核心素养下高中数学问题解决策略 杨 勇/60

摘   要

在解决数学问题中运用五个方面的策略，把数学知识、数学技能、活动经验、思想方法等融入其中，提高学生发现和提出问题、分析和解决问题的能力，促进学生数学核心素养的发展。

关键词

问题情境 问题提出  问题表征  问题交流  问题拓展

数学核心素养是适应学生终身发展和社会发展需要的必备品格和关键数学能力，具体包括六个维度：数学抽象、数学建模、数学运算、数据分析、直观想象和逻辑推理。数学核心素养是在学习和应用数学中不断发展的，是在问题情境中从数学角度发现和提出问题、分析和解决问题的实践中长期形成的能力和品质。具备数学核心素养具体表现为学生学习数学之后，哪怕将来从事的工作与数学无关，也应当会用数学的眼光观察世界，会用数学的思维思考世界，会用数学的语言表达世界[1]。问题解决是由一定的情境引起，按照目标，应用各种认知活动、技能等，经过一系列的思维操作，最终解决问题的过程。引导学生自主解决问题，能提升学生理解问题本质、寻找解决策略的能力，促进学生学会如何思考。同时，数学知识、数学技能、数学思想方法等在解决问题过程中得到巩固和提升，学生的数学核心素养也得到了相应培养和发展。

一、问题解决与数学素养

问题解决与数学素养之间存在密切的联系。有研究者认为，学生在问题解决的过程中需要分析问题的结构特征，需要对问题的解决方案进行分析、比较，并解释、证明策略的合理性;如果教師强调学生对问题的理解，那么可以促进学生寻找相关的信息，理解问题的整体，而不是问题的某些部分;探究当前问题与已经解决过的问题之间的相似之处与不同之处可以帮助学生整合有效信息，等等，当问题解决过程中所有的这些综合起来时，促进数学素养的心理表征就建构起来了。数学素养能促进学习者对现实世界中所蕴含的数学问题的认识和理解，它使学习者发展能力以便分析、解释情境并解决问题。

问题解决与数学素养之间存在积极的关系，并且能相互影响、相互促进。顺利的问题解决过程需要一定水平的数学素养，随着数学素养水平的提升，学生能成为更好的数学问题解决者。问题解决的过程有助于数学素养的发展。非常规的、复杂的、具有不同解决方法的、基于很多数学知识和技能的、要求使用不同表征方式的、具有数学情境的问题解决过程更能促进学生数学素养的发展。数学核心素养在新修订的高中数学课程标准中已经被提出，是数学课程目标的集中体现，本文讨论数学核心素养视角下如何进行问题解决教学。

二、在问题解决教学中发展数学核心素养的策略

在数学课堂教学中，问题解决是一个过程性的学习活动，问题解决教学具体包含了很多要素，以下从问题情境、问题提出、问题表征、问题交流、问题拓展等要素来论述其对数学核心素养发展的影响。这些要素对问题解决教学的顺利进行都具有一定的影响，进一步影响数学核心素养的发展。

1.注重问题情境

吕传汉、汪秉彝两位教授认为：数学情境是一种以激发学生问题意识为价值取向的刺激性的数据材料和背景信息，是从事数学活动的环境，产生数学行为的条件[2]。由问题解决的内涵可知，问题解决是由一定的情境引起，通常从设置问题情境入手。数学问题解决则要从一定的数学情境切入，数学情境包括现实情境和纯数学情境。在PISA测试学生数学素养的过程中，主要是要求学生将真实情境中的问题转化为数学中的问题;应用数学概念、推理和思想方法解决数学问题，得到数学结果，再把这个结果转换到真实的情境中。PISA测试可以简单地理解为，在情境中，通过问题解决来测试学生的数学素养。因此，通过问题解决来发展数学核心素养，问题情境的设计是必不可少的。问题情境是学生参与问题解决的过程进而发展数学核心素养的场域和环境。

例如，PISA2012中的一道真题，以“研发供航行中船只使用的风力能源来降低柴油消耗和燃料对环境的影响”为情境，并给出相关数据，以“大约需要多少年，省下来的柴油费用就可以抵消装设风筝帆的成本？”为需要解决的问题，要求学生解决复杂的真实情境中有关节省成本和燃料消费的问题。在此情境中，通过解决问题，可以考察并发展学生的数学运算素养。当然，数学核心素养的发展既需要现实情境也需要纯数学情境。以数学史为题材的问题;数学探究中引发的新问题;由逐渐深化、层层递进的、具有内在联系的数学问题组成的数学探究活动等纯数学情境也可以用来引发问题解决。总之，问题解决是发展数学核心素养的有效方式，而问题情境是问题解决过程得以进行的场域，通过问题解决的方式提升学生的数学核心素养首先要注重问题情境的设计。

2.提倡问题提出

问题解决在数学课堂中受到了很高的重视，学生通常被要求解决教师提供的或者教材中呈现的问题，但学生很少有机会在数学课堂中自己提出数学问题。从问题解决的视角来进行数学教学，不应该只是侧重于解决非常规的数学问题，还应该鼓励学生在给定的情境中提出问题或者通过修改已给问题的条件来创设新的问题。问题提出既可以发生在问题解决的过程中，也可以发生在问题解决之前和问题解决之后。数学问题提出可以作为创造性数学活动或突出数学能力的特征，可以作为探究性数学教学的特征，可以作为促进学生问题解决的手段，可以作为观察学生数学理解的方式，还可以作为改善学生对待数学的态度的手段，等等。问题提出是问题解决的前提，只有先把问题提出来了，才有问题可解决。在问题解决教学的过程中，让学生亲身经历问题提出的过程，由此引发学生进行数学思考、思维发散、增强创新意识和创造力，从而适应新形势下数学核心素养的培养要求。在提出问题的过程中，可以通过在情境中抽象出数学问题和根据已有问题提出新问题及相应的思考、思维过程来发展学生的数学抽象、逻辑推理、数学建模等数学核心素养。

例如，设置一个情境：在不同大小的桌子上，假设一个球以45度角从桌子的左下角进入（图1中点A），当球撞到桌子的一边时以45度角反弹，球撞到桌边几次后最终会进入一个桌角的袋子中？在图1左图中，球在一个6×4大小的桌子上进入并反弹，反弹了三次最后进入桌角D中的袋子中;图1 右图中球在一个4×2大小桌子上进入并反弹，反弹一次最后进入桌角B中的袋子中。问题：试想不同大小的桌子的情形，考虑尽可能多的情况，分析球分别什么时候进入桌角A、B、C、D的袋子中？在解决以上问题的过程中，你可能会碰到其他的问题，请写出你能想到的任何其他问题。这个例子鼓励学生在给定的情境中提出问题，并且设置了问题来引导学生寻找问题提出的角度。在解决已给问题的基础上，提出问题能促进学生进行思考、归纳概括，从而发展数学抽象、逻辑推理等数学核心素养。

3.关注问题表征

全美数学教师理事会推出的《学校数学教学的原则和标准》把表征定义为一种获取、运用数学知识的方式，并强调所有K-12年级的学生应该运用表征来组织、记录、交流数学思想;在各种数学表征之间进行选择、运用、转换以解决问题;运用表征进行建模，解释物理的、社会的、数学的现象。在数学问题解决的过程中，从问题情境中提出问题之后，应该根据需要解决的问题对相关内容进行表征和转化，以便更好地从数学的角度解决问题。多种表征让学生把数学当作一个整体来学习，而不是一些没有联系的概念，从而更透彻地理解数学知识，这在数学教育中是常见的，多种表征作为数学课堂中促进学习的一种教学技术已经获得了广泛的关注。用文字、符号、图形、模型等不同的方式表征同一个数学问题，不仅有利于学生全面把握数学问题、更顺利地解决数学问题，也有利于教师洞察学生对数学问题和数学知识的理解。在数学问题解决的教学中，教师和学生共同努力，通过对情境中的问题及相关内容进行表征，发展数学建模、数据分析等数学核心素养。

例如，在解决线性方程有关的问题中，用符号、文字、表格以及图形等不同方式来表征问题解决中出现的方程式，这些表征方式之间的相互影响对加强数学理解极其重要。那些能够画出线性方程图象却不能用表格形式进行表征的学生对线性方程的理解就是不全面的，数学知识是发展数学核心素养的基础，对数学知识理解不全面，数学核心素养的发展就会受阻。在解决数据的描述与分析问题时，需要用表格、图形、文字等多种方式对问题进行表征才能更好地解决问题，对表征相关的技能掌握得不全面，就不能顺利地对数据进行描述和分析，从而影响数据分析这一数学核心素养的发展。

4.加强问题交流

当学生交流数学时，他们的语言表达和思维过程可以得到锻炼，这对于发展数学素养是非常有帮助的。交流包括两个方面，通过交流去学习数学以及学会数学地交流，有听、读、报告、讨论等多种形式。交流活动更多地发生在问题解决的过程中，当学生与他人大声讨论时，他们对数学概念、数学思想方法等会有更深刻的理解，就像数学教师向学生解释数学概念时，他们对数学的理解能得到巩固。学生会发现，当向他人解释数学概念时，可以检验自己的掌握情况，或许会发现他们对概念的掌握没有自己想象得牢固。问题解决中的交流活动不仅对学生有要求，对教师同样有要求。教师需要以发展数学核心素养为目标，提出能够挑战学生思维的问题，把数学交流有效融入问题解决的过程中;创造相互信任和尊重的课堂氛围让学生在其中进行数学交流，并督促学生进行交流以便达到重要的学习目标;确保所有的学生都有机会参与其中，对数学内容、数学思想、交流质量做出反馈以便进一步鼓励课堂交流，实现以促进交流来发展学生的数学核心素养的课堂教学目标。

例如，在讲授函数单调性的概念中，让学生用符号语言来刻画函数单调性的定义是个难点。教师要引导学生在独立思考的基础上进行分组合作，在充分地交流探讨中不断修正和提炼，经历由具体到抽象、由图形语言到符号语言的表达过程，体会全称量词、存在量词等逻辑用语的作用，感受其中数与形、部分与整体的联系，最后自己归纳出增（减）函数的定义及其应用。每一位学生都能在思考与表达、合作与交流中体验成功的喜悦，数学抽象、数学运算、逻辑推理等素养也得到了相应地发展[3]。

5.重视问题拓展

数学核心素养具有阶段性、综合性和持久性的特征。综合性是指数学核心素养是数学知识和能力、数学思考和态度等的综合体现;持久性是指数学核心素养的培养不仅有助于学生对数学知识的理解与把握，还会伴随学生的进一步学习以及渗透到将来的生活和工作中。根据数学核心素养的特点，学生数学核心素养的发展既是横向的也是纵向的，既要考虑学生在数学方面的综合发展而不仅仅是数学知识的发展，又要考虑学生在数学方面的长远发展而不仅仅是只考虑眼前的教学目标。在问题解决教学的过程中发展数学核心素养，除了注意问题情境的设置、问题提出、问题表征、问题交流，在问题已经被顺利解决之后，还要重视在已解决问题的基础上对问题进行拓展延伸，为后面的问题解决及数学学习打下基础，也为数学核心素养综合、持久地发展打下基础。

例如，在解决圆锥曲线的一类过定点问题时，解决问题“已知A，B是抛物线y2=2px（p>0）上两点，O为坐标原点，并满足OA⊥OB，求证：直线AB经过定点。”之后，再以此为基础对问题进一步拓展，鼓励学生解决问题“已知A，B是抛物线y2=2px（p>0）上两点，O为坐标原点，并满足KOA·KOB=？姿，求证：直线AB经过定点。”这样的拓展问题能让学生更深刻地理解、更好地解决圆锥曲线的一类过定点问题。同时，把抛物线相关问题的数学技能迁移到其他圆锥曲线类似的问题中，在圆锥曲线的各类曲线中促进知识迁移，从而更好地掌握圆锥曲线的相关内容。因此，对问题进行拓展不仅能丰富相关的数学知识、技能，还能进行知识、技能的总结与延伸，为后续的学习奠定基础。作为数学核心素养发展的基础，数学知识与技能的不断丰富为数学核心素养的综合、持久发展起到促进作用，而对问题进行拓展常常能涉及到抽象、推理的过程，这在数学核心素养发展的过程中起到很重要的作用。

总之，问题解决在数学核心素养发展的过程中能起到较大的推动作用，这体现在问题情境是问题解决的场域，问题提出是问题解决的前提，问题表征在问题解决中起转化的作用，问题交流在问题解决中是过程性的数学活动，问题拓展是对问题解决的延续。这些因素在问题解决过程中发挥重要作用，从而促进数学核心素养的发展，具体关系见图2。

数学核心素养的课程目标要求学生学会从数学的角度思考问题，用数学的思维分析问题，用数学方法解决问题，为了达成课程目标，数学核心素养理念最终还要落实在教学上，通过教师和学生的共同努力来达成。基于核心素养导向的数学教学需要对教学进行精心设计，以达夯实基础力、提升思考力、增强实践力与创造力的目的[4]。问题解决教学就是基于数学核心素养导向的数学教学的一种可行方式，在问题解决教学的过程中，通过创设恰当的问题情境，提出合理的数学问题，学生可以进行积极思考、与同学及教师交流想法、锻炼数学思维、在实际应用中掌握数学知识及技能、领悟数学思想方法，这些都有助于形成和发展数学核心素养、达成数学课程目标。在数学核心素养视角下的问题解决教学过程中，教師需要明确数学核心素养的教学目标、创设良好的问题解决环境、设计恰当的问题、鼓励学生融入问题解决的过程中、激发学生问题解决的意识，才能在数学教学中落实学生数学核心素养的发展，有效促进数学课程目标的实现。

参考文献

[1] 史宁中.学科核心素养的提升与教学——以数学学科核心素养的提升为例[J].中小学管理，2017（01）.

[2] 吕传汉，汪秉彝.中小学“数学情境——提出问题”教学探究[M].贵阳：贵州人民出版社，2002.

[3] 杨勇.基于核心素养的高中数学概念教学的误区及对策[J].数学教学研究，2018（07）.

[4] 刘锦，李龙安，侯学萍.基于核心素养导向的中学数学教学思考[J].现代中小学教育，2016，32（10）.

【责任编辑  郭振玲】