闭区间套定理在数学教学中的一个有趣应用

摘 要：实数集的不可数性在数学分析、实分析等课程中是一非常基本且重要的结论。传统的是利用对角线法证明（0，1）开区间中所有实数是不可数的，从而证明全体实数集的不可数性。文章主要应用实数完备性的六个等价命题之一——闭区间套定理，巧妙地证明了实数集的不可数性，该结论将会激发学生对闭区间套定理的学习兴趣，并有助于学生对闭区间套定理的理解和掌握。

关键词：闭区间套定理；实数集；不可数

众所周知且容易证明，有理数集是可数的。自然的一个猜想就是，任何无限集合都是可数的。但是事实并非如此。德国数学家、集合论的创始人康托有一个极有意义的发现，就是全体实数集（有理数和无理数）是不可数的。也就是说，全体实数与整数或有理数相比有一个根本的不同。同样是无限集，但实数集属于更高一级类型的无限。为人们所广泛熟悉的连续统，就是实数集的基数（粗略地说，即实数集元素的个数）。对于这个结论的其中一个应用就是证明了实数集中除了代数数（任何整系数多项式的复根）还存在超越数（不是代数数的实数，如圆周率）；因为代数式是可数的，但是实数集不可数。

康托利用对角线方法最早证明了实数集的不可数性。主要思路如下：首先建立实数集与（0，1）开区间的对等性（即找到两个集合之间一个一一映射）；其次，利用十进制法表示（0，1）开区间中所有的实数，如果所有这些实数集可数，它们就与正整数集对等，换句话说，它们就可以排列成一无穷序列。最后，也是最巧妙的部分，就是通过对角线方法构造一个（0，1）开区间中一个新的实数，但是我们能说明这个新的实数不属于这个无穷序列。这个矛盾就证明了实数集无法排列成一无穷序列，也就是说，实数集是不可数的。

虽然康托的证明非常经典，但是这个证明涉及到十进制表示法以及新的实数的构造，对于初学者并不容易掌握这个证明。很自然的问题是，是否存在对角线方法之外的而且更容易为学生理解的证明？文章将尝试应用闭区间套定理证来明实数集的不可数性。闭区间套定理是数学分析中一个重要定理，也是实数完备性的六个等价命题之一。但同时也是数学分析教学过程中的难点之一。其中一个原因，就是闭区间套定理相关的应用以及练习较少（事实上该定理的应用非常广泛）。我们所做的尝试，一面能帮助学生如何构造闭区间套从而学会应用闭区间套定理，另一面这个证明充满趣味，将会激发学生对闭区间套定理的学习兴趣，最终有助于学生对闭区间套定理的理解和掌握。

一、主要结论

首先，让我们来回顾闭区间套定义及闭区间套定理。

定义2.1（[1]）设闭区间列{[an，bn]}具有如下性质：

（1）[an，bn][an+1，bn+1]，n=1，2，L；

（2）limn→∞（bn-an）=0。

则称{[an，bn]}为闭区间套。

定理2.2（[1]）若{[an，bn]}是一闭区间套，则在实数系中存在唯一的一点ξ，使得ξ[an，bn]，n=1，2，L即an≤ξ≤bn，n=1，2，L。

以下例子说明闭区间套定理中闭区间不能减弱为开区间，否则结论可能不成立。

例2.3 开区间列{（0，1/n）}是一区间套且满足limn→∞（1/n-0）=0，但不存在实数系中一点ξ满足ξ（0，1/n），n=1，2，L。

下面给出可数集和不可数集的定义。

定义2.4（[2]）凡和正整数集对等（两集合之间存在一一映射）的集合都称为可数集合。

定義2.5（[2]）不是可数集的无限集合称为不可数集。

下面我们证明文章的主要结论。

定理2.6 实数集是不可数集。

证：（反证法）假设实数集不是不可数集，则实数集必为可数集。由定义2.4知，实数集与正整数集对等，则实数集可排列成一个无穷序列，因此不失一般性，我们不妨设实数集为A={a1，a2，L anL}。现在我们在[0，1]中构造闭区间套。

第一步，将[0，1]分成三等分，即[0，1/3]，[1/3，2/3]，[2/3，1]。显然对于a1而言，至多同时属于上述两个闭区间，则我们可取得一闭区间不会包含a1，且记该闭区间为I1，长度为1/3。

第二步，将I1同样分成三等分。（例如若I1=[1/3，2/3]，则三等分之后得到三个闭区间为[1/3，4/9]，[4/9，5/9]，[5/9，2/3]）显然对于a2而言，至多同时属于两个闭区间，则我们可取得一闭区间不会包含a2，记该闭区间为I2，长度为1/9，且满足I2I1。

延续这个方式下去，我们可得到一列闭区间列{In}满足以下性质：

（1）InIn+1，n=1，2，L，

（2）In的区间长度为1/2n，n=1，2，L，

（3）an In，n=1，2，L。

由（1）和（2）可知，{In}形成一闭区间套。则有闭区间套定理知，在实数集中存在一点ξA，满足ξIn≥1In。另一方面，因ξA，故可设ξ=ak，其中k为正整数。由（3）知，ξ=ak Ik，进而ξ In≥1In。矛盾！这个证明了实数集不能排列成一个无穷序列，故实数集是不可数的。证明完毕！

推论2.7 无理数是不可数集。

证：（反证法）假设结论不成立，即无理数集是可数集。众所周知，有理数集是可数集。因为可数个可数集的并仍旧是可数集[2]，所以实数集作为有理数和无理数的并是可数的，与定理2.6矛盾。证明完毕！

二、结语

闭区间套定理固然是教学难点之一，初学者亦很难构造闭区间套来应用该定理。但是笔者认为，只要在教学过程中，多穿插一些有趣的应用，不仅能培养学生的创造力和分析思维，同时也能激发其强烈的求知欲和学习兴趣。

参考文献

[1] 华东师范大学数学系.数学分析上[M].高等教育出版社，2010：1-344.

[2] 程其襄，张奠宇，魏国强，等.实变函数与泛函分析基础[M].高等教育出版社，2015：1-347.

作者简介：宣渭峰（1984.02- ），男，汉族，浙江宁波人，博士，讲师，研究方向：一般拓扑。