转弯时液罐车质心变化对侧倾稳定性影响研究

李刚炎，梁浩彤，范 李,2，龙 祥

(1. 武汉理工大学 机电工程学院，湖北 武汉 430070； 2. 空军空降兵学院 六系，广西 桂林 541003)

0 引 言

对于液罐车，若罐中装满液体，则不存在质心的变化，对横向稳定性的影响与普通货车相似；但实际中液罐不会装满液体，此时在重力及离心力的作用下，液体的质心会发生动态变化，从而导致整车质心的动态变化，更易使液罐车发生失稳。

国内外对包括液罐车在内的车辆横向稳定性进行了研究。M.Y.YOON等[1]提出了基于相平面的控制方法，提高了车辆的横向稳定性；范李等[2]基于横向力系数对车辆转弯时的防侧翻车速进行了计算研究，从而判断车辆的横向稳定性；V. BOLLAPRAGADA等[3]研究驾驶员输入对侧翻的敏感性，从而及时控制防止侧翻；李显生等[4]提出了一种基于遗传算法的液罐车侧倾稳定性模型，得出液罐车的最优尺寸；G. POPOV等[5]对基于液体质心高度的侧倾力矩进行研究，研究表明改善侧倾力矩有利于提高液罐车的侧倾稳定性。

以上研究中鲜有考虑液罐中质心变化对侧倾稳定性的影响，也很少涉及质心变化对动力学模型的影响。将液罐截面近似为椭圆，分析液罐侧倾时的液体分布，从而得出液体质心位置，修正车辆三自由度模型；同时结合侧倾稳定性，推导出液罐车横向载荷转移率的计算模型，并进行了分析。

1 液罐车转弯时液体质心计算模型

1.1 考虑超高的液罐车液体质心计算模型

在车辆开始转弯的时候，假设液罐中的液面为平面，那么其截面中的液面为一条直线，建立两个直角坐标系yoz，y′o′z′，其中yoz的原点为侧倾中心，y′o′z′的原点为液罐椭圆的中心，如图1。

图1中，a为椭圆长轴长度,m;b为短轴长度，m；ms为空载时液罐车的簧载中心，kg；mc是液罐中液体的质心，kg；z=ky+c为液面在yoz坐标系的直线，α为直线与液平面的夹角，rad；G为液面某点液体的重量，N；F为该点处的离心力，N；T为液面反力，N；θ为路面超高角，rad；i为路面超高(i=tanθ≈θ)；φ为侧倾角，rad；Fzr，Fzl分别为外侧、内侧车轮的垂直载荷，N。

图1 液罐车转弯时的后视图Fig. 1 Back view of tank truck under turning condition

1.1.1 考虑超高的液罐车液面直线计算模型

1)直线斜率

对直线上某一点液体做受力分析，可知其受重力G，离心力F，液面反力T，如图1[6]。

根据力的平衡定理，可以知道：

(1)

即k=tanα。而在坐标系y′o′z′中，根据几何关系可知，k′=tan(α+φ-θ)。

2)直线截距

在文中，液体的充液量用充液比衡量，定义液体的充液比为液体体积与罐内总容积的比λ=V/Lπab=SL/Lπab=S/πab，其中S是截面的面积。当充液比在30%～75%时液罐车转弯时液体质心的转移量较大[7]，对汽车发生侧倾的影响较大，故取充液比约60%进行研究。此时，液面直线相对坐标系y′o′z′的位置有下列两种可能，如图2。

图2 液面直线相对于坐标系的位置Fig. 2 Position of the liquid line relative to the coordinate system

根据几何学，可以求出两种情况截面的面积：

(2)

其中(y1′,z1′),(y2′,z2′)是直线与椭圆的交点，且:

(3)

(4)

使Sj=S，可以得出第j种情况下ci′与侧倾角的关系，j=a，b。

1.1.2 考虑超高的液罐车液体质心计算模型

假设液罐中液体均匀，密度保持定值，液体的质心即为液体横截面的形心。通常利用液体截面面积的静力矩的方法求形心，如式(5)：

(5)

根据图2可以得到：

(6)

(y1′,z1′)是质心在y′o′z′上的坐标，在推导模型时，将该点以坐标形式表示在yoz上，如图3。

图3 液罐车转弯时液体质心坐标Fig. 3 Liquid centroid coordinate of tank truck when turning

根据图3中的几何关系，可以得出：

(7)

因为φ和θ较小，所以(φ-θ)也很小，故tan(φ-θ)≈(φ-θ)，cos(φ-θ)≈1。从而可以得出液体质心的计算模型：

(8)

1.2 考虑坡度的液罐车液体质心计算模型

在车辆开始上坡的时候，假设速度保持恒定，则罐中直线为水平线，形成一个直角梯形，建立直角坐标系xoz，xoz的原点为侧倾中心，如图4。

图4中，mc′是液罐中液体的质心，kg；θ′为路面坡度角，rad；i′为路面超高(i′=tanθ′≈θ′)；L为液罐长度，m；c1，c2分别为液体截面直角梯形的上底和下底，m；x′为质心距下底距离，m；z′为质心距直角边距离，m；s为罐底距侧倾中心距离，m。

图4 液罐车上坡时的右视图Fig. 4 Right view of tank truck when ascenting

根据图4中的几何关系可知：

c1+Ltanθ′=c2

(9)

直角梯形的面积为

(10)

联立式(9)、式(10)可以得到c1，c2的计算公式：

(11)

根据梯形求质心公式求出侧面质心位置如下：

(12)

根据图1，可以求出质心在x轴计算公式：

(13)

当路面没有纵向坡度时，质心距罐底的距离为λb；当有纵向坡度时，由于i′很小，故式(12)中的z′与λb非常接近，由此可知纵向坡度主要影响车辆的纵向运动，对侧向运动影响很小，故在该种情况下，笔者假设z′=λb。

2 液罐车横向载荷转移率计算模型

车辆转向行驶会受到很多力。其中离心力会使车辆发生侧倾。假定，车辆关于x-z平面对称，整车质量分为悬挂质量和非悬挂质量两部分，忽略考虑工程实际空气阻力、轮胎滚动阻力和非悬挂质量的侧倾效应，各轮胎与地面的接触条件相同。

2.1 考虑液体质心变化的液罐车动力学模型

1) 车辆的三自由度模型

(14)

其中

(15)

(16)

式中：F1、F2、F3、F4分别为车辆前左轮、前右轮、后左轮、后右轮所受的侧向力，N；v为车辆速度，m/s；lf、lr分别为车辆质心与前轴、后轴的距离，m；δf为前轮转向角，rad；β为质心侧偏角，rad；ωr为横摆角速度，rad；Ф为侧倾角，rad；αf、αr分别为前、后轮的侧偏角，rad；h为车辆质心到侧倾中心的距离，m；ms为悬架质量，kg。

2)液体质心变化时车辆三自由度动力学模型

(17)

2.2 液体质心变化时横向载荷转移率计算模型

车辆发生侧倾时，左右车轮所承受的载荷会发生变化，其中一侧载荷增加，另一侧载荷减少，该现象称为由侧倾引起的横向载荷转移。采用横向载荷转移率(LTR)衡量侧翻稳定性，定义为[9]：

(18)

式中：Fzr，Fzl分别为外、内侧车轮的垂直载荷，N；LTR在[-1，1]范围内变化。当LTR=0时，左右车轮的载荷相等，车辆正常行驶，不发生侧倾；当LTR等于1或者-1时，车辆一侧的轮胎载荷为零，即一侧轮胎离地，表明车辆可能发生侧翻[10]。

对于普通客车，根据图1，可得汽车对位于地面上的后轮轮距中心点的力矩平衡方程为

msg[hsin(φ-θ)-esinθ]+msay[hcos(φ-θ)+

(19)

联立式(18)、式(19)计算出车辆横向载荷转移率：

(20)

对于液罐车来说，液体质心的变化会引起横向载荷转移的变化。根据图1、图3，汽车对位于地面上的轮距中心点的力矩平衡方程为

msg[hsin(φ-θ)-esinθ]+mcg(yc-esinθ)+msay

(21)

联立式(18)、式(21)可以计算出液体质心变化影响下的横向载荷转移率：

(22)

3 液罐车液体质心计算模型验证

3.1 仿真分析方法与工程对象

为验证液罐车液体质心计算模型的正确性，使用MATLAB/Simulink软件对式(17)进行仿真，并与硬件在环仿真平台的结果进行对比。硬件在环仿真平台将计算机控制软件与执行机构硬件基于一体，形成半实物仿真平台，如图5。取路面摩擦系数μ=0.7，i=0.02，i′=0.04，转向角δ=0.2 rad，速度v=30 km/h。选择某型号液罐车的参数如表1。

图5 液罐商用车硬件在环仿真平台Fig. 5 Hardware of tank commercial vehicle on the loop simulation platform

参数数值总质量m/kg7 410簧载质量ms/kg7 000前轴到质心的距离lf/m1.9后轴到质心的距离lr/m1.8簧载质心到侧倾中心距离h/m1.67侧倾中心到地面的距离e/m0.4侧倾中心到液罐罐底的距离s/m0.5液罐椭圆长轴a/m2.1液罐椭圆短轴b/m1.3液罐椭圆中心到侧倾中心距离H/m2.35前轮有效侧偏刚度Kf/(N·s·rad-1)360 000后轮有效侧偏刚度Kr/(N·s·rad-1)200 000悬架侧倾阻尼系数Cφ/(N·m·s·rad-1)46 300悬架侧倾角刚度Kφ/( N·m·rad-1)573 000后轴两个车轮距离t/m1.86绕x轴转动惯量Ix/(kg·m2)30 000绕z轴转动惯量Iz/(kg·m2)30 000

3.2 模型验证

对液体质心影响下的车辆三自由度动力学模型进行仿真，借此验证液体质心计算模型。质心侧偏角、横摆角速度、侧倾角仿真结果如图6。

图6 液罐车状态参数Simulink与Truckmaker仿真对比Fig. 6 Simulation comparison about state parameters of tank truck with Simulink and Truckmaker

从图6中可以看出，稳定后的质心侧偏角相差约0.002 rad，横摆角速度相差约0.014 rad/s，侧倾角相差约0.004 rad，试验结果与仿真结果基本吻合。因此，所建立的模型是可用的。

4 转弯工况的影响分析

4.1 转弯工况对液体质心的影响分析

采用表1数据，以前轮转向角和速度为变量，采用单一变量进行分析。速度分别为v=30 km/h，v=40 km/h，v=50 km/h，前轮转向角为延迟阶跃输入，时间为1 s，角度分别为δ=0.2 rad，δ=0.3 rad，δ=0.4 rad，采用MATLAB/Simulink软件对质心(yc,zc)进行仿真(质心xc保持不变)。以前轮转向角为变量时，速度保持v=30 km/h不变，以速度为变量时，前轮转向角保持δ=0.2 rad不变。结果如图7、图8。

从图7可以看出，前轮转向角不变，速度越大，坐标yc、zc越大；从图8可以看出，速度不变，前轮转向角越大，坐标yc、zc越大。

将图7、图8与图6(c)进行比较发现(yc,zc)的变化趋势与侧倾角相似，在开始转向后1 s左右达到最大值，之后开始震荡，在开始转向后4 s左右达到稳定值。转弯时，因前轮转向角突然变化，车辆发生侧倾，使液体向外侧偏移，产生一个附加的侧倾力矩，此时，侧倾角和液体质心变化都达到最大。

图7 不同速度下质心坐标的变化情况Fig. 7 Change of centroid coordinate under different speeds

图8 不同前轮转向角下质心坐标的变化情况Fig. 8 Change of centroid coordinate under different front wheel steering angles

4.2 转弯工况对横向载荷转移率的影响分析

根据质心的变化，采用MATLAB/Simulink软件对横向载荷转移率公式(20)和式(22)进行仿真，速度分别为v=30 km/h，v=40 km/h，v=50 km/h，前轮转向角分别为δ=0.2 rad，δ=0.3 rad，δ=0.35 rad。以前轮转向角为变量时，速度保持v=30 km/h不变，以速度为变量时，前轮转向角保持δ=0.2 rad不变。仿真结果如图9。

从图9(a)中可以看出，在转弯情况下，前轮转向角越大，LTR越大。对于该车型，当前轮转向角为0.35 rad(20°)，有一段时间LTR=1，说明此时已经有侧翻的危险，而对于没有液罐的车辆来说，当前轮转向角为0.35 rad(20°)时，LTR<1，此时没有侧翻的危险。从图9(b)中可以看出，在转弯情况下，速度越大，LTR越大。通过单一变量下有液罐与无液罐的LTR对比，说明在同样的速度下，有液罐液体质心的变化，车辆更容易发生侧翻。在转向的瞬间，LTR达到0.43左右，说明此时整车有一个横向载荷转移，而前轮转向角越大，速度越大，达到的值越大。

图9 不同变量下下LTR随时间的变化情况Fig. 9 Variation of LTR changing with time under different variables

将图9与图5(c)进行比较可发现LTR的变化趋势与侧倾角相似，在开始转向之后1 s左右达到最大值，经过震荡，在开始转向之后4 s左右达到稳定值。转弯时，附加的侧倾力矩在影响质心变化的同时，也会影响LTR，从而影响稳定性。

完成以上工作后，选择速度v=30 km/h，前轮转向角0.05～0.35 rad进行仿真，结果如图10。

从图10中可以看出，该速度下，转向角约为0.333 rad(19.08°)时，LTR过渡到1。故该速度下，临界转向角为0.333 rad。通过此方法，分别可以得出速度为60、55、50、45、40、35、25 km/h的临界转向角分别为0.196、0.208、0.231、0.261、0.298、0.374、0.424 rad。拟合出如图11所示曲线，曲线下方即为安全行驶车速以及前轮转向角。

图10 不同前轮转向角下LTR随时间的变化情况Fig. 10 Variation of LTR changing with time under different front wheel steering angles

图11 速度-前轮转向角临界关系曲线Fig. 11 Critical curve of velocity-front wheel steering angle

5 结 语

将液罐截面假设为椭圆，视液面为一条直线，根据充液比，推导出转弯工况时液罐车中液体的质心位置，根据该位置建立了质心影响下的液罐车动力学模型，同时得到了考虑液体质心变化的横向载荷转移率的计算公式。通过对公式进行分析可知，纵向坡度对液体侧向运动的影响较小。

对建立的液罐车动力学模型的Simulink仿真结果与Trucksim仿真结果对比，说明该模型能够较好的反映液罐车的运动状态，可为研究液罐车提供模型参考。

通过对液体质心以及横向载荷转移率的仿真可知，质心以及LTR的变化趋势与侧倾角的变化趋势相似，且速度越大，前轮转向角越大，质心的偏移越大，LTR越大，越容易发生侧翻。

通过对速度与前轮转向角关系进行分析，得出在该车型下，速度与前轮转向角临界关系曲线，当车辆速度以及前轮转向角在该曲线下方时，车辆是安全的，不会发生侧翻。