如何讲好曲线的凹向及拐点这一节课

摘 要 曲线的凹向是高等数学在实际问题中应用最为广泛的数学概念之一，在教学中如何讲好这一节课，让学生能正确理解这一数学概念，是本文的要点。

关键词 函数的单调性 曲线的凹向 拐点

中图分类号：G642 文献标识码：A

导数在高等数学中是一个十分重要的数学概念，在实际问题中，导数的应用非常广泛。曲线的凹向是导数的应用这一章节中的重要内容。如何讲好这一节课，使学生能够直观的正确的理解这一数学概念。下面我谈一谈在这一节课的教学中自己的一点体会。

1對教材进行客观的分析

（1）本教材是21世纪高等教育公共基础课规划教材，由南京大学出版社出版，作者：赵文正、夏安铭。本教材以掌握概念、强化应用为出发点，注重讲清概念、减少论证，加强对学生基本运算能力和分析问题、解决问题能力的培养。因此在教学中一定要把握好“直观理解”这个度。

曲线的凹向及拐点是高等数学研究的重要内容之一，在教材的第三章第六节，它研究的是曲线的弯曲方向，在实际应用中有着广泛的意义。通过对曲线的凹向及拐点的研究，能更准确的描绘出函数的图象，反映了函数的变化情况，揭示了函数变化的一种性态，为我们以后高等数学的学习与研究打下了坚实的基础。

（2）教学重点、难点。

教学重点：曲线的凹向及拐点的定义。

教学难点：曲线的凹向及拐点的实际应用。

解决问题的关键是如何运用曲线的凹向及拐点的定义及判别法，在授课中要讲清判别法的实际意义及作用，求函数拐点的具体步骤。

（3）教学目标：

①知识目标：正确地掌握曲线的凹向及拐点的定义、定理及判别法，曲线的凹向及拐点的具体应用和实际意义。

②能力目标：培养学生正确的思维方式，正确地运用定义、定理解决实际问题。

③情感目标：培养学生严谨的学习习惯，认真求实的学习态度，提高学生学习数学的积极性，培养学生辩证唯物主义的科学思想————量变与质变。

2准备好复习的内容，复习内容要紧扣本节课的概念

（1）高等数学在高职高专的教学课程中是一门基础学科，学生在学习过程中可能兴趣不高或学习不太认真。

（2）学生对导数的概念理解不深，尤其是对导数的几何意义理解的不透，可能会导致学生在学习本节课中，出现思维障碍。因此，本节课复习的内容是：

①导数的概念：重点讲清导数的函数的导数指的是函数的变化率，它反映了函数在某一点变化的快慢程度。

②导数的几何意义：讲清的意义是曲线在点处切线的斜率。而是曲线在任意点处切线的斜率，又称为导函数。让学生建立起导函数的概念。

3对本节课教法的探讨

（1）本节课是以讲解曲线的凹向及拐点的定义为教学重点，继而推出定理及判别法。定义和定理都是直接给出的，不需作理论上的证明，因此，本节课应该选用讲练结合的方法。在讲解的过程中，语言要富有启发性，重点、难点要突出，定义要准确，启发学生独立思考，正确理解曲线的凹向及拐点的所有内涵。

（2）借用教具，做出直观的几何图形，加强学生对曲线的凹向及拐点的理解，让学生充分理曲线的凹向及拐点的抽象的意义和直观意义。

首先让学生观察上述函数的两种单调递增情况，启发学生注意曲线与切线的位置关系，从而得出上凹与下凹的定义。

第二，观察上凹时不同点处曲线切线倾斜角的变化情况，由公式得出曲线切线斜率是单调递增的。再利用复习内容得出函数的导函数是单调递增的，由函数单调性的判别法当时，函数单调递增。得出如果当导函数单调递增时，就应，进而得出当时曲线上凹结论。以此类推得出当时，曲线下凹。

第三，在讲授判别法时要做出函数的示意图，通过图形中函数切线斜率的变化情况，来理解上凹、下凹的规律，让学生理解指得是曲线切线的斜率，指得是曲线切线斜率的变化率，从而正确理解曲线上凹与下凹的意义。

4启发学生利用直观分析的方法去得出结论

（1）让学生正确理解定义、定理，理解时，曲线为上凹，时，曲线为下凹的含义，再引出拐点的定义及求拐点的具体方法。要讲清拐点是坐标平面上的一个点，要有横纵坐标，即。在讲授完定义之后，引出一道相关的例题加以讲解，再出示一道相关的习题让学生练习，提高学生对定义的认识。

例1：求曲线的凹向区间及拐点.

练习：求曲线的凹向区间及拐点.

（2）指导学生利用定理、定义处理习题中出现的问题，解题时要注意函数的定义域、极值点、单调区间、凹凸性等等，启发学生独立思考，针对实际问题加以论证，做到讲练结合。

5教学过程分析

（1）讲述曲线的凹向及拐点在高等数学中的重要作用。

（2）授课格式：

①复习导入：导数的定义、导数的几何意义。

②导入课题：函数的弯曲方向。

③展示课题：定义1，作出图示说明。

④概括定义：凹性的判别法，拐点的定义及具体求法。

⑤课堂练习：教师指导，学生练习，讲解带有共性的习题。

⑥课堂总结：

（i）曲线的凹性及拐点的定义；

（ii）曲线的凹性及拐点的判别法；

（iii）练习中出现的问题。

⑦布置作业：作业题要针对本次授课的内容。

以上是我对本次课授课情况的一点体会。