振镜激光跟踪系统的鲁棒复合控制方法

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(1.北京航空航天大学 仪器科学与光电工程学院，北京 100191； 2.中国科学院光电研究院，北京 100094；3.中国科学院大学，北京 100049；4.华中科技大学 光学与电子信息学院，武汉 430074)

0 引言

激光因其独有的特性在测量、通信等领域备受青睐，而激光的跟踪控制是激光能精确指向目标所不可或缺的技术。激光跟踪系统的工作原理是：数据采集电路获取反射镜偏转角、光束偏心量、测距信息后合成合作目标位置，控制算法根据目标位置信息解算出反射镜输入量发送给执行机构，执行机构驱动反射镜改变光束方向，使光束偏心量趋近于零，实现对合作目标的跟踪。激光跟踪技术在激光跟踪仪及激光通信等设备上有着广泛的应用，而跟踪效果的优劣直接影响着此类设备性能，选取高性能的执行机构电机并研究配套的控制策略是提高系统响应速度、跟踪精度的有效途径。

本文选用振镜电机作为激光跟踪系统的执行机构，通过X、Y双轴振镜的偏转实现对激光指向的控制。传统的跟踪控制算法多数基于反馈控制，例如文献[1]和文献[2]提出的控制方案是对传统控制结构的扩展，通过给振镜系统增加一个带有PID-L1类型控制器的附加回路，保证了系统速度响应和抗扰性。但该控制策略未引进前馈控制无法从根本上提高系统跟踪性能。对于非最小相位系统，引入ZPETC能够极大提高跟踪精度，但ZPETC性能受系统模型精度影响极大，振镜电机在使用过程中因其配套的驱动板会大量发热，引发系统参数摄动，进而导致ZPETC性能恶化。文献[3]和文献[4]在ZPETC的基础上分别设计了定量反馈控制器和单神经PID反馈控制器，通过反馈控制器补偿由模型不确定性引起的误差。但前者需要系统的不确定模型设计复杂，而后者仅通过反馈补偿模型不准导致的误差，效果有限。文献[5]提出一种了基于递归参数估计的自适应ZPETC，通过对系统进行实时辨识从而更新控制器参数，提高了系统的鲁棒性，降低了系统的不确定性，但该算法仍存在着实时辨识误差和计算量较大的问题。

针对上述问题，本文在系统辨识的基础上，首先设计了ZPETC，通过引入加性输出分解器[6]，在提高跟踪精度的同时有效地抑制了系统误差及参数摄动对ZPETC控制效果的影响，减小了计算量且易于实现。然后，使用差分进化算法对控制器PID参数进行整定，并利用PID控制器对剩余误差进行补偿，实现了对输入信号的精确跟踪。最后，通过仿真实验验证了该组合控制器的有效性和优越性。

1 振镜电机模型辨识

1.1 振镜电机数学模型

振镜电机是一种摆动式电机，具有体积小、大转矩、响应速度快、宽频率特性等优点。因此特别适合高精度的跟踪控制。振镜电机的工作原理是电机转轴上的永磁体与内部线圈电流产生的磁场相互作用产生旋转扭矩，使连接于转子之上的反射镜发生偏转[7]。此外，振镜电机需在与其配套的驱动板的控制下才能正常工作，振镜电机通过转轴末端安装的角度传感器为驱动板提供角度反馈。驱动板和振镜构成一个闭环反馈系统。以下简称该闭环系统为振镜系统，如图1所示。本文选用S-8136型动磁式双振镜定位电机作为跟踪系统的执行机构，其驱动板为SD-1000型含积分的I型控制器。

图1 振镜系统结构

振镜电机模型如下：

(1)

式中，J是电机转子和轴上反射镜片相对于电机转轴的转动惯量之和；f是电机内部和电机负载折合到电机轴上的粘性摩擦系数；R是电枢电阻；Kb是电动机反电动势系数；KT为振镜电机的转矩系数；g是扭力棒弹性常数，动磁式振镜的g为零。

驱动板模型如下：

(2)

式中，Kp为增益系数；Ti为积分系数；Td为微分系数。

振镜系统模型如下：

(3)

模型近似简化：

考虑到驱动板作为PID控制器具有极零点补偿作用[2]，振镜系统的传递函数可以用二阶传递函数来进一步简化(实际上用二阶模型比三阶模型的辨识效果更好)，整个系统的传递函数结构为：

(4)

1.2 系统参数辨识

为使辨识模型逼近真实的系统模型，输入的辨识信号应能在不同频段充分激励系统，一般而言振镜电机带宽为1000 Hz左右，这里选取频率为1～5000 Hz以对数方式递增的sweeper波对振镜电机进行激励[8]。在系统能够正常工作的前提下，信号幅值越大辨识效果越好。但随着输入信号频率的增加，信号幅值太大会使驱动板电容饱和而导致输出跳变，根据经验sweeper波的幅值选为0.1 V。采集输入输出信号如图2。获取振镜系统输入输出信号后，输入Matlab系统辨识工具箱中对系统参数进行辨识。

图2 输入/输出信号

经过辨识可得到X、Y振镜系统的传递函数如下：

X振镜系统传递函数：

(5)

Y振镜系统传递函数：

(6)

在对连续控制系统进行离散控制设计时，为了得到性能较好的控制效果，一般可以根据连续系统带宽ωb选择控制频率ωa[9]，选择关系如下：

ωa=(5～10)ωb

(7)

X、Y振镜系统的带宽约为1.1 kHz，选择10 kHz作为控制频率，故带有零阶保持器的振镜系统的脉冲传递函数如下：

X振镜系统的脉冲传递函数：

(8)

Y振镜系统的脉冲传递函数：

(9)

2 基于加性输出分解方法的ZPETC

2.1 ZPETC设计

激光跟踪系统通过获取反射镜偏转角、光束偏心量、测距信息合成并记录合作目标的位置信息。由于合作目标的运动频率较慢(不超10 Hz)，远小于信号采集频率，因此选取前k个目标位置，利用多项式拟合预测算法既可求得到当前目标运动轨迹[10]。根据所得轨迹函数可精确预测下一时刻的目标位置，由此解算出两面反射镜在下一时刻的偏转角，获得控制指令的超前值。

由式(8)、(9)可知，X振镜系统与Y振镜系统的脉冲传递函数分别存在不稳定零点z=10.81和z=4.80，属于非最小相位系统。在指令超前值已知的情况下，非最小相位系统直接采用逆控制器会给系统引入不稳定极点。为消除不稳定零点的影响日本学者M.Tomizuka提出了ZPETC[11]。ZPETC是通过引入零点来补偿逆系统中的不稳定极点。加入零相差前馈控制器后，系统对低频输入的响应增益近似为1，在全频域内相移为零。

非最小相位系统可以表示为：

(10)

式中，d为延迟步数；Bu(z-1)是由所有不稳定零点构成的多项式；Ba(z-1)是由所有稳定零点构成的多项式；A(z-1)为分母多项式。

依据不变性原理，系统的逆控制器可表示为：

(11)

为了补偿逆控制器的不稳定极点Bu(z-1)，引入零点Bu(z)。设计数字前置滤波器为：

(12)

故ZPETC的表达式为：

(13)

以X振镜系统为例，加入ZPETC后系统的输入/输出函数为：

F(z-1)G(z-1)=0.0775z+0.8449+0.0775z-1

(14)

y(k)=0.0775yd(k+1)+0.8449yd(k)+0.0775yd(k-1)

(15)

可见,输出量y(k)为期望值yd(k+1)，yd(k)，yd(k-1)的加权平均值。对于低频输入信号,系统的输出趋近于该时刻期望值，从而实现了高精度跟踪控制。

2.2 基于加性分解的ZPETC

设计ZPETC需要被控对象的精确模型，但振镜系统在辨识过程中存在一定的辨识误差，当振镜电机在长时间工作后，由于驱动板上功率放大器件的持续发热会引起系统参数摄动。一般来说辨识误差相对较小，而参数摄动引起的模型失准会导致ZPETC性能恶化。仅通过反馈控制器难以消除由参数摄动引起的误差。为了获得满意的控制效果，本文在ZPETC的基础上引入加性分解输出的方法有效地解决了上述问题。

加性分解正是将一个不确定系统分解为一个与之相近的确定的主系统和一个不确定的辅助系统。原系统的输出量就等于主系统与辅助系统输出量之和。将主系统输出视为比较值，辅系统输出则视为一个集总扰动，通过将辅系统输出量输入ZPETC，实现对该扰动的抑制，提高系统的跟踪性能[12]。为表述方便，以下证明均省略了算子z。

定义系统跟踪误差为：

e=y-yd

(16)

式中，y为系统输出量；yd为期望值

假设原系统为：

y=Gu+d

(17)

因为辨识模型与实际模型接近，且零相差前馈控制器依据辨识模型而设计，故选择辨识模型作为主系统：

yp=Gpu

(18)

故而可得辅助系统的输出yr=Gu+d-Gpu，即集总扰动为：

dl=yr=Gu+d-Gpu

(19)

振镜电机负载不变，不可测扰动可以忽略，故系统的不确定性主要来源于辨识误差和参数摄动，由式(19)可知，这些不确定性引起的扰动为集总扰动。在控制过程中集总扰动可由振镜实际偏转量与主控系统的状态计算值相减得到。基于基于加性输出分解方法的前馈控制器如图3所示。

图3 基于加性输出分解方法的ZPETC结构框图

由于式(13)可知ZPETC由辨识系统的逆函数与数字前置滤波器共同组成消除了不稳定极点，且原系统稳定，集总扰动有界，符合加性分解条件。故振镜系统输入量为：

(20)

整理得：

u=Q[Gp-Q(G-Gp)]-1yd

(21)

其中：

(22)

(23)

(24)

(25)

可见，在ZPETC中引入加性分解输出后相当于在前馈控制器中引入对系统不确定量的反馈，因而可以实现对系统参数摄动的抑制。

3 反馈控制器的设计

PID控制器是最为常见的反馈控制器，它具有原理简单、易于实现的特点。由于PID控制器本身具有较强的鲁棒性，对系统中存在的不缺定因素有较强的适应力。常见的参数整定方式有Z-N整定法和临界比度法等，但这些方法对系统不同的动态响应指标很难实现同步优化，且对操作人员的经验有一定的要求。

为了同步实现对不同动态性能的优化，可采用差分进化算法对PID参数进行整定。差分进化算法是一种基于现代智能理论的优化算法，通过群体内个体之间的相互合作与竞争保留优良个体，淘汰劣质个体，不断地进化引导搜索向最优解逼近。它主要由变异、交叉和选择三个操作组成[13]，参数整定具体流程如下：

3.1 选择最优指标

系统在进行远场跟踪时，振镜微小的偏转会引起光斑在合作目标上的较大位移而导致偏心量增大，因此控制器不仅要有较快的响应速度，对系统响应的超调量也要有严格的约束。为了获得较快的响应速度，选择阶跃响应过程中的误差绝对值之和J作为参数选择的最小目标函数，如下：

(26)

式中，N表示误差绝对值累计次数，对于离散系统的振镜系统，阶跃响应时间在2 ms左右。这里选取N=30即采样30次(控制频率为10 kHz)。为了减小超调量，设计惩罚函数，发生超调就会触发该函数，将超调量加入目标函数，此时的目标函数如下：

ife(p)<0,J=J+10×|e(p)|

(27)

式中，10为超调惩罚权重。

3.2 种群的初始化

在解空间中随机均匀产生地30个个体，每个个体由3维向量组成分别代表带整定的P、I、D参数。

(28)

3.3 变异操作

在每次的进化迭代中，从种群中随机选择3个个体，生成的变异向量为：

hij(t+1)=xp1j(t)+F(xp2j(t)-xp3j(t))

(29)

式中，xp2j(t)-xp3j(t)为差异化向量；F为缩放因子；p1、p2、p3为1～30内的随机整数，表示个体在种群中的序号，且i≠p1≠p2≠p3。变异操作是差分进化算法的关键步骤。

3.4 交叉操作

该步骤是为了提高群体个体的多样性，具体操作如下：

(30)

式中，randlij(0,1)为0～1之间的随机小数；CR为交叉因子，CR∈[0,1]。

3.5 选择操作

为了确定xi(t)是否是下一代的成员，实验向量vi(t+1)和目标向量xi(t)对评价函数进行比较:

(31)

反复执行步骤(3)～(5)，直至最大进化代数50。

以X振镜系统为例，图4、图5分别为最小目标函数值J的优化过程和PID参数整定过程，经过差分进化整定得到的PID参数分别为Kp=0.42，Ni=4.94，Nd=3.395。

图4 最小目标函数值J的优化过程

图5 PID参数整定过程

参数整定后系统阶跃响应如图6所示，系统阶跃响应上升时间约为1.5 ms，超调量小于1%。同样，Y振镜系统整定的结果类似，反馈控制效果符合要求。通过差分进化算法整定参数后控制器有较快的响应速度，有效抑制了超调量。

图6 整定后反馈系统阶跃响应

系统的组合控制结构如图7所示。系统输入量为前馈量与反馈量之和，系统控制效果见仿真部分。

图7 组合控制器结构框图

4 Matlab仿真分析

S-8136动磁式振镜偏转角为±10°，电机输入输出均为±5 V，即位置输入/输出信号的比例系数均为0.5 V/°。假设数字控制电路采样时间为0.1 ms，选用16位D/A转换卡与电机驱动器相连为系统提供输入信号，选用16位 A/D 转换器采集反馈信号；为便于比较，以0～65537作为振镜偏转角度值对应振镜转角为-5～+5°，即1代表最小分辨率约5.32 μrad。在开始跟踪之前激光束首先进入合作目标中心，系统获得目标位置及运动信息后开始跟踪。系统中X振镜Y振镜分别实现对目标水平方向和垂直方向上轨迹分量的跟踪，本文以X振镜系统为例，在matlab上进行仿真，用正弦函数模拟合作目标运动轨迹在水平方向上的分量，输入前馈信号如下：

yd=fix(16384sin(20π×k×ts+π×3/2)+16384)

(32)

式中，yd为离散数字信号；fix为向零取整函数，表示合作目标在水平方向上做频率为10 Hz的往复运动，运动范围为0°～5°。

由于数字控制器的输入/输出值均为离散值，故在仿真过程中对控制器内部的数值计算均需做取整处理。

图8 无干扰下ZPETC跟踪效果及误差

在模型准确的情况下无相前馈控制器的控制效果如图8所示，系统输入/输出没有相移，误差大小在一个分辨率以内，主要由量化误差引起。系统跟踪效果良好。

分别在振镜系统的辨识模型的脉冲传递函数的分子多项式和分母多项式中加入低频扰动量模拟参数摄动如下：

num0=0.3298-0.01sin(2×π×k×ts)

(33)

den0=0.3454+0.01sin(2×π×k×ts)

(34)

式中,num0和den0分别为分子分母上z-2项系数，在加入扰动后，随着参数的变化ZPETC性能变差,系统跟踪误差明显增加，如图9所示。

图9 参数摄动下ZPETC跟踪效果及误差

图10为基于加性分解输出方法的ZPETC的跟踪轨迹和误差曲线。对比系统加入加性分解输出前后的控制效果，跟踪误差幅值由2000降至400。可见，跟踪误差明显减小，证明了基于加性分解输出的ZPETC对系统的不确定性引起的扰动有着明显的抑制作用。

图10 基于加性分解方法的ZPETC跟踪效果及误差

为了进一步补偿跟踪误差，在前馈控制器的基础上加入PID控制器，参数由第三节得出，系统跟踪轨迹和误差曲线如图11所示。系统跟踪误差幅值由400缩小至正负5内，反馈控制器有良好的误差补偿效果。以上仿真结果的比较表明，基于加性分解输出方法的ZPETC与反馈控制的组合控制器能够实现对目标轨迹的精确跟踪。

图11 组合控制器跟踪效果及误差

5 总结

本文在振镜系统辨识的基础上设计了ZPETC，有效地提高了激光跟踪系统的跟踪精度。同时将加性分解方法引入前馈控制器后很好地抑制了由于模型不准及系统参数摄动所带来的干扰。通过无超调PID反馈控制器实现对剩余误差的补偿，最终达到了期望的跟踪效果。通过matlab仿真结果验证了所提出复合控制器的有效性，且控制器具有运算量少、易于实现的特点，有良好的工程推广价值。