数学科两类情境化命题的要点刍议

华南师范大学数学科学学院(510631) 冯伟贞

一、新高考背景下两类问题情境的界定

相对于传统的能力导向教育而言,素养导向的教育致力于关注学生能够在不同情境下综合利用所学知识和技能处理复杂任务.《普通高中数学课程标准(2017年版)》[1]中对学科素养内涵的界定以及水平划分都一再强调问题情境的重要性.2019年6月30日中国教育新闻网发布教育部考试中心原创文章《2019年全国高考试题评析》[2],对2019年各科高考试题进行了纲领性的归纳总结,其中一个核心内容是“发挥高考的选才功能和素质教育导向作用”,“以学科素养为考查中心,彰显价值引领、素养导向的命题理念”.文章提炼了2019年高考命题中学科素养的三个维度—思维方法、学习掌握和实践探索,并对三个维度进行了重要的界定.

文[2]指出思维方法是指学习者在面对生活实践或学习探索问题情境时,能进行独立思考和探索创新的内在认知品质.学习掌握指的是学习者在面对生活实践或学习探索问题情境时能进行有效录入、编码、储存各种形式信息的综合品质.实践探索指的是学习者在面对生活实践或学习探索问题情境时能组织整合相应的知识与能力、运用各种技术方法、进行各种操作活动以解决问题的综合品质.

问题情境是指针对某个有待完成的任务,要由某个人或某群人加以联结、整合的一组背景化信息.确定问题情境的构成部分有两个:一方面是情境,它带来的主要就是一个主体和一个背景;另一方面是问题,它主要通过一个障碍、一个有待完成的任务、一些要联结起来的信息来定义.[3]

而为什么是凸出生活实践或学习探索问题情境这两类情境?华南师范大学莫雷教授团队编著的《学习过程与机制研究-我国学习双机制理论与实验》[4]中“本源性教学”的观点给出了重要的指引:必须从人类知识生产过程与个体知识再生产过程的本质与学校教育的本质的理论高度进行分析论证.

“本源性教学”观点认为,人类知识生产过程就是在实践中获得解决实践问题的经验的过程.个体的知识学习过程即知识再生产过程,就是要学会人类已生产出来的改造世界实践活动的“种的经验”的过程.为了让每一代个体要在尽可能短的时间内掌握“种的经验”,产生了学校教育这个特殊的形式,同时形成了按照知识体系分门别类的各种学科,将个体的知识再生产过程,转为学生学科学习教学过程.学校教育这种特殊形式的产生,就是为了让每一代个体尽快地掌握人类改造世界“生产”出来的“改造世界的实践与认识经验”.从学校教育这种特殊形式产生的本质或“初心”来看,这种知识再生产的“课堂学科学习的情境活动”应该与人类生产知识的实践情境活动有内在本质的一致性,才能保证学生通过学习情境活动获得的知识经验,就是人类改造世界所需要的实践经验与认识经验.

作为人类改造世界的实践经验,包括解决实践各种问题的实际经验,以及为了解决实践问题、推动实践发展的认识经验.这两类经验体现在学科教学上就是要求学生形成“应对生活实践问题”与“应对学习探索问题”的综合素质,我们将这个综合素质称为“学科素养”,它是“人类改造世界的实践与认识经验”在学校学科教学的映射.

据此,考核学生“应对生活实践问题”与“应对学习探索问题”的综合素质的学科素养定向的考试,就是考察学生掌握“人类改造世界的实践与认识经验”的质量.

基于掌握“人类实践与认识经验”所进行的知识能力学习,与纯粹的知识经验的学习活动不同:基于掌握“人类实践与认识经验”所进行的知识能力学习,是以掌握学科高级知识的需求来定向的学习,它要求掌握的知识,是学科高级阶段学习必须的知识,它要求对知识的学习方式及形成的能力,是与学科高级阶段学习相一致的学习方式与能力.因此,以“学科素养”定向的考试所界定的“学习探索问题情境”,就是考察这种状态的综合运用学科知识能力的素质.离开了掌握学科高级知识的需求而进行的纯粹的知识能力的考核,对于所掌握的范围是没有明确界定的,特别是对知识掌握的方式、形成的能力是没有方向的,它设计的各种题型,有的既不是生活实践的需求,也不符合进一步学习的需求.

由于考试集中体现了教育的功利性,如果纯粹考察学生的学科知识能力,容易造成引导学生对知识理解得很深刻、解决知识性问题的能力很强,学生具备很高的“解题能力”,但是缺乏运用学科知识解决生活实践问题的综合素养,也缺乏按照学科高端知识掌握的要求进行掌握与运用知识的综合素养.这就是知识能力定向的“应试教育”的实质与产生的根源.

因此,结合数学学科的特点,可以考虑数学科高考两类问题情境采用如下界定:

数学科中的“生活实践问题情境”是指针对某个现实生活、生产背景中与数量关系或空间形式相关的待完成的任务,需要考生加以联结、整合的一组信息.

数学科中的“学习探索问题情境”是指针对某个大学数学学习背景中的待完成的(仿真)任务,需要考生加以联结、整合的一组信息,重点指向为高校选才提供关于学生应对大学数学学习的准备程度的依据.

二、生活实践问题情境的命题要点

考虑生活实践问题情境的命题,重点是要分析清楚这类命题与传统应用题的区别.传统的应用题存在两个问题.一是将焦点放在问题的数学表征和数学解答上,缺少“转换与诠释情境信息,辨别潜在的问题”的环节.二是多数的应用题存在有情境空洞、情境虚假等问题.这两个存在问题使得传统应用题无法与人类生活生产实践过程契合,那就无法达到该有的考查目标,也严重影响“三会”(“会用数学的眼光观察世界”“会用数学思维思考世界”“会用数学语言表达世界”)课程目标的达成.

国际上关于这类命题较成熟的参照是PISA数学测试.许世红在《PISA数学素养测评试题的情境设计探析》[5]中通过对PISA2012公开样题的情境特征的剖析得到了四点启示:一是将情境从分类和分布角度细化可帮助命题者提高情境设计的针对性;二是情境真实才能激发学生的学习兴趣;三是情境与数学紧密相容才能有效考查出学生的数学素养;四是情境公平才能避免测评结果出现偏差.这四点启示对新高考背景下生活实践问题情境的命题仍有重要的参考价值.

2019年高考全国理科数学I卷第4题(断臂维纳斯)、第6题(周易中的“卦”)、第15题(篮球决赛规则)和第21题(新药实验)都具备好的生活实践问题情境特质.2019年全国I卷中这4题共27分,占卷面总分值的18%,是一个较高比例.

三、学习探索问题情境的命题要点

正如前面提及的,以“学科素养”定向的考试所界定的“学习探索问题情境”,就是考察学生掌握进入高级阶段学习必须的基础知识的程度,以及考察学生是否具备与学科高级阶段学习相一致的学习方式与学习能力的问题情境.因此,“学习探索问题情境”是对大学数学学习问题情境的仿真.这也是“学习探索问题情境”与“纯知识能力考察的情境活动”的区别.下面用两组案例鉴别“学习探索问题情境”与“纯知识能力考察的情境活动”的区别.

案例一数学概念学习的评估—以函数板块为例

例1(纯知识能力考察的情境活动)

分别判断f是否为A上的一个函数(函数值均为R中的元素)

(1)A=R,f为“加1”;

(2)A=[0,+∞),f为“开平方”;

(3)A=R,f为“求倒数”;

(4)A=[0,+∞),f为“求平方根”.

例1的考查,是学生可以基于对教师的讲授的理解作出应答的,能考查学生是否理解函数定义,但无法考查出学生是否能独立自主地应对大学数学新概念学习.而学生在应对大学数学新概念学习时表现出来的素养正是高校选才时会高度关注的,是区分“好学生”和“一般学生”的重要判据.

因此,为了考查学生是否能独立自主地应对数学概念学习,会出现仿真大学数学概念学习问题情境,将基于必备知识、运用关键能力能够解读的“新概念”、“新定义”作为概念学习评估的一种“学习探索问题情境”.

例2[6](学习探索问题情境活动)

对定义在区间D上的函数f(x),若存在区间[a,b]⊂D和常数C,使得对任意的x∈[a,b],都有f(x)=C,且对任意的x/∈[a,b]都有f(x)＞C恒成立,则称函数f(x)在D上是一个U型函数.

(1)求证:函数f(x)=|x-1|+|x-3|在R上是一个U型函数;

(2)设f(x)是(1)中的U型函数,若不等式|t-1|+|t-2|≤f(x)对一切的x∈R恒成立,求实数t的取值范围.

例2给出一个教材中没有的“新定义”—U型函数.第(1)问要求学生验证相应函数是U型函数,这就要求学生能理解U型函数的定义;第(2)问要求学生运用U型函数的定义推断不等式成立的条件,第(3)问要求学生反溯新函数g(x)成为U型函数的条件,都是进一步考察学生对新定义内涵、外延的理解程度及运用新定义解决问题的能力.例2的设计符合大学数学概念学习的一般路径,学生基于高中的必备知识、关键能力能够解读,是一道对大学数学概念学习的仿真题.

案例二数学运算学习的评估—以函数板块为例

例3(纯知识能力考察的情境活动)

用“二分法”求方程一元二次方程x2+x-1=0的近似解,给出前四步结果.

例3的解决只需要重复已学的“二分法”操作步骤就能完成.

例4[1](2017课标案例34(迭代运算问题),学习探索问题情境活动)

研究一元二次方程x2+x-1=0的求解问题,这是经典的求黄金分割的方程式.令f(x)=x2+x-1,对抛物线y=f(x)持续实施下面“牛顿切线法”的步骤:

在点(1,1)处作出抛物线的切线交x轴于点(x1,0);

在点(x1,f(x1))处作出抛物线的切线交x轴于点(x2,0);

在点(x2,f(x2))处作出抛物线的切线交x轴于点(x3,0);

······

得到一个数列{xn}.回答下列问题:

(1)求x1的值.

(2)设xn+1=g(xn),求g(xn)的解析式.

(3)用“二分法”求方程的近似解,给出前四步结果.比较“牛顿切线法”和“二分法”的求解速度.

例4的任务包括:读懂“牛顿切线法”并进行操作(新算法);复述操作“二分法”(旧算法);对两种算法比较进行评估分析.在数学运算的学习中,大学数学阶段的数学运算学习侧重点不在准确而快速的计算技能,而在理解运算背后的数学原理的基础上,发现合理的运算方法和程序,对运算结果进行有效的估计以及对运算方向的准确把握.例4与大学数学学习中数学运算的学习路径一致,是对大学数学运算学习问题情境的仿真.

四、问题研究的展望

将情境从分类和分布角度细化,构建与高中数学教学契合的生活实践问题情境体系以及学习探索问题情境体系,以帮助命题者提高情境设计的针对性,这是两类问题情境命题工作研究的重点和难点.