余数遵循严格的周期性，周期长度为各列所对应的模，而且各列余数纵向非0的概率是。

5.2 IF函数的逼近式

依据容斥原理[2]对IF函数进行逼近估计得（15）的逼近式

5.3 IF函数逼近式的下限

下面对（15）逼近式的下限进行推导

（15）的逼近值、（17）的下限值和IF函数值的发展趋势如图2所示。

图2 逼近值、下限值和IF函数值

例如：当pb=29时，所对应的IF函数的逼近估计由（15）得（18）

（18）的30.80与（14）的30误差仅为0.80。这个0.80的误差一旦取整就是0，可见（15）的逼近估计的精确度还是很高的。

6 结论

如果各位认可（9）或者（17）二者之一，“孪生素数猜想已经成功证明了！”

如果各位质疑（9）和（17），那么请用Excel表来继续测算表1数据。尽管Excel计算工作量非常巨大，但是采用数学机械化方法就简便得多。“四色定理”数学机械化方法为我们开辟了道路。1976年6月，美国数学家阿佩尔(Kenneth Appel)与哈肯(Wolfgang Haken)在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用了1 200 h，作了100亿个判断，结果没有一张地图是需要五色的，最终证明了四色定理，轰动了世界。

附表1：IF(3,5,7,11|(2×83）2-1)的计算表

中国数学机械化方法[3]的代表人物有吴文俊、张景中、杨路、侯晓荣、王浩等人。一旦执行机械证明，经过上亿次的验算，进一步确认了IF(3,5,7,11,…|(2a)2-1)的值确实具有“不下降”趋势，那么猜想成立就铁定了。因为IF(3,5,7,…|(2a)2-1)≠0或者≥2就是指方程组（1）当中至少存在一个或者两个方程式无正整数解。至少存在一个或者两个方程式无正整数解——就意味着，对于特定的pb，（1）的左端至少存在一对或者两对孪生素数。

希望中国数学界同仁能够增强中华民族的文化自信，讨论2014年发表于《西昌学院学报》第4期上的证明[4]和上述证明。

注释：

① 该公式在Excel表格中应用时，要添上乘号*，调整为Excel识别的函数，以下同。

② 大家知道，由f(x2-x1)=f(x2)-f(x1)所决定的函数f(x)=kx是奇函数，而且是一元线性函数。公式（9）所展示的IF函数(IF(3,5,7…pb|(2a+1)2-2(2a+1)))本身是偶函数，而且是非线性函数，故有（9）的不等式成立。

③ 请研究IF(3，5，7…pb|(2a)2-1)函数的计算表 (附表1：IF(3，5，7，11|(2×83)2-1)的计算表)，依据容斥原理，基于区间的连续性和以pb为模的同余的周期性，即可得出（15）。但是要注意，（15）忽略了容斥原理下的“层层取整”，同时（15）是基于完全剩余系和均匀分布这两个基本假设所得出的，所以只能称之为逼近估计。该逼近估计可以表明IF函数是递增的。

④ 查看表1，当pb=3时，IF函数值等于2——这好像与（17）相矛盾。其实不矛盾，原因是（17）所估计的区间是＝[2，11]＝[3，11]，而表1所对应的（1）所估计的区间是[4，11]。