小学数学“深度实验”教学探索

江苏徐州市铜山区大许实验小学 解玲兰

“数学实验”是近年来广受师生欢迎的学习方式，这种方式融学生观察、操作、思考于一体，属于一种具身认知活动。美籍匈牙利数学家波利亚精辟指出：“数学既是一门系统性的演绎科学，又是一种实验性的归纳科学。”毋庸讳言，数学实验确实能让学生“做学玩一体”“学思创共生”。但在教学实践中，笔者发现，一些实验往往是蜻蜓点水、浮光掠影，学生的数学实验呈现出一种浅层化、虚浮化、被动化状态。数学实验教学呼唤着一种深度探索。

一、深度实验：基于“兴趣”的追问

小学数学教师或许有这样的类似经历：低年级学生进入“数学实验室”往往兴趣很高，随着年级的升高，学生对数学实验没有了原先的惊奇、惊异，没有了原初的激情、欲望，他们往往对数学实验无动于衷。很多学生感受不到数学实验带给他们的乐趣，他们只会在教师指引下被动、按部就班地做着各种实验。这样的数学实验不能培育学生的主动探索与创造精神。

思考一：我们对实验功能是否理解到位？

数学实验不同于数学操作，数学操作是学生动手能力的表征与确证，而数学实验却不仅仅是学生的动手能力，更为重要的是学生的动脑思维能力。从这个意义上说，数学实验是一种“具身认知”。但在数学实验教学中，许多教师对数学实验的认知和数学实验的行为走入了误区，他们将“数学实验”等同于“数学操作”，于是乎，学生在数学实验的过程中，常常沦落为一个机械的“操作工”。比如，一位教师执教《圆锥的体积》，让学生用等底等高的圆柱和圆锥做实验。学生在教师的要求下，将圆锥灌满水，倒入等底等高的圆柱中，结果发现倒了3次。于是，教师总结数学结论：等底等高的圆柱是圆锥体积的3倍。请问，这样的数学操作能够看成是数学实验吗？学生在操作中只是一个木偶，他们只是机械地执行着教师的指令。比如，许多学生就纳闷：为什么就要选择等底等高的圆柱和圆锥，怎么就想到要用等底等高的圆柱圆锥来操作的呢？如果说操作是实验的外显形式，那么思想就是数学实验的灵魂。只有让学生在数学实验过程中不仅 “知其然”，而且“知其所以然”，才能引发学生真正的数学实验探究。

思考二：我们是否给予学生充足的实验时空？

数学实验应当是学生自主探究数学知识的过程。但在数学教学中，许多教师为了追求实验结果和实验效率，置学生实验探究、实验过程于不顾，匆忙推进实验进程，草草结束实验。其结果是教师对实验过程过度预设，甚至对实验过程前置告知。比如，一位教师教学《圆的周长》，让学生通过 “滚圆法”“绕圆法”测量出圆的周长，然后计算圆的周长和直径的比值。许多学生推导出圆周率是“二点九几”或“三点二几”，很少有接近“π”的。为此，教师只一句“你们刚才的实验有误差”，就将学生彼此间的实验差异抹杀。这不能不说教师扼杀了学生的实验兴趣，导致学生在以后的数学实验中，为了正确的结果而伪造数据。由于教师没有赋予学生数学实验的时空，让学生数学实验成为一种“走过场”。

思考三：我们的实验到底应让学生获得什么？

数学实验不应追求一步到位，不应只是让学生获得肤浅的操作经验，更应让学生积淀数学基本活动经验，形成数学思想方法。在一些教师的心中，数学实验只是获取数学知识的载体，只是获得数学知识的一种手段。其实，这样的数学实验观是片面的、肤浅的。数学实验应当让学生经历数学家当年研究的历程，应当让学生重蹈人类探索的关键步子，应当让学生重温蕴藏其中的数学背景、数学思想等。从这个意义上说，数学实验有着独特的育人价值。学生通过数学实验，不仅仅能够探究数学知识，更为重要的是能够形成丰富的探究经历、探究感受和探究体验。如果一位学生在数学实验过程中，能产生豁然开朗、怦然心动、柳暗花明的思考顿悟，能够获得思考的快乐、思维的提升，那么学生的数学实验就是丰实的、有效的。

因此，笔者认为，在数学实验过程中，教师要充分发掘数学实验的功能，发挥数学实验的功用，让学生的数学观察与数学操作共存、数学思考与数学操作交织，让学生群策群力。如此，就能让数学实验真正成为学生数学学习最重要的工具载体、价值载体。

二、深度实验：基于“意蕴”的考量

将数学实验放置到深度教学中思考，将数学实验放置到核心素养背景下来考量，将数学实验放置到高阶思维培育视角来审视，我们就会对数学实验产生深度追求。也就是数学实验应当是学生数学思想与实践的对接，是学生数学归纳与演绎的圆融，是学生数学思维与创造的共生。

意蕴一：数学实验深度是一种理解的深度

数学实验深度不仅仅是一种操作深度，即赋予学生充分的实验时空，更为重要的是数学实验是学生理解的深度，亦即思维的深度。传统的数学实验，往往注重外显的形式。笔者认为，深度实验更应关注学生数学认知结构的改善，数学思维方式的提升。数学是一门理性的学科，思维、理解是学生数学学习的关键词，数学实验只是学生诸多数学探究方式中的一种。在数学实验过程中，教师要自始至终关注学生的思维状态，主动跟进学生的思维、调整学生的思维。比如，教学《间隔排列》，教师在引导学生通过观察间隔排列现象、操作间隔排列学具后，要引导学生深度思考：为什么两端物体会比中间物体多一个？两端物体比中间物体多一个，多的是哪一个？如果两端物体不相同呢？如果物体以间隔排列的方式排成一个封闭图形呢？只有学生能够从数学现象过渡到数学知识的本质，学生的数学实验才是一种真正的数学实验，是一种有深度的数学实验。只有当学生获得了对数学知识的本质理解，学生在数学实验中才能游刃有余。否则，我们在数学实验中就会只获得数学实验的“形”，而没有获得数学实验的“神”。

意蕴二：数学实验深度是一种体验的深度

如上所述，学生的数学实验深度不仅仅是一种操作深度，更是一种理解深度。笔者认为，数学深度还是学生的一种感受深度、体验深度。在数学实验过程中，笔者经常发现一些学生的数学实验很肤浅，仅仅是囫囵吞枣、浮光掠影，没有获得对数学实验的感受、体验。进一步说，对于学生而言，数学实验不仅仅是掌握知识、获得思想方法，更为重要的是养成学生良好的思维品质，形成学生良好的心理品质，让学生爱上数学实验、乐于数学探究。数学实验是发展学生人格的不可或缺的载体。有时候，学校的数学实验只是将学生引入数学研究的大门，导引学生在课余、课后进一步展开深度研究。著名数学教育家玻利亚说：“在教一个科学的分支 （或一个理论、一个概念）时，我们应让孩子重蹈人类思想发展中那些最关键的步子。当然我们不应该让他们重蹈过去的无数个错误，而仅仅是重蹈关键性步子。”作为一名数学教师，要清楚地指示学生数学实验的关键步子在哪里。比如，教学《圆的面积》，一位教师首先让学生用数方格的方法探究圆和外切正方形的关系，在初步得出圆的面积是半径的平方的三倍多一些后，教师引导学生展开深度探究。学生先是将圆平均分割成8份，拼成一个近似的平行四边形；然后将圆平均分割成16份，拼成一个近似的平行四边形，不过这时的平行四边形已经比原先的平行四边形更“像”了；接着，教师又让学生将圆平均分割成32份、64份等。最后，教师借助多媒体课件，向学生直观展示“化圆为矩”的过程，学生深刻地感受、体验到“极限”思想。不仅如此，教师导引学生课后进一步探究：将圆转化成已经学习过的三角形、梯形等。让学生借助微信、QQ群进行交流。整个实验过程丰富、饱满，学生获得深刻的数学实验体验。

意蕴三：数学实验深度是一种创新的深度

数学实验是孕育学生数学创造的孵化器，学生的一个个“微创”就在深度实验中诞生。在数学深度实验过程中，学生会主动提出数学猜想，主动进行观察、思维、想象、推理，主动进行画图、测量、剪拼，不断形成新的思路。从这个意义上说，数学实验深度是一种创新的深度。比如教学《梯形的面积》，学生受三角形面积公式推导的启发，形成了多向思路。有学生在实验过程中将梯形转化成三角形，有学生将梯形转化成长方形，还有学生将梯形转化成平行四边形，等等。不同学生运用不同方法，推导出梯形面积，这是学生基于不同视角、不同经验形成的各具特色的探究。在这个过程中，学生是探究的主体，教师是引导的主体。师生之间互促、互进。教师在教的过程中关注学生的学，学生在学的过程中关注教师的教，只有教师和学生积极互动，才能让学生的数学实验形成创新思路。

三、深度实验：基于“过程”的实施

深度实验不仅体现为数学深度，更体现为学生深度。基于“过程”的实施，数学深度实验从原点开始，从学生出发，从体验落脚。显然，深度实验不同于浅层次实验，浅层实验是一种机械的学习方式，深度实验是学生能批判学习新事实、新思想，能主动进行迁移、决策和解决问题的实验。

1.深度实验，从思考的原点开始

著名物理学家杨振宁在接受记者采访时，曾将他的治学经验归结为一句话：站在问题开始的地方，而不要淹没在文献的海洋中。其实，数学实验何尝不是如此呢？传统的数学教学，教师往往参阅众家的实验设计，然后将各家的实验设计糅合，其结果是，照搬过来的实验设计不能激发学生数学学习的主动性，不能适应学生。其实，教师在进行实验设计时，更多的应该站在问题的源泉处，站在学生的具体学情处，只有这样，教师设计的数学实验才是有效的。

教学《分数乘分数》，许多教师根据“分数乘整数”“整数乘分数”的学习经验，直接让学生猜测“分数乘分数”的意义。学生也能够猜出“分数乘分数”表示“几分之几的几分之几是多少”，但在这里，学生更多的是一种模仿。

数学实验，应当将活生生的数学学习问题展示出来，让学生经历活生生的数学实验过程。在这个过程中，学生能够感悟到数学实验的创造性研究方法和独特的研究风格。学生的学习体验淋漓尽致。这种直面问题本身的数学实验，对学生而言，其意义是深远的。

2.深度实验，从学习的体验出发

体验是学生数学学习的一种常态，更是学生数学实验的一种常态。可以这样说，没有学生的体验，数学实验教学就是外在于学生的。只有学生真正经历了、感受了、体验了，数学实验才能达至一定的深度。只有经过学生的体验，所有外在的学习因素才能真正发挥作用，否则实验对学生而言就是虚幻的、没有生命力的。深度实验，必须从学生的体验出发。

因此，数学实验就必须让学生充分地经历，充分地感受，而不能为了教学效率让实验“行色匆匆”。有时候，一堂课的时间，学生实验体验不充分，教师就必须果断地延长，在下一节课继续探究。千万不能让数学实验快餐化、程式化。比如，教学《长方形的面积》，有教师在教学中只是简单地让学生用单位面积的小正方形学具去摆，当学生摆满后，教师就引导学生观察长方形的长、宽与小正方形个数的关系，进而直接归纳出长方形的面积计算公式。这样的数学实验，看似学生操作了、经历了，其实学生获得的数学体验非常肤浅，他们的数学认知因此也是过眼烟云。笔者在教学中，将这一实验分为三个层次：第一个层次，让学生用单位面积的小正方形去摆长方形，这个时候能够摆满，学生通过数，能够得出长方形的面积公式，初步让学生体验到长方形的面积就是长方形里面包含的单位小正方形学具的个数；第二个层次，笔者给出一个大一点的长方形，这个时候，单位面积的小正方形已经不够铺了，怎么办呢？这个环节对学生的触动是巨大的，学生经过交流，认为只要沿着长方形的长、宽铺，就可以推算出长方形内一共能铺多少个小正方形；第三个层次，出示一个空白的巨大的长方形，这个时候，小正方形已经不够铺长方形的长了，于是，学生就自然地建构出长方形的长、宽、面积与小正方形的个数之间的关系，想象出铺的画面，抽象出长方形的面积计算。这样的实验过程，学生的体验是深刻的。经过这样的深刻体验，学生建构长方形面积公式也就水到渠成。

数学深度实验源自学生的深度体验。在数学实验过程中，不论数学实验内容是什么，数学实验材料是怎样的，数学实验的外部刺激是什么，只要引发了学生的深度体验，数学实验就是有效的。否则，即使实验素材再丰富、实验设计再精致，也是水中花、镜中月。

3.深度实验，从自主的创新出发

著名教育心理学家奥苏贝尔说，“影响学习的唯一最重要的因素就是学生已经知道了什么，要探明这一点，并应据此进行教学。”数学深度实验，必须从学生的具体学情出发。在数学教学中，笔者发现，许多教师也研究学生，但他们研究的学生是“抽象的学生”，因而数学实验缺乏针对性、实效性。笔者认为，数学实验应当从学生的具体学情出发，研究具体学生、倾听具体学生、对话具体学生。只有这样，教师才能顺应学生的学情，引导学生的数学发现。

教学苏教版四年级下册《三角形的内角和》，对于不同的学生，教师要提出不同的实验要求。三角形内角和的探究，最为简单的是让学生直接测量，这一实验探究方式可以针对后进生；对于操作能力比较强的学生，教师要放手让他们折角，将三角形三个内角折在一起，形成一个平角；对于推理能力较强的学生，教师可以引导他们作辅助线，运用平行线、同位角、内错角等关系推导三角形的内角和，等等。甚至，教师可以启发、引导学生展开 “帕斯卡三角形内角和”的推理：任意两个完全相同的直角三角形都可以拼成长方形，长方形的内角和是180°，所以任意一个直角三角形的内角和是180°；任意一个锐角三角形、钝角三角形都可以过其中的一个顶点作垂线，分成两个直角三角形，所以任意一个锐角三角形和钝角三角形内角和是180°。这样的数学实验，充分兼顾到不同认知水平、认知状态的学生，让每一个学生都能以自己的方式进行自主探究。

基于“学生立场”设计数学实验，要改变教师主导的设计思维方式，真正从学生出发，基于学生视角去思考教学演绎、教学行走方式。在数学实验过程中，教师要瞄准学生的具体学情，基于学生的数学实验现实水平，基于学生的数学学习体验。只有这样，数学实验教学才能事半功倍，才能更好地为学生的数学学习服务。

深度实验不仅指向学生学习的深度，更指向教师教学的深度。数学实验同时建构师生的知识经验、思维方式、思维习惯、情感投入等诸多因素。在数学教学中，当教师深入解读教材，直面研究课题、直面具体学生时，当教师意识到他应该基于学生立场，从学生出发进行实验设计时，当学生的认知结构通过实验发生改变时，数学深度实验过程才真正发生。♪