谈新课程理念下的高中数学概念教学

□海南省保亭黎族苗族自治县保亭中学 曹华平

数学概念反映的是一类对象的本质属性。数学概念是构建数学理论大厦的基石，是导出数学定理和数学法则的逻辑基础，是数学学科的灵魂和精髓，是提高解题能力的前提。因此数学概念是学生数学学习的核心内容。在以往的概念教学中，大多数教师更多关注的是概念的数学应用价值，因此在匆匆给出数学概念之后，便是大量的强化训练。而新课程理念下的数学教学，十分重视挖掘数学本质，重视数学知识的形成过程，关注数学知识之间的内在联系与背景分析，尤其在概念教学上，更是突出了以上内容。下面谈谈我们对新课程理念下概念教学的一些想法。

一、关注数学概念的引入环节

创设情境是新课程倡导的理念，《普通高中数学课程标准》中“内容标准”规定：从实际情境中抽象出相关知识、结合具体的实际问题情境了解或理解相关知识、学生将通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中存在着大量相关的数学知识。在“评价建议”中指出：“应特别重视考察学生能否从实际情境中抽象出数学知识以及能否应用数学知识解决问题”。［1］

1.通过学生活动创设问题情境引入概念。

案例1：《椭圆及其标准方程》

在椭圆概念引入时，可以采用折纸的游戏来创设问题情境：

请学生拿出圆形纸片，并按如下步骤进行操作：

（1）将圆心记作点F1，然后在圆内任取一定点F2。

（2）在圆周上任取10个点，分别记作N1、N2、N3……N10，将它们与圆心相连，得半径F1N1、F1N2、F1N3……F1N10。

（3）折叠圆形纸片，使点N1与点F2重合，将折痕与半径F1N1的交点记作M1；然后再次折叠圆形纸片，使点N2与点F2重合，将折痕与半径F1N2的交点记作M2；……；依此类推，最后折叠圆形纸片，使点N10与点F2重合，将折痕与半径F1N10的交点记作M10。

（4）用平滑曲线顺次连接点M1、M2、M3……M10，你有何发现？

在学生通过动手实践、观察之后，猜想轨迹为椭圆，借助几何画板展示动点生成轨迹的全过程，印证猜想，同时指出我们对于椭圆只知其“名”、其“形”，但对于其具体的品性却一无所知。比如，椭圆上的点具有怎样的几何特征？能否用代数方法精确地刻画出这种几何特征？从而导出新课“椭圆及其标准方程”。

这样的情境设计，可以使学生产生学习兴趣，并提高学生进一步学习的欲望。

2.创设实际应用情境引入概念。

案例2：《平均变化率》

情境1现有南方某市3月18日到4月20日间日平均气温记录如下图所示：

问题：（1）曲线图中A，B，C三点的坐标的含义是什么？（2）曲线AB与BC哪段更陡些？（3）“陡”的实际意义是什么？从数学角度如何刻画“气温骤升”？

设计意图：借助学生熟悉的温度变化快慢问题，进一步感受温度的平均变化率，从而体会“温度骤升”的数学意义。

情境2 股指“跳水”。下图是某日某A股走势图。

问题：（1）对这支股票走势图你有哪些认识？（2）如何从数学角度刻画股指“跳水”？

在“平均变化率”的概念教学中，学生对于这些身边的实际问题非常感兴趣，他们反应积极，甚至有个别学生还谈到了自己的“投资”经历。当然，对于这些实际问题中所蕴含的数学问题、数学本质，教师要随时抓住，使学生深入领会平均变化率的意义。

3.借助数学发展史引入概念。

许多数学概念的形成发展都伴随着一些鲜为人知的故事，比如乘方运算背后的古印度国王奖赏象棋发明者塞萨的故事，“无理数”的发展历程与“毕达哥拉斯学派”的故事，以及斐不那契数列（兔子数列）的故事等等。通过这些概念背后的故事，不仅可以吸引学生的注意力，同时可以使学生对所要学习的数学概念有更强烈的学习欲望，更重要的是学生可以从中体会到数学的科学价值，可以“提高学生的数学素养，养成求实、说理、批判、质疑等理性思维的习惯和锲而不舍追求真理的精神”。［2］

4.从揭示学习概念的必要性角度引入概念。

在数学知识的学习中，数学概念学习是根本，作为教师可能觉得每个概念的学习都是理所当然，但学生存在的最大疑惑就是：我们为什么要学习这些概念？这就是学习概念的必要性问题。

要揭示学习数学概念的必要性可以从不同角度入手，比如函数概念的学习，是为了解决我们身边存在的各种现实问题，我们可以从解决变量间的对应关系入手来引入函数概念，让学生在获得函数概念的同时，体会到学习函数这个核心概念的必要性；再如，“三角函数线”是从图形角度直观地来描述三角函数概念的本质，这也是我们学习三角函数线的必要性，我们可以设计一个“利用所给的量角器、直尺如何获得cos、sin的近似值”的实验活动，在实际操作中学生不仅体会到了学习三角函数线的必要性，并在此基础上探讨出如何科学定义“正弦线”“余弦线”，同时也激发了学生学习数学概念的兴趣。

总之，根据数学概念的不同特点，我们可以合理设计概念的引入环节，让学生在学习概念之初，就真切感受到数学概念就存在于我们身边，它的学习是自然的，更是有意义的。

二、关注数学概念的形成过程

《普通高中数学课程标准》在“教学建议”中指出：“既要有教师的讲授和指导，也有学生的自主探索与合作交流。教师要创设适当的问题情境，鼓励学生发现数学的规律和问题解决的途径，使他们经历知识形成的过程。”［3］

1.揭示概念的数学本质。

有些学生特别爱问为什么，有的问题表面上看似乎是“莫名其妙”，其他学生也觉得问题“不可思议”，但我却重视问题背后所隐藏的问题。

案例3：《任意角三角函数》

在教学中，我采取了“从静到动”的方式，先复习锐角三角函数，再拓展到任意角，在直角坐标系中，第一象限角的情形可以轻松类比获得，但要获得一般情形的定义，还要考虑其它象限的情形，这就要从初中的“线段比”转到“坐标比”，而在这个过程中，学生就有了疑问，为什么要这样来定义正弦函数呢？能不能沿用初中的“线段比”？这样的疑问促使我重新审视自己的教学设计。通过与学生的对话我了解到，学生在初中对于正弦函数的认识就仅限于“比值”，根本没有“函数”意识，而我的教学设计却恰恰忽视了这个概念的“函数”本质。

之后，我重新设计了三角函数概念的教学过程，采取了“由动到静”的方式，在给定直角坐标系中，依托单位圆，描述出随着角的变化，利用坐标思想，给出正弦、余弦、正切作为函数的定义，突出了“动”即突出了函数。在此基础上，进一步理解可以用终边上点的坐标（或比）来认识三角函数值的意义，最后与初中的“正弦”“余弦”“正切”对比，进一步确认了上述三角函数定义的合理性。学生在对三角函数的函数本质有了深刻认识的同时，也充分了解到了初高中三角函数概念的区别与联系。

2.要让学生主动参与建构过程。

在概念教学中，概念的形成与完善是概念教学的基础和重点，当然也是教学的一个难点。建构主义教学观认为，数学知识不是简单地通过教师灌输到学生头脑中，必须基于个人对经验的操作、交流，通过反省来主动建构。［4］因此，在概念教学中，我们可以通过问题设置，让学生亲自参与到概念构建中，这样，不仅可以帮助学生理解概念，同时也可以突破概念教学的难点，培养学生勇于探究的意识。

案例4：《函数单调性》

由于有了初中研究函数性质做铺垫，借助图像特征，学生获得增（减）函数的自然语言的描述并不难，但只有这样的形象描述还远远不够，因为根据它我们无法进行量的计算和推理，为了使定义具有普遍价值，我们需要用具体的量化语言来对增减性下定义。因此，在“函数单调性”的教学中，最关键的是探寻“单调性概念”的数学符号语言描述的定义，这个过程也是“单调性”概念教学的难点，下面是这个教学过程的课堂实录片段。

师：你们怎么理解y随着x的增大而增大？

生1：如果x比原来大，y也比原来的大。

师：怎么刻画这里说的“比原来大”呢？

个别学生小声说：就是比原来大了呗。

师：比原来大就需要比较，我们可不可以用具体的量来体现这里的“比原来大”呢？（同时教师展示函数图像，想借用图像引导学生用具体的数值来描述）

生2：比如，x由1变到2，这时y也由1变到了4。

师：说得非常好（同时板书1＜2，则有f（1）＜f（2）），我们是否可以通过这一点，就得到结论，y=x2在（0，+∞）是增函数呢？

学生齐声：就一组肯定不行。

师：那我们要不要多来几组？（老师利用几何画板测算出几组对应数值）

学生开始自发地议论起来，但都表示加几组也不行。

生3：加几组也是有限的，而且都是特殊值，不能保证在区间（0，+∞）上的所有的x增大y也随着增大。

师：看来，一一列举肯定是行不通的，但我们确实需要将所有的数值拿来比较，有没有什么办法，可以让我们不用一一列举，却能体现出对所有的数值进行比较呢？

学生又一次讨论起来，甚至有的组还争得较激烈。

学生代表：是不是可以任意取两个？比如：a、b，但让它们可以取到所有的数值，如果任意的这对数a＜b，也有f（a）＜f（b），就说明不论这两个数取什么，只要x大，对应的函数值也大，也就说明这个函数是增函数了。

学生们再一次议论，接着是沉默、思考，之后纷纷点头。

师：非常好，我们不妨用x1、x2来表示任意的两个自变量，用y1、y2即f（x1）、f（x2）表示对应的函数值，来刻画增函数的定义……

以上环节是师生共同探究“如何用精确的数学符号语言来描述‘增大而增大’，这个过程在整节课中占有重要地位，至此，增函数的定义才算真正获得。这个环节的教学设计突出体现了以下两方面的特点：一是突出体现了从直观到抽象、特殊到一般、感性到理性的探索历程；二是让学生充分体会到数学概念从无到有的建构过程，从中学会探求数学概念的方式、方法，从而提高学生研究问题的能力。

在日常的概念教学中，有相当多的教师往往是“只教知识，不去理会知识为什么要这样教”，使得学生只知其然，而不知所以然。因此绝大多数的学生，都已养成了“老师讲什么就听什么，老师说什么就是什么”的习惯，但作为教师，我们一定要鼓励学生提出问题，要引导学生主动参与到概念的形成与完善当中，只有经历了这样的概念建构的思维过程，学生才能真正理解和认识概念的数学本质。

三、关注数学概念的再理解过程

在概念形成之后，我们对概念的学习不是结束了，而是刚刚开始。通过创设情境，归纳得出概念，这只是由感性知识到理性认识的第一步，还不能说理解、掌握了概念，这就需要一个把“概念抽象成思维模式，培养出固定的逻辑思维”的过程，从而发展学生的数学思维能力。

1.在运用中加强对概念的理解。

在概念形成后的教学中，我们可以有针对性地围绕概念设计一些典型的问题，使学生在运用概念的同时，进一步理解概念的数学内涵和外延，揭示概念的数学本质。比如，在等比数列概念的再理解过程中，可以设计涉及“等比数列定义”的问题，同时还可以揭示等比数列的一些隐性特征，如各项均不为0或奇数项、偶数项的符号相同等。再如，在获得充分条件、必要条件的定义之后，可以让学生举出一些生活上的、数学上的有关充分条件、必要条件的实例，通过例子的辨析、比较，使学生对充分性、必要性定义的理解更加透彻。［5］

2.在知识的联系中加深对概念的理解。

任何概念的学习都不能仅仅停留在一节课里，那是不科学的，学生对于每一个重要数学概念的认识不是一蹴而就的，而是需要一个渐进的、逐步深入的认识过程，因此在概念教学中，我们要整体把握教学，有意识地帮助学生逐步形成一个完整的知识链，有计划地展开对一些重要概念的深入理解和认识的过程。

在“三角函数”概念的学习中，我们可以将“三角函数概念”贯穿在三角函数这一章学习的始终，下面是与三角函数概念有联系的知识参考框图。

通过这个图，我们可以把三角函数概念的学习和理解贯穿到整个三角函数内容，当然也可以看出单位圆和三角函数图像也是贯穿整个三角函数内容，使学生对于三角函数概念的理解不再只是停留在抽象的“数”上，还可以从“形”上清晰地展现出来，学生对于三角函数概念的认识才会有一个大的提升，从而实现对三角函数概念较完整的认识过程。这不仅符合新课程所倡导的“螺旋式上升”的教学理念，同时对于提高概念教学的教学效果也是至关重要的。

当然，新课程下的概念教学要想收到我们预期的效果，还需要教师对概念教学充分地重视，要敢于打破以往的概念教学模式的束缚，勇于创新，敢于实践。同时也需要教师不断学习，提高对概念的全面理解和合理把握的能力。如果通过我们的教学，使抽象的数学概念不再生涩难懂，不再让学生惧怕数学，这应该才是新课程理念下的概念教学所期望的效果。