善用几何直观，彰显问题本质

缪小明

摘 要 几何直观是指凭借图表、线段图等，将抽象的数学语言与直观的图形有机结合，是抽象思维与形象思维的有机结合，充分展现问题的本质，以期突破数学理解上的难点。其实，几何直观是数形结合思想的最好体现，通过图形的直观性质，来阐明数与数之间的联系，将许多抽象的数学概念和数量关系形象化、简单化，实现代数问题与图形之间的互相转化，互相渗透，为研究和探索数学问题开辟了一条重要的途径。几何直观是解决问题的有效方法，是探究知识本源的重要过程。

关键词 几何直观 问题本质

中图分类号：G633.63 文献标识码：A

如：《比赛场次》（六上）一课中的例题：有五位同学进行乒乓球单打比赛，每两人之间都且只进行一场比赛，一共要举行几场比赛？

（1）我们可以列表来分析：

（2）我们可以用示意图来分析：

（3）我们可以用线段图来分析：

以上三种几何直观都不重复计算场数：A与其他四人，各打一场计4场；B与除A以外的其他三人，各打一场计3场；C与除A、B以外的其他两人各打一场计2场；D与最后一人E，打一场；一共打：4+3+2+1=10（场）。

那么，如果重复计算，结果又会怎样呢？我们借用下图来帮助分析：

从图上我们可以看出来，每位同学实际上场4次，只是由于每场比赛是两个人同时上场，所以需要的场数是：5？？=10（场）。这种几何直观理解题意的本质与前面三种完全不同，解决问题的方法也与前面的不同。

又如，《鸡兔同笼》一课中的例题：笼子里有若干只鸡和兔。从上面数有8个头，从下面数有26只脚，鸡和兔各几只？

（1）可以列表来解决：

先考虑鸡兔一样多的情况，共有24只脚，与实际的26只脚比，少了2只，所以兔子的数量应更多一点，进而得出答案：笼子中有鸡3只，兔子5只。

（2）可以用假设法来解决：（我们只讲一种情况）。

假设笼子里全是鸡（这里我认为假设无论是鸡还是兔子都只有2只脚更好一点），可以用示意图帮助理解：

上图可以帮助孩子们理解：不管是鸡或兔，都先以2只脚算，共8？=16（只），与实际26只脚比少了10只，少的原因同学们一下就发现了。每只兔子有4只脚，却被假设成2只脚，少了两只脚，所以兔的只数是：10鳎？-2）=5（只），那么鸡的只数：8-5=3（只）。

（3）这里介绍一种新的假设法（书本里没有）：如图所示：

假设鸡和兔同时抬起两只脚，共抬起16只脚，此时，鸡变成了飞翔鸡，兔变成了双脚蹦蹦兔，着地的10只脚全是兔子的，那么兔的只数：（26-8？）？=5（只），鸡的只数：8-5=3（只）。

上面三种几何直观，一是运用列表法推定；二、三種方法似乎有异曲同工之妙，算式一样，但理解问题的角度不同，对孩子们来说，第三种理解起来较为简单。

最后：《等积变形》一类课例：（六下）圆柱和圆锥体积的计算课

对于这类教学内容，老师采用的最好办法，就是把孩子带进实验室，选择合适的实验器材，让孩子亲自动手，在实验中观察，在观察中理解，在理解中想出解题的方法。

如：一个底面直径是10厘米的圆柱形容器里，盛了7厘米高的水柱，将一块不规则的铁块浸没在水里，这时水深9厘米，求这块铁块的体积是多少？

教师可以准备实验材料，让孩子亲身体验这一事实，他们很快就能理解：铁块的体积=上升水柱的体积，从而求出结果。

又如：给一把直尺，怎样测出一个矿泉水瓶的最大容积（如图1）？

在具体的教学过程中，学生们想了各种各样的方法：

（1）干脆将瓶子里的水装满，然后倒进一个长方体的容器里，测出长方体容器内部的长和宽，以及水的深度，直接求出水的体积，即瓶子的最大容积。

（2）干脆先把瓶子埋在一个长方体沙坑里，再取出瓶子，最后量出沙坑里沙的高度下降了多少，以及沙坑的长和宽，算出下降部分沙的体积，即瓶子的最大容积。

我一直鼓励孩子们：非常注重用转化的思想来解决问题，可我们题目中没有长方体容器，没有沙坑，也没有多余的水啊。有同学举手说：图1中装水的部分体积是很容易求的，只要测出底面直径和水柱的高，用求圆柱体积的方法就行了，只是上面空的部分的体积不好求？不知是谁说了一句：把瓶子倒过来。一石激起千层浪，同学们恍然大悟：正放时上面空的部分的体积不就等于倒过来后上面空的圆柱的体积吗？

解决这道题的关键点：无论正放或倒放，瓶子的容积不变，瓶子里水的体积不变，瓶子里空的部分体积不变，正放时上部空的不规则体积可以用倒放时上部空的圆柱体积代替。同学们很快就能理解这个问题的本质：瓶子的最大容积=正放时水柱的体积+倒放时上部空圆柱的体积。

总之，几何直观主要是借助于图表、示意图、线段图，实验操作等方法帮助学生，直观地理解数学，借助于具体形象的几何图形或实物，产生对数量关系的直接感知，充分彰显问题的本质，最终帮助学生打开思维的大门，是启迪智慧的一把万能钥匙。