基于解析方法的半刚性基层沥青路面裂缝反射问题研究

高嫄嫄， 王维玉， 赵庆新

(1. 燕山大学 建筑工程与力学学院，河北 秦皇岛 066004； 2. 河北省建筑科学研究院，河北 石家庄 050051)

0 引 言

半刚性基层沥青路面以其良好的刚度，强度和稳定性成为目前国内广泛采用的一种路面结构形式。但是由于半刚性基层材料的特性，由温缩和干缩所引起的半刚性基层开裂且裂缝向沥青面层反射是这类路面结构的主要破坏形式之一。当裂缝不断扩展而贯穿整个路面结构，路表水进入到对水更为敏感的土基时将形成更为严重的路面结构性破坏，因此，成诸多学者关注的热点问题。

针对沥青路面半刚性基层裂缝反射机理的研究方法主要包括室内试验[1-3]、室外足尺试验[4-5]和理论建模模拟等[6-7]。徐华等利用改进的Williams级数，结合广义参数有限元法和常规等参元法等方法，对反射裂缝扩展过程中应力强度因子的变化规律进行研究[8]。王雪莲等采用，对半刚性基层复合路面结构裂缝尖端应力场进行研究，分析裂缝扩展机理以影响裂缝扩展速率的因素[9]。郑大为等应用有限差分数值软件FLAC3D数值模拟基层水泥含量对反射裂缝影响[10]。元松等基于疲劳断裂理论，应用ANSYS有限元软件研究路面结构层各参数、层间接触状态和荷载的作用方式等对沥青路面反射裂缝尖端应力强度因子变化规律的影响[11]。对于半刚性基层沥青路面裂缝反射机理的研究虽然开展了大量的工作，但仍没能完全解决这一问题。开展基于解析方法的半刚性基层开裂沥青路面的力学性能研究，解析解可更直接的体现裂缝扩展控制变量与路面各参数间的量化关系。

以断裂力学理论为基础，建立半刚性基层含裂缝的沥青路面理论分析模型，根据线弹性叠加理论将问题进行简化，并在此基础上经过公式推导求得路面结构内任一点位移、应力及应力强度因子的解析表达式和数值解。分析裂缝在半刚性基层中出现的位置、车辆荷载的位置及各结构层模量对裂缝扩展的影响。为半刚性基层沥青路面结构的设计和施工提供理论参考依据。

1 模型的建立

将半刚性基层沥青路面结构简化为弹性层状体，计算模型如图1。模型中x为路面深度方向，y为路面纵向方向，h0为沥青面层的厚度，h1为半刚性基层的厚度，Em(m=0,1,2)分别为沥青面层、半刚性基层和土基弹性模量，μm(m=0,1,2)为路面各结构层的泊松比，P(y)为车辆荷载的线分布函数，L为荷载作用的范围，l为荷载中心到裂缝的水平距离，a，b分别为裂缝两端点到路表面的距离。当a=h0时，裂缝出现在半刚性基层顶部。

图1 含裂缝半刚性基层沥青路面结构理论分析模型Fig. 1 Theoretical analysis model of semi-rigid base asphalt pavement structure with cracks

由线弹性叠加原理，为简化计算，将图1模型简化为3个子问题叠加的形式，如图2、图3和图4。图2模型为车辆荷载作用下的沥青路面结构。图3模型为半刚性基层含有裂缝且裂缝表面作用有对称荷载的沥青路面结构。图4为半刚性基层含有裂缝且裂缝表面作用有反对称荷载的沥青路面结构。

图2 子模型1Fig. 2 Sub-model 1

图3 子模型2Fig. 3 Sub-model 2

图4 子模型3Fig. 4 Sub-model 3

由于子问题2与子问题3的求解过程相类似，子问题1的求解过程相对简单，所以这里不做详细介绍。由线弹性叠加理论，子问题2、3中的p1(x)和q1(x)可通过子问题1的求解得到，可表示为：

(1)

笔者将着重论述子问题2的求解过程。

子问题2(图3模型)的边界条件如下：

σxx0(0,y)=0,-∞

(2)

σxy0(0,y)=0,-∞

(3)

σxy0(x,0)=0,0

(4)

v0(x,0)=0,0

(5)

σxy1(x,0)=0,h0

(6)

v1(x,0)=0,h0

(7)

σyy2(x,0)=p1(x),a

(8)

σxy2(x,0)=0,h0+h1

(9)

v2(x,0)=0,h0+h1

(10)

σxx2→0,σyy2→0,σxy2→0,y→∞,x→∞

(11)

u0(h0,y)=u1(h0,y),-∞

(12)

v0(h0,y)=v1(h0,y),-∞

(13)

σxx0(h0,y)=σxx1(h0,y),-∞

(14)

σxy0(h0,y)=σxy1(h0,y),-∞

(15)

u1(h0+h1,y)=u2(h0+h1,y),-∞

(16)

v1(h0+h1,y)=v2(h0+h1,y),-∞

(17)

σxx1(h0+h1,y)=σxx2(h0+h1,y),-∞

(18)

σxy1(h0+h1,y)=σxy2(h0+h1,y),-∞

(19)

2 子问题2的求解

平面问题位移解法控制方程可统一表示为[12]：

(20)

(21)

式中：对于平面应力问题，k=(3-μ)/(1+μ)，对于平面应变问题，k=3-4μ，在子问题2中，k=3-4μ；u，v分别为沿x和y轴方向的位移。

由胡克定律，应力与位移可表示为：

(22)

(23)

(24)

式中：G为剪切模量。

分别对位移控制方程式(20)，(21)做关于x和y的傅里叶变换，将偏微分方程组转化为常微分方程组，解常微分方程组可以得到位移um和vm的表达式为：

(25)

e-ηx[ηAm3+(ηx-km)Am4]}sin(ηy)dη+

(26)

式中：Bm3和Bm4为变量ξ的函数；Am1，Am2，Am3和Am4为变量η的函数；m=0,1,2。

由胡克定律，将式(25)和(26)代入到式(22)～(24)中，可以得到应力表示：

e-ηx[-2ηAm3+(km-1-2ηx)Am4]}cos(ηy)dη+

|ξ|(km2-4km+3)Bm4]dξ

(27)

e-ηx[2ηAm3-(km+3-2ηx)Am4]}cos(ηy)dη+

(28)

e-ηx[-2ηAm3+(km+1-2ηx)Am4]}sin(ηy)dη-

(29)

因计算模型各层中μm的取值相差不大，对计算结果精度的影响不大，所以取μ0=μ1=μ2=μ，即k0=k1=k2=k。

为推导公式方便，引入位错密度函数[13]，其定义是为：

(30)

式中：g1(x)=0,h0

未知函数Am1、Am2、Am3、Am4、Bm3和Bm4可用位错密度函数表示。

将应力与位移的表达式代入到边界条件式(6)、(7)、(9)、(10) 和 (11)中，可得到：

B01=B02=B23=B24=0

(31)

A21=A22=0

(32)

根据位错密度函数的定义式，将应力表达式带入到边界条件式(6)中，经过整理可以得到：

(33)

(34)

将位移及应力表达式带入到边界条件(2)～(3)和(12)～(19)，分别对等式两边进行傅里叶积分逆变换并应用留数定理计算复杂积分，可以得到：

2ηA01+(k-1)A02-2ηA03+(k-1)A04=0

(35)

-2ηA01-(k+1)A02-2ηA03+(k+1)A04=0

(36)

eηh0(A01+A02h0)+e-ηh0(A03+A04h0)-

eηh0(A11+A12h0)-e-ηh0(A13+A14h0)=

(37)

(38)

G0{eηh0[2ηA11+(k-1+2ηh0)A12]+

e-ηh0[-2ηA13+(k-1-2ηh0)A14]}-

G1{eηh0[2ηA21+(k-1+2ηh0)A22]+

e-ηh0[-2ηA23+(k-1-2ηh0)A24]}=

(39)

G0{eηh0[-2ηA01-(k+1+2ηh0)A02]+

e-ηh0[-2ηA03+(k+1-2ηh0)A04]}-

G1{eηh0[-2ηA11-(k+1+2ηh0)A12]+

e-ηh0[-2ηA13+(k+1-2ηh0)A14]}=

(40)

eη(h0+h1)[A11+(h0+h1)A12]+e-η(h0+h1)[A13+(h0+h1)A14]-e-η(h0+h1)[A23+(h0+h1)A24]=

(41)

-eη(h0+h1){ηA11+[η(h0+h1)+k]A12}+

e-η(h0+h1){ηA13+[η(h0+h1)-k]A14}-

e-η(h0+h1){ηA23+[η(h0+h1)-k]A24}=

(42)

G1eη(h0+h1){2ηA11+[k-1+2η(h0+h1)]A12}+

G1e-η(h0+h1){-2ηA13+[k-1-2η(h0+h1)A14]}-

G2e-η(h0+h1){-2ηA23+[k-1-2η(h0+h1)]A24}=

(43)

(44)

式中：F11(η,t)～F18(η,t)为η,t的函数。

解由式(35)～(44)组成的线性方程组，可得到Am1、Am2、Am3、Am4、Bm3和Bm4关于g1(x)的具体表达式。

将Am1、Am2、Am3、Am4、Bm3和Bm4带入到边界条件式(8)中，经过整理化简可得到：

(45)

(46)

(47)

式中：ωj为权函数，ωj=π/(n-1),j=2,…,n-1，ω1=ωn=π/2(n-1)；rj=cos((j-1)π/(n-1)),j=1,…,n；si=cos((2i-1)π/(2n-1)),i=1,…,n-1。

由位错密度函数的性质，对于平面内部含有裂缝的问题可以得到补充方程：

(48)

求解线性方程组(47)和(48)可以得到问题的数值解。

由应力强度因子的定义式[13]：

(49)

(50)

经过整理可以得到：

(51)

(52)

子问题3与子问题2的求解过程相类似，其应力强度因子定义式为：

(53)

(54)

3 计算实例分析

为了分析影响裂缝在半刚性基层中扩展的主要因素，以实际沥青路面为例，应用本文前面介绍的公式推导过程和奇异积分数值求解方法，计算裂缝尖端应力强度因子的数值解。图1为沥青路面模型，各参数选取如下：h0=0.25 m，h1=0.5 m，k=1.6，L=0.15 m，P(y)=0.7 MPa，E0=1500 MPa，E1=2 000 MPa，E2=50 MPa，裂缝的长度d=b-a=0.01 m。笔者重点研究了裂缝向沥青面层扩展的规律，所以只对裂缝尖端a的应力强度因子值进行了讨论。对比分析了裂缝在基层中出现的位置、车辆荷载与裂缝的相对位置及路面结构层模量对裂缝尖端应力强度因子计算结果的影响，计算结果如图5～图10。

图5 不同裂缝位置及不同荷载位置应力强度因子KIa计算结果Fig. 5 Calculation results of stress intensity factor KIa with differentvcrack locations and different load positions

图6 不同裂缝位置及不同荷载位置应力强度因子KIIa计算结果Fig. 6 Calculation results of stress intensity factor KIIa with different crack locations and different load positions

图7 不同沥青面层模量及不同裂缝位置应力强度因子KIa计算结果Fig. 7 Calculation results of stress intensity factor KIa with different asphalt surface modulus and different crack locations

图8 不同沥青面层模量及不同裂缝位置应力强度因子KIIa计算结果Fig. 8 Calculation results of stress intensity factor KIIa with different asphalt surface modulus and different crack locations

图9 不同半刚性基层模量及不同裂缝位置应力强度因子KIa计算结果Fig. 9 Calculation results of stress intensity factor KIa with different semi-rigid base modulus and different crack locations

图10 不同半刚性基层模量及不同裂缝位置应力强度因子KIIa计算结果Fig. 10 Calculation results of stress intensity factor KIIa with different semi-rigid base modulus and different crack locations

当应力强度因子KIa为负值时说明裂缝尖端作用有压应力，这对于阻止裂缝扩展是有利，所以本文侧重讨论KIa为正值得情况。而KIIa的正负只表明裂缝滑动趋势方向不同，对于裂缝扩展的效果都是一样的，所以对KIIa主要讨论其绝对值的大小。

图5为裂缝出现在不同位置及不同荷载位置下KIa的计算结果。由图5可知：当a-h0小于0.15 m时，KIa都为负值，在这里不做讨论；当a-h0大于0.2 m，KIa为正值，并且在荷载位置一定的情况下，KIa随着a-h0的增大而增大。所以裂缝出现的位置越靠近半刚性基层下部越容易出现张开型反射裂缝。

图6为裂缝出现在不同位置及不同荷载位置下KIIa的计算结果。由图6可知：裂缝与荷载中心的水平相对位置l小于0.3 m且荷载位置一定时，KIIa值随着a-h0增大而增大；当l大于0.3 m时，这种变化趋势不再明显；当a-h0为定值，l在0.2 ～0.3 m时，KIIa出现最大值，这也是滑开型裂缝是最不利的荷载位置。

图7和图8分别为沥青面层弹性模量在1 200～1 600 MPa范围内变化时KIa和KIIa的计算结果。图7中曲线KIa>0的部分和图8中的几条曲线都几乎重叠在一起，说明通过改变沥青面层的弹性模量来抑制裂缝扩展是不可行的。

图9和图10分别为在最不利荷载位置(即l=0 m和l=0.3 m)下且半刚性基层模量在1 200 MPa～2 000 MPa范围内变化时KIa和KIIa的计算结果。对比图9中几条曲线KIa大于0的部分和图10的几条曲线，KIa和KIIa都随着半刚性基层模量的减小而减小，所以可以考虑通过降低半刚性基层的弹性模量来减缓或抑制裂缝向面层的反射。

5 结 论

以断裂力学理论为基础，建立含裂纹半刚性基层沥青路面理论分析模型。通过公式推导、数值计算得到含裂纹半刚性基层沥青路面内任一点的位移、应力及应力强度因子的解析表达式及其数值解。从实例的计算结果可知：

1)从半刚性基层向沥青面层扩展的裂缝主要为滑开型裂缝，荷载中心到裂缝的水平距离在0.2～0.3 m时为最不利荷载位置。

2)改变沥青面层弹性模量对抑制基层中裂缝的扩展作用不大。

3)降低半刚性基层模量值可以减小裂缝尖端应力强度因子值、可以抑制或减缓基层中裂缝的扩展。