高中数学概念非形式化教学思路

刘丽娟

（伊金霍洛旗高级中学，内蒙古 伊金霍洛旗 017200）

数学的主要特点是形式化，通过一套表意符号体系对数学对象结构和规律进行表达，进一步对符号开展深刻研究。非形式教学具体凭借特殊的数学符号对自然语言有效扩充，是对自然语言符号有效依附的产物，一定程度丰富了自然语言。

一、高中数学概念非形式化特征

这里所指的非形式与传统教学内容或方式不同，淡化内容处理的数学形式。随着我国逐步推进改革开放工作，以及社会经济的迅速发展，在课堂中出现了一部分现代的、应用性较强的内容，比如概率、统计、离散数学等。它们的统一特征是：突出对实质特点的理解，无需对形式表达提出较高的要求；关注应用，尤其是紧密联系日常生活中的应用；强调实际操作，凭借这项操作培养学习兴趣。

概率知识的出现，带出了一部分计算公式，比如互斥事件的概率公式P（A+B）=P（A）+（B），同时彼此独立事件的概率计算公式P（A▪B）=P（A）▪P（B）。高中时期的数学更重视应用公式，绝不仅是证明和推理理论的形式化。二项式定理的理论形式化证明正在逐步弱化，教学的关键在于理解和应用定理及其实际意义。比如探究式二项式定理的教学，教学过程如下：

教师：数学家费马大家都不陌生吧，他创造了解析几何。在数学领域费马的贡献远不如此，他基本涉足了数学的任何领域，与他同一时期的著名物理学家，也是朋友的帕斯卡，费马层尝试引导帕斯卡关注数论，如此他们能共同研究，但是帕斯卡并不在意数学，也没有研究兴趣，费马只能独自作战。但他们形成共同的兴趣，并一起研究。我们来看一看他们对什么问题产生了兴趣？

教师在多媒体上演示这部分内容：丢掷几次铜板或一粒骰子，我们有多大机会得到期望的结果？可不可以计算出来？对这个问题可通过概率知识有效解决，帕斯卡与费马开展最简单的研究：掷铜板的游戏，铜板包括头与花2个面，T代表花，H代表头。

1次掷1个铜板可能出现的情况：T，H

2次掷1个铜板可能出现的情况：TT，TH，HT，HH

3次掷1个铜板可能出现的情况：TTT，THT，HTT，TTH，THH，HTH，HHT，HHH

我们基本不会注意到头与花在游戏中出现的顺序，而是对出现次数给予高度关注。因此初步认为TH与HT是相同的，其中相同的还有THT与HTT，此时对游戏结果分析：

掷1次：T H

掷2次：T2 2TH H2

掷3次：T2 3T2H 3TH2 H3

掷4次：T4 4T3H 6T2H2 4TH3 H4

...

同学们要不要也做一回小数学家，你发现的结果若也是如此，该如何联想？

经过详细的讨论，结果与展开杨辉三角与（a+b）n的系数有关。

当n=0时，有（a+b）0=1

当n=1时，有（a+b）1=a+b

当n=2时，有（a+b）2=a2+2ab+b2

当n=3时，有（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b2

...

实际上基于历史角度分析数学的发展，发现数学某一定理或结论时，数学家必经历非形式化的思维，包含一部分猜想、推测、直觉、形式化证明等过程，并获得不断的完善。处理数学中一些形式化的概念时，应科学设计，进一步训练数学思维。

二、高中数学概念非形式化教学思路设计

（一）利用不同表达，体现转化关系

数学中函数概念非常重要，并向数学各个分支渗透。随着数学的发展，函数概念的表述也出现不同：变量说、对应说和关系说。初中阶段函数的概念，重点依赖变量关系，变量说强调了函数思想的精华，形象且自然，理解相对容易。但变量说存在显著不足，它无法深刻诠释对应关系。函数概念在高中时期有效转化为对应说，抽象性更强，准确抓住了函数的根本属性，在两个集合间函数阐述了这些元素的对应关系。对应说的抽象性，引出更抽象的算子。在深入研究对应说时也出现不足。函数的关系说抽象性最强，普通学生接受困难，却对函数概念的本质进行了深化。中学时期开展函数教学，如一度突出形式化教学，学生容易产生畏难的心理。所以在不断深化函数的变量说时，将函数作为数学模型，通过大量例子诠释变量的依赖关系；另外，还彰显集合的对应说，从而对函数精确表示。

（二）通过引入概念，展示建构过程

非形式化概念准确呈现了学生构建认知的过程，因此产生两种不同的形式，即概念形成与概念同化，基于认知结构对新概念实施控制。事实上，学生本身的认知结构对感知与理解一般事物造成不同程度的影响，在现有认知结构中不仅可以同化新概念，还可以对其有效接纳。学生在掌握数学概念的同时有效了解认知结构的构建过程，学生难以凭借形式化理解概念，必须产生一个非形式化的流程。

在立体几何中最基本的概念即平面的垂线的概念，通过定义向学生传授垂线概念，难以帮助学生建立空间概念。实际上，我们在日常生活中到处都可以发现这个立体几何模型。比如电线杆，可帮助学生初步形成直线与平面垂直的概念，之后利用模型引导学生发现直线和平面上任何直线都垂直的属性。基于日常生活实例，通过模型展示形成模型的过程，对概念特征有效深化。

（三）重视自给概念定义

在具体教学中，我们应结合数学学习特点，抽象数学语言和符号使用之前，凭借可观察的、描述性的、可亲自体验的形式对新概念进行传播，引导他们亲自体验与构造，并学会利用自己的语言进行解释，从而彻底的理解知识。数学教学过程体现出探索特点，应尽可能防止其出现明显的抽象性，帮助学生扎实掌握数学概念，尝试利用自己的语言准确理解概念。

三、结束语

数学是系统化的常识，需要经过一系列提炼与组织成为数学，进一步产生一定法则，这部分常识在更高层次中又发展为新的常识，这样持续螺旋提升，以至无穷。因此，在教学中我们必须理解非形式化应用的巨大意义，并发挥了无法取代的优势，帮助学生凭借自身努力找出概念存在的本质。