跟着天猫店主追求“最大利润”

在天猫开店的店主们很会赚钱，他们赚钱的方法主要有两种，一种是薄利多销，一种是厚利少卖.今天就让我们走近这些店主，看看他们是如何赚钱的.

【问题】天猫某店经营某种品牌的玩具，进价为60元/件.当定价为80元/件时，平均每周可销售300件.每件玩具每降价1元，每周就会多卖出25件玩具；每件玩具每涨价1元，每周就会少卖出10件玩具.售价为多少元时，才能使每周销售利润最大？

【分析】调整价格包括降价和涨价两种情况，即：降价时，虽然每件的利润减少了，但是销售数量增加了，所以同样可能使销售的总利润增加；涨价时，虽然销售数量减少了，但是每件的利润增加了，所以可能使销售的总利润增加.

本题用到的数量关系是：单件利润=售价-进价；销售总利润=单件利润×销售数量.

下面，同学们可以尝试以降价和涨价两种情况来设计一组追问进行铺垫，进而寻求本题解决方案：

一、降价时

【追问】1.售价为x元，销售数量为多少元？

2.设销售总利润为y元，那么y与x的函数关系式是什么？

3.售价为x元，销售总利润为y元时，可获得的最大利润是多少？

【分析】根据题意，每件玩具每降价1元，每周就会多卖出25件玩具.如果知道了降多少元，就必然知道多卖多少件，那么降了多少元呢？最初的售价是80元，降价后的售价是x元，那么它们之间的差值就是所降的价格，即降价（80-x）元.我们知道降1元多卖25件，现在降了（80-x）元，所以多卖的数量就是25×（80-x）件.总共卖的应该是原来卖的加上多卖的，即300+25×（80-x）.所以数量就是［300+25×（80-x）］件.单件利润是（x-60），销售数量是300+25×（80-x），则总利润y=（x-60）［300+25×（80-x）］.求最大利润时，只要根据二次函数的图像性质求最值即可.

用表格表示为：

进价定价现价单件利润原数量多卖的数量现数量降价60 80 x（x-60）300 25×（80-x）300+25×（80-x）

【解答】解：1.300+25×（80-x）.

2.y=（x-60）［300+25×（80-x）］.

3.y=（x-60）［300+25×（80-x）］=-25x2+3800x-138000.

∵a=-25，抛物线开口向下，

∴售价为x元，销售总利润为y元时，可获得的最大利润是6400元.

二、涨价时

【追问】1.售价为x元，销售数量为多少元？

2.设销售总利润为y元，那么y与x的函数关系式是什么？

3.售价为x元，销售总利润为y元时，可获得的最大利润是多少？

【分析】根据题意，每个玩具每涨价1元，每周就会少卖出10件玩具.如果知道了涨多少元，就必然知道少卖多少件，那么涨了多少元呢？最初的售价是80元，涨价后的售价是x元，那么它们之间的差值就是所涨的价格，即涨价（x-80）元.我们知道涨1元少卖10件，现在涨了（x-80）元，那么就应该少卖10×（x-80）件.总共卖的应该是原来卖的减去少卖的，即300-10×（x-80），所以数量就是［300-10×（x-80）］件.单件利润是（x-60）元，销售数量是300-10×（x-80），则总利润y=（x-60）［300-10×（x-80）］.此时求最大利润同样是根据二次函数图像性质来解决.

用表格表示为：

【解答】解：1.300-10×（x-80）.

2.y=（x-60）［300-10×（x-80）］.

3.y=（x-60）［300-10 ×（x-80）］=-10x2+1700x-66000.

∵a=-10，抛物线开口向下，

∴售价为x元，销售总利润为y元时，可获得的最大利润是6250元.

∵6400＞6250，∴当售价为76元时，才能使每周的销售利润最大.

本题在设未知数时，总利润是因变量y，而对自变量x可以有两种认识：

（1）自变量x是涨了x元或降了x元.

（2）自变量x是最终的销售价格.

上述是根据第二种情况解答的.如果是根据第一种情况，分析的思路一样，分别表示出单件利润和销售数量即可.

初中阶段的最大利润问题一般是二次函数问题，是因为如果单件商品的利润随着售价线性变化，销售数量也随着售价线性变化.这两个量的乘积就是总利润.两个关于x的一次多项式相乘，结果便会出现关于x的二次项，即出现了二次函数.如果在列表达式时发现单件利润里没有x，或销售数量里没有x，那么，很不幸地告诉你，你的账算错了.

实际生活中的情况也许比这个问题要复杂得多，但一般的规律是：商品一旦涨价，顾客的购买量会减少，也就是说涨价后，单个利润升高了，销售数量减少；如果是降价，顾客购买量会增多，所以降价后，单个利润降低了，销售数量反而增高.所谓的“此消彼长”大概就是这个意思吧！同学们可以根据这个规则算最大利润啦！