基于马尔可夫链的北京市546年来的旱涝演变特征

常奂宇 翟家齐 赵勇 李海红 王庆明 韩静艳

摘要：基于北京546年的旱澇资料，通过MannKendall检验、滑动t检验等方法，分析得到不同旱涝变化趋势，并使用马尔可夫链研究了整体和每个趋势各状态间的转移概率以及重现期。研究表明北京地区旱涝灾害具有明显的趋势性，整体呈现“涝-旱-涝-旱”波动，局部有旱涝急转的现象。1470-1579年整体偏涝，转向偏涝年份的概率最高（313%）；1580-1768年整体偏旱，转向正常年份的概率最高（343%），且容易发生多年连旱；1769-1898年整体偏涝，转向正常年份的概率最高（415%），且旱涝灾害发生概率基本相同；1899-1961年由涝转旱，转向偏旱年份的概率最高（351%）；1962-2015年整体偏旱，转向偏旱概率最高（297%），且容易发生多年连旱。对546年旱涝整体分析，旱涝转移趋向于正常，但整体处于一个偏旱的状态。

关键词：旱涝变化；趋势；马尔可夫链；转移概率；重现期；北京

中图分类号：P467 文献标志码：A 文章编号：

16721683（2018）05002708

Analysis on evolution of droughts and floods in Beijing over the last 546 years based on Markov chain

CHANG Huanyu1，ZHAI Jiaqi1，ZHAO Yong1，LI Haihong1，WANG Qingming1，HAN Jingyan1，2

（

1.State Key Laboratory of Simulation and Regulation of Water Cycle in River Basin，China Institute of Water Resources and Hydropower Research，Beijing 100038，China；2.Institute of Hydrology and Water Resources，Department of Hydraulic Engineering，Tsinghua University，Beijing 100084，China）

Abstract：

Based on the data of droughts and floods over the last 546 years in Beijing，we obtained different trends of floods and droughts using MannKendall test and moving ttest，and we used Markov chain to study the transfer probability and recurrence of different states in each trend.The study showed that the drought and flood disasters in Beijing manifested obvious tendencies.The overall trend was "flooddroughtflooddrought" fluctuation，with rapid shifts between drought and flood at some times.During 14701579，Beijing was prone to flood and had the highest probability of transferring to a partial flood year （313%）.During 15801768，Beijing was prone to drought and had the highest probability of transferring to a normal year （343%）；it was also very likely to have continuous droughts.During 17691898，Beijing was prone to flood and had the highest probability of transferring a normal year （415%）；the occurrence probabilities of drought and flood disasters were basically the same.During 18991961，Beijing transferred from flood to drought and had the highest probability of transferring to a partial drought year （351%）.During 19622015，Beijing was prone to drought，and had the highest probability of transferring to a partial drought year （297%）；it was also very likely to have continuous droughts.The overall analysis of 546 years of droughts and floods showed that the transfer of droughts and floods tended to be normal，but the overall situation was partial drought.

Key words：

variation of drought and flood；trend；Markov chain；transfer probability；recurrence；Beijing

旱涝灾害对于经济社会发展影响巨大，自1999年以来北京市遭遇连续十几年的干旱，由于其持续时间长、影响范围广、强度大，使得平原区地下水超采严重，水资源形势变得尤为严峻。近年来，对于北京以及京津冀地区旱涝变化特征的研究颇多，李双双等[1]分析了近54年北京旱涝变化特征，得到极端旱涝时间增多，以及自然因素相比人类活动对旱涝变化影响更大；方宏阳等[2]对京津冀50多年降水数据进行分析，得到北京为旱涝交替高发区；不少学者也根据丰富的历史极端气象事件资料对区域内百年尺度的旱涝变化规律进行研究，如王文鑫等[3]得到海河流域16世纪初期至17世纪初期为涝转旱，17世纪中后期至19世纪初为旱转涝，20世纪初又进入相对干旱的时期；卢路等[4]得到海河流域存6个主旱和主涝的阶段；翟家齐等[5]得到北京存在6个大尺度的旱涝突变；陈颖等[6]对北京明清干旱等级进行分析，得到明代旱灾频率和等级均比清代高；李艳萍等[7]得到干旱灾害在明代有先增加后微减的变化趋势。但目前对于北京地区历史旱涝存在的不同变化阶段和内在规律研究不够，尤其是对不同旱涝状态的演化规律和转移状况缺乏认识。所以本文在现有研究的基础上，采用得到普遍应用的气候诊断方法MannKendall检验（MK检验）和滑动t检验[812]分析了北京旱涝不同变化趋势阶段，并利用马尔可夫链方法[13]对旱涝转移概率和重现期进行分析，以期了解北京近500年的旱涝演变规律，为北京应对旱涝灾害提供科学依据和技术支撑。

1 区域概况及研究方法

1.1 旱涝数据来源

根据《中国近五百年旱涝分布图集》[14]，北京市旱涝等级分为涝、偏涝、正常、偏旱、旱五个等级，分别用1、2、3、4、5表示。旱涝等级主要通过历史气候资料记载来评定，但在有降水观测数据时，则根据实际的降雨量进行划分。北京市的旱涝等级资料1470-2000年系列来自文献[1416]，2001-2015年的系列根据实际降雨量按照文献[15]的方法划分，总长为546年，北京市1470-2015年旱涝等级变化过程及5年滑动平均曲线见图1。为了消除随机波动，如连续干旱年或者连续涝年中存在某一正常年份，使系列能够客观地反映一段时间内的旱涝整体状况，本文在旱涝变化趋势分析中使用了5年滑动平均的旱涝数据。

1.2 研究方法

1.2.1 MK检验

MK检验法是一种非参数统计检验方法，适用于非正态分布的资料，并且不受少数异常值的影响，在旱涝突变和趋势分析中得到了普遍应用[1719]，计算步骤如下。

首先对序列长度为n的时间序列构造一秩序列：

1.2.2 滑动t检验

滑动t检验是通过考察两组样本平均值的差异是否显著来检验突变[21]。如果两组样本均值的差异超过了显著性水平，则认为这两组样本发生了突变。由于子序列长度选择不同会造成突变点的漂移[22]，所以本文分别采用34个不同长度的子序列进行95%置信水平的t检验，同时计算每一年通过滑动t检验的子序列累计个数，并选取具有代表性的子序列长度绘制滑动t检验曲线。

1.2.3 马尔可夫链

马尔可夫链是时间离散、状态离散的马尔可夫过程，它最基本的特征是“无后效性”，即在系统“现在”的状态已知的条件下，其“将来”的状态和“过去”的状态无关[23]。在旱涝特征分析中引入马尔可夫链可以研究各状态间的转移概率以及各状态的重现期，为减灾、防灾提供依据[2428]。设随机过程{Xn，n∈T}的状态空间是E，若对任意整数n∈T和任意状态i∈E满足条件概率：

2 结果分析

2.1 北京546年来的旱涝演变分析

2.1.1 旱涝突变点分析

由图2（a）中可以看出，UF和UB曲线的交点先后出现在1579年、1768年，在1898-1961年出现了多次交点，对于这些交点再利用滑动t检验诊断变异，以增加突变点选取的准确度。图2（b）是子序列长度为25 a的滑动t检验曲线与每一年通过34个子序列滑动t检验的累计次数，由图可以看出，整个时间序列存在9个较为显著的突变点，由于滑动t检验很难准确定位突变点发生的时间[22]，所以结合UF曲线峰谷值或交点确定突变发生的具体时间。结合MK检验的交点，可以认为在1470-2015年北京市旱涝变化趋势主要有4个突变点，分别是1579年、1768年、1898年与1961年，其中1768年在005显著性临界线外，是否是突变点需要配合其他突变检验方法[20]，通过滑动t检验可以看出该年的突变显著性在整个系列内最高，且有30个不同子序列均通过了显著性检验，所以认为1768年也属于突变点。

2.1.2 各阶段旱涝趋势分析

结合MK检验和滑动t检验，从500 a尺度上对北京旱涝趋势进行分析，可以得出北京市总共经历了5种旱涝变化阶段，见表1。在1470-1579年，通过UF曲线可以看出北京旱涝变化呈现由旱转涝的趋势，其中在1470-1540年，出现干旱的趋势显著，超过005显著性水平，在1541-1579年间，UF曲线从正值转为负值，北京出现涝的趋势增加，但未超005显著性水平；在1580-1768年间，UF曲线由负值转为正值，北京开始由涝转旱，在1731年開始转旱的趋势明显加快，并且分别在1645年、1694年以及1755年超过005显著性水平，出现干旱的趋势显著，但1645年以及1694年达到峰值后迅速下降，说明这两个年份之间存在短期的旱涝急转现象；在1769-1898年间，UF曲线由正值转为负值，北京开始由旱转涝，其中在1769-1812年间，UF曲线从超过005显著性水平迅速降低负值，说明这段时期北京迅速由偏旱转变为偏涝，在1813-1898年间，除了1869年附近UF曲线增长为正值，其他时期均为负值，整体一直处于偏涝的趋势；在1899-1961年间，UF由负值转为正值，说明这段时期北京开始由涝转旱；在1962-2015年间，北京处于偏旱的状态，UF曲线持续上升，说明北京出现干旱的趋势增加。

由滑动t检验可以看出，在上面5种变化趋势内还存在多个较为显著的突变点，如1645年、1694年、1731年、1812年与1869年，这些年份虽然在局部旱涝波动较大，但仍处于5种旱涝变化趋势范围之内，说明北京在长期旱涝趋势转变下也存在多个短期的旱涝急转的现象。

2.2 马尔可夫转移概率

根据旱涝变化趋势，将546年的旱涝资料系列分为了5种不同趋势阶段，利用马尔可夫链分别对这5种阶段和整体进行旱涝转移概率和重现期特征分析。由于旱涝等级分为涝、偏涝、正常、偏旱和旱5个状态，所以马尔可夫链的状态空间E={1，2，3，4，5}，并将步长选为1年到5年。

按照马尔可夫链计算步骤，可以得到不同阶段对应不同步长的转移概率矩阵，对步长为1的一步转移概率矩阵进行马氏性检验，结果见表2。

根据自相关系数和归一化计算公式，可以得到不同阶段在不同步长下的自相关系数和权重，见表3。由表3可知，在阶段一和阶段四步长为5的状态转移矩阵相依性最强，而阶段二、阶段三和阶段五则是步长为3的转移矩阵相依性最强。

2.2.2 不同阶段下状态转移概率

不同初始状态的一步转移见图3。由图3可以看出，一步转移矩阵反映了不同阶段下的旱涝转换规律。初始状态为涝的情况下，阶段一主要向涝和偏涝转移，而且转向偏涝的概率最高，与之相反，阶段二转向偏旱的概率最高，且总体主要向旱和偏旱转移，阶段三向正常转移概率最高，阶段四向偏旱转移概率最高，状态五则全部转向偏涝。初始状态为偏涝的情况下，阶段一无明显偏向性，阶段二和阶段

一相比，转向旱的概率高一些，阶段三转向涝的概率比阶段一高一些，阶段四向偏旱转移概率最高，阶段五向正常转移概率最高。初始状态为正常的情况下，阶段一无明显偏向性，阶段二则是转向正常和偏旱的概率较高，阶段三转向正常和偏涝的概率较高，阶段四和阶段五均是转向偏旱的概率最高。初始状态为偏旱的情况下，阶段一呈现主要转向偏涝的趋势，但转向不同状态的概率相差较小，阶段二和阶段四转向正常的概率最大，整体上倾向于偏旱，阶段三呈现转向偏旱和旱的趋势，阶段五则无明显偏向性。初始状态为旱的情况下，阶段一转向偏旱的概率最高， 其次是偏涝，转向其他概率较低，阶段二和阶段五同样转向偏旱的概率最高，并且整体呈现转向偏旱的趋势，阶段三则只转向正常和偏旱，且转向正常的概率最高，阶段四转向正常的概率最高，且整体偏旱。

在阶段一中，由任一初始状态转向偏涝的概率最高，为313%，转向涝与偏涝的概率为437%，转向旱与偏旱的概率为328%，初始状态为涝再转向涝和初始状态为旱再转向旱的概率基本一致，但初始状态为旱再转向涝的概率却接近初始状态为涝再转向旱的两倍。阶段二中，由任一初始状态转向正常的概率最高，为343%，转向涝与偏涝的概率为231%，转向旱与偏旱的概率为427%，此时初始状态为涝再转向涝和初始状态为旱再转向涝的概率均比初始状态为旱再转向旱和初始状态为涝再转向旱的概率低，阶段二容易发生多年连旱。阶段三中，由任一初始状态转向正常的概率最高，为415%，转向涝与偏涝的概率为299%，转向旱与偏旱的概率为286%，初始状态为涝再转向涝和初始状态为旱再转向涝的概率与初始状态为旱再转向旱和初始状态为涝再转向旱的概率基本一致，阶段三旱涝发 生较为均匀，且正常年份占主要部分。阶段四中，由任一初始状态转向偏旱的概率最高，为351%，转向涝与偏涝的概率为266%，转向旱与偏旱的概率为497%。阶段五中，由任一初始状态转向偏涝、正常和偏旱的概率分别为284%，293%，297%，且由旱转为旱与偏旱的概率为75%，容易发生多年连旱。

2.2.3 不同阶段下马尔可夫特征和重现期

对每种阶段选取相依性最强的状态转移矩阵计算平稳分布和重现期，计算结果见图4。可以看出，阶段一时涝的重现期为9785 a，偏涝为3462 a，[HJ]正常为3358 a，偏旱为3944 a，旱为17374 a，说明阶段一出现涝的次数大于出现旱的次数，整体偏涝；阶段二时涝的重现期为17216 a，偏涝为6462 a，正常为2755 a，偏旱为3377 a，旱为7812 a，阶段二出现旱的次数大于出现涝的次数，整体偏旱；阶段三时涝的重现期为8016 a，偏涝为4019 a，正常为2758 a，偏旱为4599 a，旱为21544 a，阶段三出现涝的次数大于出现旱的次数，整体偏涝；阶段四时涝的重现期为7891 a，偏涝为7749 a，正常为3552 a，偏旱为2823 a，旱为9613 a，阶段四出现旱的次数大于出现涝的次数，整体偏旱；阶段五时涝的重现期为52632 a，偏涝为5889 a，正常为3313 a，偏旱为279 a，旱为6625 a，阶段五出现旱的次数大于出现涝的次数，整体偏旱。

对比阶段一和阶段三，二者均属于偏涝，但阶段一发生涝和旱的概率均大于阶段三，而阶段三出现正常年份的概率大于阶段一，说明阶段一虽然整体偏涝，但旱涝灾害情况发生更为频繁，阶段三则相对较少。对比阶段二、阶段四和阶段五，三个阶段均属于偏旱，但阶段二与阶段四发生旱涝概率比较相似，而阶段五發生偏旱的概率是所有阶段发生旱涝概率中最高的，同时也是发生涝概率最低的，说明阶段五发生旱灾的情况更严重。

2.2.4 整体马尔可夫特征

按照上述步骤对全部546年的旱涝资料序列进行马尔可夫链计算，得到一步转移矩阵χ2值为127055，在显著性水平α=005下，χ2005（5-1）2=26296，所以该序列具有马氏性。各阶自相关系数及权重计算结果见表4，可知该序列步长为3的转移矩阵相依性最强。

整体一步转移矩阵见图5，可以看出，初始状态由涝转向偏涝、旱转向偏旱、以及偏旱偏涝转向正常的概率远大于其他状态之间的转移概率，整体上转向旱的概率高一些，说明北京市旱涝转移趋向正常，但整体趋势仍是偏旱的。

利用相依性较强的步长为3的转移矩阵计算平稳分布和重现期，结果见表5。可以看出，涝的重现期为11588 a，偏涝为4983 a，正常为2968 a，偏旱为3568 a，旱为10438 a，正常年份出现次数最多，偏旱出现的次数多于偏涝，旱出现次数多于涝，和一步转移结果一样，说明北京市近500年整体处于一个偏旱的状态。

3 结论

（1）结合MK检验和滑动t检验对北京546年的旱涝资料进行分析，得到北京旱涝变化存在5种阶段。阶段一从1470年到1579年，变化趋势为由干旱趋势显著转为偏涝；阶段二从1580年到1768年，变化趋势为由涝转旱，期间有短期旱涝急转；阶段三从1769年1898年，变化趋势为先由旱迅速转涝，然后偏涝；阶段四从1898年到1961年，变化趋势为由涝转旱；阶段五从1962年到2015年，处于偏旱状态，且出现干旱趋势增加。

（2）阶段一转向偏涝的概率最高，为313%，而且由旱转涝的概率比由涝转旱高了接近一倍；阶段二转向正常的概率最高，为343%；阶段三转向正常的概率最高，为415%；阶段四和阶段五转向偏旱的概率最高，分别为351%与297%。阶段一到阶段三，重现期最短的均为正常状态，分别为3358 a、2755 a与2758 a，阶段四和阶段五重现期最短的均为偏旱状态，分别为2823 a与279 a；阶段一和阶段三重现期最长的均为旱状态，分别为17374 a与21544 a，阶段二和阶段五重现期最长的均为涝状态，分别为17216 a与52632 a，阶段四重现期最长的是旱状态，为9613 a。

（3）北京旱涝转移规律在近500年尺度上趋向于正常，但整体仍处于一个偏旱的状态。涝状态重现期最长，为11588 a，正常状态重现期最短，为2968 a。对比分析不同阶段和整体的马尔可夫特征可以看出，利用马尔可夫链的特征能够反映一段时期内旱涝转移和变化的规律，但在应用时应当考虑时期内可能存在的突变点，马尔可夫链对于同一个趋势下的分析更为准确。

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