数学文化“教与考”良性蝴蝶效应的若干思考

林锦莺

数学作为一种文化现象一直伴随在人们身边，也早已成为人们生活中的常识，而数学文化也一直都不是新鲜事物，只不过大家都视而不见，或浅尝辄止，令人欣慰的是目前中高考考试卷中出现许多与数学文化相关的试题，这促使我们去探寻什么是数学文化，通过数学文化的教学和考查，让它成为事物变化良性蝴蝶效应的初始条件，从而树立良好的数学文化教育理念，让学生了解数学历史，拓宽数学思维，感悟数学思想，提高数学素养，学会用理性的视角观察世界、解决生活中各种问题，本文将从数学文化的教学与考查出发，详细分析数学文化在这两个维度中所产生的良性蝴蝶效应，对如何更好地执行教学与考查进行深入探讨，进而希望达到提高学生数学素养的目的。

1数学文化的释义

数学是人类生产生活中智慧的结晶，美国数学家柯朗说：数学，作为人类智慧的一种表达形式，反映生动活泼的意念，深入细致的思考，以及完美和谐的愿望，它的基础是逻辑和直觉，分析和推理，共性和个性，恩格斯说：数学是研究数量关系和空间形式的一门科学[1].数学在生活中产生的巨大应用无所不在，著名数学家华罗庚在“大哉数学之为用”一文中精彩地叙述了数学的各种应用：宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁等各个方面，无处不有数学的重要贡献，人们承认数学的巨大应用价值，然而数学到底存不存在文化之说，许多人表示怀疑，什么是文化，笼统地说，文化是一种社会现象，是人们长期创造形成的产物，同时又是一种历史现象，是社会历史的积淀物，确切地说，文化是能够被传承的，世界的、国家的或民族的历史、地理、风土人情、传统习俗、生活方式、文学艺术、行为规范、思维方式、价值观念等，是人类之间进行交流的、普遍认可的一种能够传承的意识形态，数学的历史和人类的历史几乎一样长，数学本身的发展史就是社会历史发展史的一部分，具有重要的文化意义，数学的哲学理性精神、抽象逻辑思想方法，数学呈现出来的艺术和谐美等等都彰显出数学独特文化特点，

参照“文化”的定义，数学文化可以定义为：人类在社会历史发展中所创造的与数学有关的物质财富和精神财富的总和，特别是与数学有关的精神财富，如数学文学、数学艺术、数学教育、数学科学等，《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》在开篇的“基本理念”部分，對数学学科性质作了这样定性：“数学是人类的一种文化，它的内容、思想、方法和语言是现代文明的重要组成部分，”《普通高中数学课程标准（实验稿）》指出：“数学是人类文化的重要组成部分，数学是人类社会进步的产物，也是推动社会发展的动力，”可见数学不仅是文化，还是学生时代必须深入研究的文化，目前我国数学新教材就“数学文化”内容的选材来说是丰富多彩的，主要有显性的专题和隐性的专题这两种呈现形式，其中，显性的专题呈现形式主要以“阅读材料”和“读一读”等形式来体现“数学文化的内容”;隐性的专题呈现形式通过注重“数学文化”内容与数学知识的结合的形式进行间接体现，主要通过数学史料的介绍、与其它学科的联系、现代信息技术的运用、数学应用、数学游戏的开展以及通过章首图或插图的设计等形式来体现数学文化[2].

2数学文化教学的良性蝴蝶效应

1963年，美国麻省理工学院气象学家洛伦兹在一次试验中，对初始输入数据0.506提高精度到0.506127再代回计算，结果本来只是0.000127这样微小的差距，结果却偏离了十万八千里，洛伦兹认定，他发现了新的现象：事物发展的结果，对初始条件具有极为敏感的依赖性，即“混沌”，又称为“蝴蝶效应”，在1979年一次演讲中他把这一效应做了形象的比喻：一只蝴蝶在巴西丛林中偶然的扇动翅膀，产生气流，引起连锁反应，可能会在美国的德克萨斯掀起一场龙卷风，从那以后，“蝴蝶效应”就成为大家耳熟能详的名词，经过仔细分析，其实蝴蝶效应反映的是非线性关系，代表不规则的运动和突变，蝴蝶效应之所以让人激动与着迷，是因为它已经不仅仅存在于天气的变化研究中，许多事物的变化都不约而同地存在着蝴蝶效应，西方国家流传一首蝴蝶效应的一首民谣：丢失一个钉子，坏了一只蹄铁;坏了一只蹄铁，折了一匹战马;折了一匹战马，伤了一位骑士;伤了一位骑士，输了一场战争;输了一场战争，亡了一个帝国，

这两个蝴蝶效应的典型例子都是灾难性、灭亡性的负面反应后果，相反地，还有良性蝴蝶效应，教学是一系列动态的复杂的过程，包括诸多的因素和环节，能够在教学最后的效果产生良性的蝴蝶效应初始条件更是数不胜数，教师的一个细微讲解，一句随机提问，一场课堂讨论，一道作业题目，一个微不足道的初始条件干预，都可能引发蝴蝶效应，其中数学文化教学的设计、传递和渗透，都能让学生在文化的熏陶下，勤于思考，乐于动手，勇于表达，这也充分展示了数学文化教学的良性蝴蝶效应，

从算术到代数是数学思维的一次飞跃，代数就是用符号代表数，含有未知数的等式就是方程，刚经历小学到初中的学生在面对求未知数值的时候，有一大部分群体仍然沿用小学算术解题思路，同样可以解决问题的情况下学生会质疑：代数方法的优越性在哪里？例如：小明爸爸今年36岁，爸爸年龄是小明的3倍多6岁，求小明年龄，①算术解法：小明年龄= （36 -6）÷3= 10;②方程解法：设小明年龄为x岁，则有方程：3x+6= 36，解方程得x=10.显然，代数方程解法和算术解法思维路线刚好相反，且方程解法更直接，更便捷，实际上，方程的本质是为了求未知数而在未知数和已知数之间建立起一种等量关系，它是实际问题的数学语言翻译而已，学生在明白这一点的情况下，对于方程接受还是会存在一定困难，这时候，可以让学生了解方程在数学文化历史长河中的有意义、有价值的解说，

公元820年，阿拉伯数学家花拉子米写了一本《代数学》，本意是“还原与对消的科学”，也就是要把淹没在方程中的未知数x暴露出来，还原x本来面[3]，这好比一个探秘的过程，这样就把一个形式化的数学概念方法说活了，把有意义的事情说得有意思，把有意思的事情说得有意义，这就是数学欣赏，这就是数学文化，我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》里有一道著名算题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，试问大、小和尚各多少人？这道古代名题充分体现方程解法的优越性，数学文化中关于方程内容小小的导与教，让学生了解国内外关于方程解法的解析，感悟方程的数学精髓，让学生从内心深处了解前人对方程的感情，让前人思想顺利地纳入现代学生思想，教得轻松，学得愉悦，考得满意，这就是数学文化渗透教学的良性蝴蝶效应，

这让人联想到易中天的“品三国》，于丹的《论语心得》，这个百家讲坛的节目火了全中国，带领大家打开了了解研究历史的热情，这就是一个小小历史文化节目带来的良性蝴蝶效应，数学文化也一样，数学文化的教学可以是一场活动，可以是一场讨论，可以是一部电影观赏，可以是数学名家追寻，可以是一个数学审美会，可以是一个世界名题赏析，可以是一个数学模型研究，也可以是一份调查汇报，它符合学生的认知水平，但又可以跳出数学知识系统的框架，它不是板着面孔的教学，是大众化的一个活动，可能它也要一定的逻辑推理，但它也需要讲道理，讲品味，讲艺术，数学文化的“教”严格意义上不是教，是“文而化之”的行为，它的每个小细节、每个探究都带领学生走进内心追寻，从而引发喜欢数学、亲近数学、欣赏数学的良性蝴蝶效应.

3增强数学文化教育理念建设，提升数学素养

今天我们大多数人学习数学，不是为了明天继续研究数学，而是为了在各自的工作生活领域面对与数学没有直接关系的困惑难题时能够进行数学的思考，这就特别需要我们培养出有数学素养的学生，什么是数学素养呢？通俗地说，数学素养就是把所学的数学知识都排出或忘掉后剩下的东西[1].

有人说，数学文化是什么样子呢，就是人人喜爱数学，在公众当中树立美好的数学形象，数学文化教育使数学教学系统出现良性蝴蝶效应，使得学生最终具备了基本的数学文化，大大提升了自身的数学素养，为教学开辟了一条研究路径，在高校开设数学文化课，已经成为普遍现象，在目前的中学教学中，特别是初中教学中，教师也使尽了浑身解数在进行数学教学，但是在教出来的学生眼里，数学与生活隔离，数学就是与枯燥的字母打交道，学数学就是不断地做题、考试，毕业之后，为远离数学而欢呼，这不得不说是数学的悲哀，作为数学教师，我们应该站在数学文化的制高点上，以深邃的数学眼光、宽阔的数学视野、宽广的数学胸怀、浓郁的文化气息、鲜明的人文关怀，通过自己的引领，让每一个学生都过上有文化品位的数学生活，

荷兰数学家弗莱登塔尔曾经说：没有一种数学的思想，以它被发现时的那个样子公开发表出来，一个问题被解决后，相应地发展为一种形式化技巧，结果把求解过程丢在一边，使得火热的发明变成冰冷的美丽，现在传统的数学在很多时候正是在诉说这种冰冷的美丽，使得很多学生可望不可及，从整体上看，应该增强数学文化教育理念建设，提升数学素养，这条路任重道远，下文将对数学文化教学做几点思考。

3.1编写数学文化校本课程

课程的编写主要不以传授数学的系统知识为线索，内容题材可以是数学的某段历史，数学家某个生活经历，可以是某个数学名题趣题，可以是数学上的某个妙用，数学上的某个美图，可以是数学的某个小应用，可以是数学某个定理发现历程，感受数学外冷内热的同时，更多地感受到数学的热度，《数学，多大点事儿》这本书里面有很多小标题，譬如，有趣的分数会捣乱、天价的绵羊、贪婪的巴姆河、和人捉迷藏的质数、趣话兀的故事、皇帝、总统与几何、神奇的兔子繁殖;还有适合高中生的某些数学文化小标题：杜甫《登高》与数学无限、微分搭台、方程唱戏、《红楼梦》的作者是谁？数学分析的应用、数据的应用“公说公有理，婆说婆有理”、超市里的向量与矩阵，估计你看到这些标题就马上想阅读浏览，为数学的轻松有趣而痴迷，从而慢慢不再害怕数学，爱上数学文化。

3.2进行数学文化题库建设

虽然现在某些地方的中考题试卷上出现了一些新颖的数学文化题，但是还是缺乏创新，个别教师提到数学文化题，就只能想到勾股定理，我们反对为文化而文化的试题，但是我们需要深入挖掘数学文化内涵，体现数学文化价值的试题库，对数学教材中的阅读材料进行深层次的整合应用，对系统數学知识的某些知识点进行深入探索，编制出耳目一新的具有数学文化味道的试题，让学生在数学文化的题库里真切体验数学文化带来的全新感受。

3.3组织数学文化游戏、魔术等

国际著名数学大师陈省身曾为少年数学爱好者题词：数学好玩，但多少人能体会到好玩的感觉？美国著名科普作家马丁.加德纳曾经说：唤醒学生的最好办法是向他们提供有吸引力的数学游戏、智力题、魔术、笑话、悖论、打油诗，或那些呆板的教师认为无意义而避开的其他东西，传统的数学文化经典游戏如数独游戏、24点游戏、剪纸游戏等，都蕴含着丰富的数学思想与方法，再如一位业余魔术师设计的一道数学魔术题：

用具：计算器一个（带计算器功能的手机也可）.

玩法：请一位观众，将计算器交给他，请他将自己家里座机号码的前4位（若该号码不足8位，就将前3位）输入计算器中，然后将此数乘以80，再加1.再乘以250，再连续加两次该电话号码的后4位，将得数减去250，把最后的得数告诉表演者，表演者可以迅速算出他家的电话号码，并且立即拨通验证，使观众无不称奇，

例如：比如观众的座机号码是：2167648（7位数），按要求他应将前3位输入计算器，

第一步，216×80+1=17281：

第二步，17281x250+7648+7648= 4335546;

第三步，4335546 -250= 4335296.

将留有此数的计算器交给表演者，表演者除以2，结果就是观众家的座机号码“2167648”，

这个魔术其中蕴含的道理，无非是一个代数式的运算，设216=x，7648=y，上述运算可用一个恒等式表示成（80x+l）x250+y十y-250 =20000x+2.y，显然，这个魔术还可以进行其他各种变形.

3.4开设数学文化讨论课，进行数学文化慢体验

数学文化的精髓要深刻领会，需要一定的时间进行思考、演绎与推敲，而现在的数学课过于讲究解题的效率效果，数学的文化精神很多时候在数学课上感受不到，开设数学文化讨论课，让学生真正走进数学文化中，在探讨研究中，慢慢接受数学文化，这是一个需要慢体验的过程，比如可以探讨为什么黄金分割那么美？因为大数学家毕达哥拉斯说过：凡是美的东西都具有一个共同特征，这就是部分与部分彼此之间，以及部分与整体之间固有的协调一致，可以探讨为什么很多比赛评分要去掉一个最高分和一个最低分，因为这样可以走进中位数，排除一些随机因素，可以探讨从勾股定理的多种证法到费马大定理历经三百多年的彻底证明。2002年国际数学家大会在北京召开，史宁中教授向听众提出了一个生活问题：有一笔赌金，甲乙两个人竞赌，输赢的概率都一样，都是1/2，谁先能够连赢累计达到5盘，就获得这笔赌金，但是因为一个特别的原因，突然终止了，那个时候甲赢了4局，乙赢了3局，问这笔赌金应该如何分配？深入探讨不难发现，最后甲得到四分之三的赌金，乙得到剩下四分之一的赌金，其实涉及到的原来是概率论中的期望值问题，这其中的道理只有建立起基本的数学模型，经过慢体验才能逐步感悟到。

3.5数学文化课件或微视频或微电影的制作

数学不仅是一个包含真理性认识的知识体系，它更是一个“为人”因而也是“有人”的社会文化活动[4].重现这些人的活动，直接的方法之一是把数学文化中很多素材制作成图像或视频资源，让更多的人直观地一起感受数学文化，从而推广数学文化，著名的田忌赛马是典型的数学中的对策论，是现代数学的一个分支，如果拍成微电影，效果一定极好，再如大家都知晓的哥尼斯堡七桥问题就可以制作成课件或视频资源，让读者在研习数学文化中揭开这个曾经困恼许多人的难题。

4数学要考出适当的文化情怀

如果说数学文化的教学细节处处可以引发良性蝴蝶效应，那么中高考中对数学文化的考查则可以引发快速爆发性的良性蝴蝶效应。

初中阶段数学教育的最后考查环节是“初中学业水平考试”（简称“中考”），近些年在试卷中不断地渗透着数学文化理念，融合着数学文化的思考，数学文化中考试题既要突出数学基础知识和基本技能的考查，又要突显数学文化的整体育人的要求，凸显理性思维的本质内涵[5].纵观2017年的全国各地中考试题，数学文化融入的不同角度都让一线教师和学生真切感受到数学的历史发展，数学的神奇魅力，以及数学家的研究精神。

例1 （2017年福建中考数学卷.20）我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”其大意是：“有若干只鸡和兔关在同一笼子里，它们一共有35个头，94条腿，问笼中的鸡和兔各有多少只？”试用列方程（组）解应用题的方法求出问题的解。

例2 （2017年新疆中考数学卷.18）我国古代数学名著《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何”，意思是：鸡和兔关在一个笼子里，从上面看有35个头，从下面看有94条腿，问笼中鸡或兔各有多少只？

例3 （2017年安徽中考数学卷.16）《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有人共买物，人出八，盈三;人出七，不足四，问人数，物价各几何？译文为：现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元;每人出7元，则还差4元，问共有多少人？这个物品的价格是多少？请解答上述问题，

例4 （2017年北京中考数学卷.20）数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等（如图1所示）”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证，

数学的历史发展过程中蕴含着丰富的数学文化素材，不同国家、不同时代都生长着不同的历史文化，中国的考试自然选择了中国所特有的数学史料进行考查，其中福建和新疆不約而同地选择了著名的“鸡兔同笼”问题，这本中国古算术书《孙子算经》一直在我国数学史中占有重要的地位，《九章算术》是中国传统数学的重要著作，是一本与现实社会紧密相关的数学问题集，公元3世纪的刘徽，吴文俊称之为“中国古代数学第一人”，他使用的“出入相补”原理是我国古代数学特有的推理论证方法，而贾宪的抽象分析和程序化方法体现了中国古代数学的重要特点，一直影响着现代数学的研究发展，从选取的这几题中考题就已经能感受出中国在数学文化史中的重要贡献，中考是个大风向标，数学文化的渗透不是一份装饰，一份点缀，它使学生的视野不再狭窄，它使学生感受到数学不是枯燥无味的学科，是可以继承与创新的文化。

高考试题中近年来体现数学文化渊源的试题也层出不穷，以湖北省近几年高考为例，例如2009年文/理数学试题第10题涉及毕达哥拉斯研究的图形数，理科数学试题第15题涉及角谷猜想;2010年理科数学第7题的割圆术和第15题的均指数;2011年理科数学试题第15题的斐波那契数列，文科数学试题第9题涉及《九章算术》中的“竹九节”问题;2012年理科数学试题第10题涉及《九章算术》中的“开立圆术”问题，第13题涉及回文数问题;2013年文科数学试题第16题涉及《九章算术》中的“天池盆测雨”问题，当然，在设计数学考题的题型结构上还可以进行多角度的渗透，数学史料的挖掘不仅仅是数学名题，可以是涉及数学名家的趣味题，可以是数学名题改编出来更具有时代性的题，可以是渗透数学审美的题，还可以是实际应用更广泛的数学题，让数学史、数学审美、数学思想方法、数学精神等数学文化内涵丰富学生的数学情感，学生乐于亲近数学，欣赏数学，品味数学，在数学文化的继承基础上继续发扬广大。

参考文献

[1]顾沛，数学文化[M].北京：高等教育出版社，2008

[2]张维忠，孙庆括.我国数学文化与数学教育研究30年的回顾与反思[J].当代教育与文化，2011，3（6）：43

[3]张奠宙，王善平.数学文化教程[M].北京：高等教育出版社，2013

[4]徐文彬.关于数学文化视域中数学教学的若干思考[J].课程教材教法，2012， 32 （11）： 39

[5]张安军.数学文化视角下的中考试题赏析及其思考[J].教育实践与研究，2016，13 （2）： 65