例谈高三解题教学中学生思维能力的培养

（宜昌市夷陵中学 湖北宜昌 430000）

数学教学是数学思维活动的教学，思维过程是数学教学的本质。美籍匈牙利数学家波利亚指出“掌握数学意味着善于解题”。在实施新课标理念和高考的双重背景下，有效提高解题教学的质量，提升学生综合能力及数学素养是广大一线教师的不懈追求。解题教学的目的不仅仅是让学生学会解题、善于解题、取得好成绩，更重要的是培养学生的理性思维能力、数学素养，学会数学地思维，为学生的进一步发展奠定基础。

高三解题教学包括例题教学和习题教学。前者常出现于一轮、二轮复习的典型例题分析中，以教师为主导，通过探中抽知、串知成链，引导学生利用学过的概念、公式、定理、法则等解决数学问题；后者常出现于作业题、试卷评讲分析中，以学生为主体，充分暴露思维过程。在例题教学和习题教学中均可以通过一题多解、一题多变、多题一解等方式培养学生的思维能力。解题教学质量高低的关键是看学生的思维是否主动、积极、深度的参与解题教学活动。

一、高三解题教学首先要引导学生理解概念的本质

概念是数学思维的细胞，是构成数学知识体系的基本要素。对数学基本概念的理解是提高学生对数学的认识、提高数学思维能力的最好途径。章建跃博士认为，概念及其蕴含的思想方法才是根本大法，只有围绕数学概念的核心开展教学，在概念的本质和数学思想方法上给予点拨、讲解，让学生在理解概念及其所反应的数学思想和方法的基础上，对细节问题、变化的问题进行深入思考，才能实现有效教学。

这道题得分的情况不甚理想，笔者所带的是年级成绩较好的班级，全班50人，出错27人次。此题当时放在填空题第15题位置，除开极少数学生对此位置填空题的恐惧、不自信因素，更多是对数列的概念本质理解不够透彻。

从后来的总结分析发现，绝大多数学生能理解题意，对任意的两个正整数m,n(m≠n)都有(m-n)(am-an)＞0转化为数列{an}在n∈N*上单调递增。学生中有如下思路与结果：

思路一：y=(3-a)x-3在(-∞,7]上单调递增，有3-a＞0，且y=ax-6在(7,+∞)上单调递增，有a＞1，故1＜a＜3；

思路二：除了a＜3，还要注意端点处，即(3-a)7-3 ≤a，解得

正解：由题知1＜a＜3，由数列{an}在n∈N*上单调递增有解得

思考：部分学生未理清题意，误认为是分段函数f(x)在定义域上单调递增；多数同学没有弄清函数单调递增与数列单调递增的差异，以为数列单调递增，其对应的函数也单调递增，其转化是不等价的。追根溯源，实则为学生对数列的概念没有理清。数列其实是一种特殊的函数，我们可以用研究函数的方法来研究数列，回到数列的概念：按一定次序排成的一列数，通项公式为an=f(n)，定义域为N*或其子集，图像是一系列孤立的散点。散点的变化规律与连续变化的曲线的变化规律既有联系又有区别，本例思考的节点在于n=7和n=8时，数列{an}图像中两个点的比较。

思路一：

思路二：

思路三：

不妨设x1＞x2＞0，则等价于f(x1)-2x1＞f(x2)-2x2，令g(x)=f(x)-2x，有g(x1)＞g(x2)在(0,+∞ ) 上 恒成 立，即g(x)=f(x)-2x在(0,+∞)上单调递增，则在(0,+∞)上恒成立，有a≥ 2x-x2在(0 ,+∞ )上恒成立，解得a≥1。（教师点拨，与学生共同完成）

点评：思路一近乎解答题的做法比较庞杂，不符合小题小做、小题巧做的规律，学生的想法值得肯定但思维的节点未合理突破；思路二的问题在于利用拉格朗日中值定理，其转化是不等价的，且属于高等数学范畴，不是通性通法；思路三立足高考考纲范围内的知识点，利用单调性定义将问题转化为函数在区间上单调递增（减）的问题，由导数知识进一步转化为恒成立问题。

二、高三解题教学中可以适时采用变式教学激活学生的思维

根据建构主义学习理论，学生是认知的主体，是认知结构的主动建构者，课堂教学中，教师只是认知结构建构过程的组织者、指导者、脚手架搭起者。解题教学也不例外，在解题教学中，教师通过精心设计一组有中心、有联系、有层次、环环相扣的变式问题，给学生搭起辅助支架，以变式问题为主线，引导学生从不同角度，对不同问题开展探究活动，这对充分调动学生主动参与课堂活动的积极性，有效完成学生的知识建构，培养学生分析问题、解决问题的能力，拓展学生的思维，提升学生的综合素养是有益的。

思考：爱因斯坦说“提出问题比解决问题更重要”。教师通过创设民主课堂，建立积极和谐的师生关系，鼓励学生自行设计题目，充分体现学生的主体地位，极大程度地调动了学生学习的积极性，激发了学生的创造性思维及学习潜能，锻炼了学生“如何数学地提出问题并分析问题”的能力。在这种开放的教学环境中，学生主动性得以加强，思维能力得以提升，教师的“无为”造就了学生的“有为”。

但在设计题目的活动中，对学生天马行空的设计教师需要把握一个合适的度，在肯定学生积极主动思考问题的同时又必须紧扣本节课的教学目标，所以教师需要及时对学生设计的问题进行适当点评与修改。

笔者随后补充了如下题目：

1.已知直线过点P(2,1)，且在坐标轴上的截距相等，求直线方程；

2.已知直线过点P(2,1)，且与坐标轴围成的面积为8，求直线方程；

3.已知直线过点P(2,1)，且与x轴、y轴正半轴分别交于A、B两点，思考△AOB的面积是否存在最值，并研究当面积取得最值时直线的方程。

并与学生共同探究第3题，学生给出了这样的思路与解法：

生8：△AOB的面积不可能有最大值，但有最小值。考虑到△AOB为直角三角形，可以考虑设直线方程的截距式依题有利用基本不等式得到ab≥8，当且仅当a=4 ,b=2 时有面积的最小值4，此时直线方程为x+2y-4=0；

教师：哪位同学能点评一下这两种方法么？

生10：法一用两个变量a,b很简洁地表示了面积，法二只用了一个变量k来表示面积，两种方法均用到了基本不等式；

教师：点评得很好。方法二将面积S表示成了关于k的一个……？

学生：函数；

教师：方法一能否利用函数的观点来研究？

教师：我们还能选择其他的变量来表示面积么？

生12：可设 ∠PAO=α，利用三角函数的知识来刻画面积S，当且仅当时，有Smin=4，此时对应直线的斜率为方程为x+2y-4= 0 ；

生13：他的方法很不错，中间我们还可以使用柯西不等式来求最值，即当且仅当时，有Smin=4笔者随后给出了如下变式题：

变式一、设直线l与x轴、y轴正半轴分别交于A、B两点，且直线l与单位圆相切于点P，求△AOB的面积S的最小值。

学生思考片刻后，笔者鼓励完成解题的学生在黑板上写出解答过程与大家共同分享，结果先后共有13位学生上台书写解答，最后笔者与学生共同梳理、比较、提炼，摘录如下：

法一：设直线Ax+By+C=0，

变式二、已知直线过点P(2,1)，且与x轴、y轴正半轴分别交于A、B两点，求的最值。（或变为求PA·PB的最值）

变式三、已知直线过点P(2,1)，且与x轴、y轴正半轴分别交于A、B两点，求OA+OB的最小值。

变式四、已知直线过点P(2,1)，且与x轴、y轴正半轴分别交于A、B两点，求OA2+OB2的最小值。

变式五、已知直线过点P(2,1)，且与x轴、y轴正半轴分别交于A、B两点，求△AOB的周长的最小值。

思考：在解题教学中，教师可在学生的最近思维发展区内设计问题，可尝试对来源于课本的习题进行改编，设计能引起学生积极思维的问题，让学生能“跳一跳够得着”，通过一题多解、一题多变进行不同方面、不同角度、不同层次的分析和探索，进而提高课堂效率，让学生在思考探究的过程中寻求各种解题途径，激发学习兴趣，使学生体验到成功的喜悦、增强自信心，也很好地培养了思维能力。同时注意解后对多种解法进行反思、评价、提炼，深入推进学生的思维活动，从而更好地提高思维层次。

三、在解题教学中引导学生养成解后反思的好习惯

波利亚在《怎样解题》中把解题过程概括为四个环节：审题——探究——表达——反思。但在很多师生的眼里，认为解题就是前面的三个环节：认真审题读懂题意，在大脑中检索、联想并设计解题思路，严谨规范地写出解答过程。尤其是学生，他们解题的兴奋点大多在结果上，一旦解出正确结果，喜上眉梢，如释重负，却忽视了解后的反思。

案例三、已知函数f(x)= s in3x+ 2 015x， 对任意的m∈[- 2 ,2]，都有不等式f(mx- 2 )+f(x)＜ 0 恒成立，则x的取值范围是________________

反思知识点：单调性、奇偶性、导数、“一次”不等式恒成立；

反思易错点：关于m的“一次”不等式恒成立问题；

反思解题的实质：想办法“脱去”对应法则f这件“外衣”；反思用同样的方法做过的题目（学生举例说明）

2.设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)=x2，若对任意的x∈[t,t+2 ]，不等式f(x+t) ≥ 2f(x)恒成立，则实数t的取值范围是

笔者随后给出如下习题，让学生思考与原题的区别：

实质：本题是“穿上”对应法则f这件“外衣”。

在解题教学中，教师可以从以下几个方面引导学生进行反思：解决问题的关键是什么？如何进行突破？还有其他的解法吗？解决这类问题的最佳方法是什么？这种思路为什么行不通？本题能否进行变式、推广和延伸？

问题是数学的起点，解是问题的终点，数学思维活动是连接问题和解题的纽带和桥梁。在解题教学中，在注重夯实基础的前提下，倡导理性思维、强化探究变式与拓展，变教师的主讲为主导、变教师的精辟分析为学生的思索感悟，要能够充分放手让学生参与自主探究、合作交流活动，使学生在成功与失败、正确与错误的矛盾冲突中层层深入，激起学生思维碰撞的火花。