关于滑动变阻器分压电路规律的讨论与思考

摘 要：分压电路是物理实验中常用的典型电路，也是电路问题中的重点内容，但电路分析较为繁杂，学生不易弄懂弄通，因而成为教学中的难点.本文主要从滑动变阻器分压电路中电阻、电流、电压的变化规律和电路的安全性方面入手，结合具体的电路参数，进行了定量讨论.

关键词：分压电路; 变化规律; 电路参数; 定量讨论

作者简介：戴小民（1979-），男，湖南岳阳人，硕士，中学高级教师，研究方向：中学物理教学与管理.

在高中物理电路学习中，经常碰到分压电路，其中用滑动变阻器接成分压器来调节用电器两端电压的分压电路在实际中应用得较多，是电路问题的重点内容.特别是关于电路的动态变化分析和实验设计时器材的选定，分压电路中的电阻、电流、电压和安全参数的讨论就显得极其重要，但因为分析过程较为繁杂，学生不易弄懂弄通，因而成为教学中的难点.如何突破这一难点，本文从分压电路中电阻、电流、电压的变化规律和电路的安全性入手，结合具体的电路参数，用数学推理和图像表示的方法进行了分析讨论，得出一定的规律与结论，供读者参考.

1 分压电路中的电阻变化规律

如图1所示分压电路中，滑动变阻器可以视为由两段电阻构成，其中一段与负载（定值）RL并联（简称并联段），另一段与并联部分串联（简称串联段）;设滑动变阻器的总电阻为R，滑动变阻器与负载RL并联的那一段电阻为Rx，则分压器的总电阻为：

R总=R-Rx+RxRLRx+RL=R-11Rx+RLR2x

由上面的计算式可以看出，当Rx减小时，R总增大;当Rx增大时，R总减小.

规律1 分压器总电阻R总的变化与并联段电阻Rx的变化情况相反，与串联段电阻（R-Rx）的变化相同.

2 分压电路中的电流变化规律

在图1所示分压电路中，设电源电动势为E，内阻为r，RL是定值电阻，R是滑动变阻器，闭合开关S后，当滑片P由a端向b端滑动时，两支路电流表的示数怎样变化？

根据闭合电路欧姆定律和并联分流规律，通过电流表A1的电流强度为：

I1=RxRL+Rx·I=RxRL+Rx·ERx·RLRx+RL+R-Rx+r

=RxE-R2x+R+rRx+R+rRL

=ER+rRLRx-Rx+R+r ，其中Rx ∈[0，R]，令分母为f（Rx）=R+rRLRx-Rx+R+r，从上式可以看出，随着Rx的增加，f（Rx）单调递减，I1会增加，即通过电流表A1的电流强度增大.

同理，通过电流表A2的电流强度为：

I2=RLRL+Rx·I=RLRL+Rx·ERx·RLRx+RL+R-Rx+r

=RLE-R2x+R+rRx+R+rRL，Rx ∈ [0，R]

在上式中，分子为恒量，分母为关于Rx的二次函数f（Rx），且二次项的系数小于零，则图像开口向下，如图2所示.对电流表A2的示数讨论如下：当R≤（R+r）/2 ， 即R≤ r时，随着Rx的增大，f（Rx）一直增大，电流表A2的示数一直减小;当R> （R+r）/2 ， 即R> r时，随着Rx的增大，f（Rx）先增大后减小，电流表A2的示数先减小后增大.

规律2 （1）负载电阻RL上的电流变化规律与变阻器上并联段电阻变化相同;

（2）通过变阻器上并联段电阻的电流变化与滑动变阻器总阻值R和电源内阻r有关：

①R≤ r时，通过变阻器上并联段电阻的电流变化与滑动变阻器电阻变化相反;

②R> r时，通过变阻器上并联段电阻的电流变化与滑动变阻器电阻变化先反后同.

3 分压电路中的电压变化规律

如圖1所示分压电路中，已知电源电动势为E，变阻器总电阻为R.闭合开关S后，负载电阻RL两端的电压U随变阻器a端至滑片P之间的电阻Rx的变化而变化.关于负载电阻两端的电压U随RX变化的关系式为：U=ERLRXRL+RXR-RX+RLRXRL+RX+r

整理可得：U=ERLRX-RX2+（R+r）RX+（R+r）RL.为了能够看出负载电阻RL两端的电压U随变阻器a端至滑片P之间的电阻Rx的具体关系，我们令RL取一些具体数值，并用Excel画出U随Rx的变化规律图像.若电源电动势为10V，变阻器总电阻为R=10Ω，负载电阻分别为RL1=1Ω、RL2=3Ω、RL3=5Ω、RL4=10Ω、RL5=15Ω、RL6=30Ω、RL7=100Ω时的图像如图3所示，其中图3（a）为内阻r=0.5Ω的情况，图3（b）为内阻r=0Ω的情况.

由图3（a）（b）可知，不管电源内阻存在与否，对于同样的RL值，负载电阻两端的电压U随RX的变化趋势相同.对于同一电源，不同的RL值，调节滑片P时负载电阻两端的电压变化规律不同.当负载电阻RL远小于变阻器电阻R时，负载电阻两端的电压U随RX的变化而更迅速变化;当负载电阻RL远大于变阻器电阻R时，负载电阻两端的电压U随RX的变化而更加平稳变化，从而可获得更多的实验数据.

规律3 在分压式接法中，如果不考虑能耗，在保证仪器安全前提下，应该尽量选择全阻较小的滑动变阻器这样调节起来比较线性便于操作.但在实际实验中要注意如果滑动变阻器全阻太小可能会造成通过变阻器及干路电流过大.

4 分压电路安全性能的讨论

在如图1所示电路中，电源电动势E=10V，内电阻r=0.5Ω，负载电阻RL=100Ω.在这种情况下，选用全电阻R=10Ω、额定电流Im=1A的滑动变阻器连成分压器，是否安全？

通常认为当滑片P滑到变阻器的a端时，负载电阻被连接导线所短路，两端的电压为零.这时电路中的电流全部流经變阻器，它的大小是I1=E/（R+r）=10V/10.5Ω=0.95A;当滑片P滑到变阻器的b端时，负载电阻与变阻器并联，它们两端的电压U=ER并/（R并+r）=9.48V，这时过滑动变阻器的电流为I2=U/R=9.48V/10Ω=0.95A;由于有I1

实际上该分析思路没有全面深入地考察滑片P移动所引起的电流变化，只根据两个极端情况所作的结论是不一定对的.当滑片P与变阻器的端接触处于b端位置时，电路的总电阻最小，其大小R并=RLRRL+R=1000110Ω，干路中的电流最大，其值为Imax=E/（R并+r）=1.043A.因此当滑片P只是接近而尚未接触变阻器的b端时，滑片P右侧的变阻器的一小段电阻丝上流过的电流将会趋近于1.043A，超过额定电流值Im，是会被烧坏的.但是烧坏变阻器，滑片P并非一定要处在这个位置上.

在图1电路中，设滑片P位于变阻器上的某一点c时，干路上的电流大小恰好等于变阻器的额定电流值，假定这时滑片P左侧变阻器的电阻丝阻值为Rc，则有：

Im=ERLRcRL+Rc+R-Rc+r=1A

解方程并代入数据，即得Rc=1+3894Ω≈7.33Ω.

当滑片P处在变阻器上c点右侧除端点b以外的任何位置上时，由于R>RC，滑片P右侧电阻圈上流过的电流均大于变阻器的额定电流，都会烧断电阻丝.

规律4 对选作分压器用的滑动变阻器的额定电流应从总电流的最大值来考虑.

综上所述，在遇到滑动变阻器分压电路的教学难点问题时，通过利用数学表达式和图像对分压电路中的电阻、电流、电压规律及安全性进行适当的计算与讨论，不仅能带领学生经历问题解决过程，也给学生分析分压电路问题打开了思路，使学生更容易理解和掌握分压电路模型，从而更加灵活地设计和使用分压电路.

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（收稿日期：2019-06-27）