基于惩罚函数的新能源汽车减速器弧形锥齿轮优化设计

梁 迪, 王 记, 张 开

(沈阳大学 机械工程学院, 辽宁 沈阳 110044)

现代工业工程对各行各业都具有一定的影响力,例如在运输路线规划、空间布局和交通工具等方面的优化[1].随着人们生活水平的提高,汽车销量上升,汽油、柴油的消耗越来越多,由此带来的能源紧张问题也就越来越明显.为了保护环境和资源的平衡,研发出节能环保的新能源汽车已成当今社会的重要任务之一.与传统的燃油汽车相比,新能源汽车在燃料的来源、汽车的整体架构、外观等方面都比传统的汽车有优势,尤其是尾气排放方面,新能源汽车可以大大降低这类污染[2].

近几年国内外学者对新能源汽车的研究结果表明,主从动齿轮啮合噪声、轴承运转噪声和减速器的润滑搅拌噪声是新能源汽车减速器的噪声来源,其中齿轮啮合噪声为主要来源.目前降低噪声的方法有2种:提高齿轮的制造和安装精度;优化齿轮的设计,在保护齿轮强度的前提下找到最优的齿轮对参数.前者耗费大量的物力、财力,且效果有限.目前新能源汽车减速器还存在着很多问题,例如:结构不够紧凑导致体积过大、减速器齿轮可靠性低使其寿命短和成本过高等[3].

目前新能源汽车存在的普遍问题是续航里程低, 噪声较大. 新能源汽车的动力来源是电力, 所以电驱动系统才是主要的动力源头. 减速器齿轮是电驱动系统中动力传递最重要的部分, 承载汽车在传动过程中的扭矩. 在传统的齿轮设计中, 一般都以齿轮的受力强度来计算其参数, 这样计算出的齿轮参数会导致齿轮的体积和重量较大, 从而减速器的外壳也会随之增大[4],存在严重的材料浪费, 而且没有考虑到齿轮传动过程中产生的噪声. 所以传统齿轮设计出的参数并不能达到新能源汽车的噪声标准, 还增加了不必要的重量载荷, 影响其总体续航里程.

汽车减速器一般采用弧形锥齿轮,这是由于锥齿轮的应用广泛,传动噪声相对较小,且承载能力较强.通过减少其体积和噪声,从而减轻新能源汽车整车的重量载荷,延长其续航里程和使用寿命[5].

1 问题描述

某新能源汽车减速器中1对弧线锥形齿轮,传动比i=3.4,功率P=20 kW,寿命为12 250 h,主动齿轮转速n1=1 000 r·min-1,油温为100 ℃,螺旋角α=16°,分度圆直径A0=32 mm,主动齿轮齿数Z1=37,模数m=1.8,齿宽B=38 mm,偏移距E=15 mm.对此齿轮进行优化设计,最小化齿轮的体积和传动噪音.齿轮如图1所示.

图1锥齿轮三维图形
Fig.1 The three dimensional picture of the bevel gear

2 优化数学模型及约束条件

2.1 设计变量

弧线锥齿轮尺寸一般由主动齿轮齿数Z1、从动齿轮齿数Z2、中点螺旋角α、齿宽B和大端端面模数m决定[6].因为优化设计的变量必须是独立的.所以当传动比一定时,Z1和Z2只有1个是独立的,因此齿轮的设计变量有4个,不同的目标函数,设计变量也不一样.

2.2 目标函数

求锥齿轮体积时一般把其看成圆柱体,以齿顶圆直径为直径、宽度为高求体积,则目标函数如式(1)所示.

(1)

式中:Rm为锥齿轮平均锥距;Re为外锥距;da1为小齿轮齿顶圆直径;da2为大齿轮齿顶圆直径.

齿轮的重叠系数σ由当量系数G2、啮合主动齿轮螺旋角α、分度圆直径A0、齿轮大端端面模数m决定,关系如式(2)所示.

(2)

当量系数G2与偏移距E有关,如式(3)所示.

(3)

由此可知,锥形齿轮的噪声优化就是降低齿轮传动过程中的震动,从而减少噪声.为此需计算出当重叠系数σ接近2时的齿轮参数, 式(4)中T为较优值与最优值的差,T值越小说明离目标值越接近, 即当T值最小时求出α、A0、m、i的值.

减小噪声的优化数学模型中的优化参数包括A0、m、α、E、i和B,在现代优化设计方法中一般写成矩阵形式:

2.3 约束条件

(1) 小齿轮的齿数

为了保证锥形齿轮能够保持啮合的平稳性,减小传动的噪声和磨损,避免根切现象,齿数一般要大于17.则小齿轮齿数z范围为

17≤zmin≤30.

(2) 中点螺旋角的限制

为了使传动平稳、轴向载荷能力不至于过大,且具有一定的支撑能力,中点螺旋角应限制为

αmin≤α≤αmax.

(3) 大端端面模数的限制

mt≥1.5.

(4) 齿宽B

齿宽B在齿轮设计中很重要,齿面过宽会造成材料的浪费,增加成本,而齿宽过小会影响齿轮的寿命.本文所研究的2个齿轮的齿宽相等,而且要求其宽度小于等于大端端面模数的10倍.对于齿轮偏移距的约束与齿宽的约束相似,为了避免齿轮发生点蚀,对于偏移距E的约束为:E<0.2A0,同时为了保证齿轮的强度,在齿轮设计过程中必须满足4大强度理论.

(5) 接触强度约束条件如式(5)所示.

(5)

式中,ZE为弹性影响系数;ZH为节点区域系数;ZE为重合度系数;T1为小齿轮传递的转矩;K为载荷系数;d1为小齿轮的分度圆直径;b为两齿廓接触长度;u为齿数比,即大齿轮齿数与小齿轮齿数之比.

(6) 弹性影响系数ZE的取值如表1所示.

表1 弹性影响系数ZETable 1 Effect of elastic coefficient ZE MPa

(7) 重合度系数Zε的计算如式(6)所示.

(6)

式中,εα为端面重合度,螺旋角α=16°,计算方法见式(7).

(7)

(8) 接触疲劳许用应力[σH]的计算见式(8).

(8)

式中:KHN为接触疲劳寿命系数,选取KHN时的参考值为N=60njLh,其中,n为齿轮的转速(r·min-1),j为齿轮转1转时同侧齿面的啮合次数.Lh为齿轮工作寿命,h.得到N后查阅手册确定KHN.σHlim为齿轮的接触疲劳强度极限.SH为安全系数,取SH=1.

(9) 齿根弯曲疲劳强度约束条件见式(9).

(9)

式中:YFα为齿形系数;YS α为应力修正系数.

(10) 弯曲疲劳许用应力[σF]的计算见式(10).

(10)

式中:σFlim为齿轮的弯曲疲劳强度极限;SF为安全系数,一般取SF=1.3[7-10].

由上面的约束条件可知,在弧形锥齿齿轮的优化过程中有10个约束条件.以x1,x2,x3,…,xn表示惩罚因子,gi(X)表示约束的条件,则最后建立的数学模型为

minf(X),X=(x1,x2,…,xn)T,

满足gi(X)≤0(i=1,2,…,m).

3 优化方法和程序结构框图

3.1 优化方法

本文的优化是用有约束的非线性规划函数求解,所以需要采用惩罚函数把有约束的问题转变成无约束的问题,再进行计算.根据不同的问题需要构建不同的惩罚函数,具体如下所示.

外点法的计算如式(11)所示.

内点法的计算如式(12)所示.

(12)

式中:f(X)为需要优化的函数;gi(X)为约束条件;R(K)是惩罚因子,满足下列关系:

本文采用的是内点法.

3.2 优化问题求解

由于要进行求解优化问题的惩罚因子有8个,而且还有10个约束条件,如果用传统的迭代计算容易出错,且比较烦琐,需要采用现代的计算手段,利用软件MATLAB进行函数求解,既精确又节约时间.为了方便程序的编写和改正,采用模块化结构[11].计算程序的运算流程和结果如图2和图3所示.

图2程序流程图
Fig.2 The program flow chart

图3 程序输出图Fig.3 The program output map

由图3可知,优化后的结果为

取圆整得:

X=[18,1.85,35,2,16,32,20,37]T

4 结 论

本文主要对新能源汽车电驱动系统的减速器齿轮进行优化,一方面是针对减速器的齿轮进行了体积优化,另一方面针对新能源汽车传动产生的噪声进行了齿轮参数优化.构建目标函数,对目标函数中的参数进行约束,然后对函数求解采用了惩罚算法,并在MATLAB中进行求解.将优化的结果与传统的齿轮设计进行比较,经计算得到两个齿轮体积之和比原设计减少了18.69%,重量也随之减轻,从而续航里程得以提高.把取圆整得出的结果代入式(4),可以得出T=0.038,即优化后的齿面重叠系数为1.962,优化前系数为1.760.可以看出经过优化后的重叠系数接近噪声最低时的系数2,大幅度地降低了汽车的噪声,达到了预期的优化效果,减少了新能源汽车体积,并延长了续航里程.本文的提出的算法也适用于类似零部件的优化设计与改进.