正弦型函数图像的变换及其应用

（华中科技大学附属中学高三（4）班 湖北武汉 430000）

一、函数y=Asin（ωx+φ）图像的变换

函数y=Asin（ωx+φ）（其中A，ω，φ都是常数，且A＞0，ω＞0）是一种重要的三角函数模型，由正弦函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图像，由两种变换途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”，其变换规律是：

1.先平移后伸缩

（1）相位变换（平移变换）。将函数y=sinx的图像沿x轴向左平移φ（φ＞0）个单位，或向右平移丨φ丨（φ＞0）个单位，得到函数y=sin（x+φ）的图像。

（2）周期变换。将函数y=sin（ωx+φ）图像的纵坐标不变，横坐标变为原来得到y=sin（ωx+φ）的图像。

（3）振幅变换。将函数y=sin（ωx+φ）图像的横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，得到y=Asin（ωx+φ）的图像。

2.先伸缩后平移

（1）周期变换。将函数y=sinx的图像纵坐标不变，横坐标变为原来的得到y=sinωx的图像。

（2）相位变换（平移变换）。将函数y=sinωx的图像向左（φ＞0）或向右（φ＜0）平移丨丨个单位，得到y=sin（ωx+φ）的图像。

（3）周期变换。将函数y=sin（ωx+φ）图像的横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，得到y=sin（ωx+φ）的图像。

二、应用

1.由图像写出与之对应的函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的解析式，其中关键的确定A，ω和φ的值。A通常由最大值和最小值确定，即最大值减最小值除以2；ω由周期确定：而（这里的x0是指用“五点法”作图时的起点横坐标），或者是将图像上的点的坐标代入，借助待定系数法求解。

分析 虽然是部分图形，但也能反应出函数的特征。

点评 （1）由函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的一段图像，求此函数的表达式，其表达式往往不唯一，要根据具体问题具体分析，这类问题中，A比较容易求，困难的是求ω和φ。一般地，由图像定周期，由周期求出ω；确定φ时，通常从图像上看清五个关键点在什么地方，应该是五点作图法中的第几点，通过ωx+φ即可求出φ。如上例中，注意（—2，0）是五点作图时的第一个点，所以ωx+φ=0，其中x=—2，可知再如，是五点作图法的第二个点，所以ωx+其中x=2，可知若对A，ω或φ范围有要求，可用诱导公式变换，使其符合要求。

（2）、如果题目不给出图形，可以根据条件画出示意图，再用待定系数法求解。

分析 该题目没有给出图形，可画出示意图帮助理解。