江苏省淮安外国语学校八(1717)班 夏 熠
【背景资料】勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一,也是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一,还是数形结合的纽带之一.
【定理用途】已知直角三角形两边求解第三边,或者已知三角形的三边长度,证明该三角形为直角三角形或用来证明该三角形内两边垂直.利用勾股定理求线段长度是勾股定理的最基本运用.
典型例题:
【例1】(2016·株洲)如图1,以直角三角形a、b、c为边,向外作等边三角形、半圆、等腰直角三角形和正方形.上述四种情况的面积关系满足S1+S2=S3的图形个数有( ).
图1
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【心路历程】第一个图形中,首先根据等边三角形的面积的求法,表示出3个三角形的面积然后根据a2+b2=c2,可得S1+S2=S3.其余图形也都是先表示出阴影部分的面积,再顺利得出S1+S2=S3.故正确答案选D.
此题考查了等腰直角三角形、等边三角形、圆以及正方形的面积的求法,我们要熟练掌握.解题的关键是要明确:在任何一个直角三角形中,两条直角边的平方和一定等于斜边的平方.应该说此题属于长相恐怖、解答清晰的类型,同学们应该都能答对吧?
典型例题:
【例2】(2016·绥化)如图2,在四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点E,∠DAB=∠CDB=90°,∠ABD=45°,∠DCA=30°,
图2
【心路历程】过A作AF⊥BD,交BD于点F.由三角形ABD为等腰直角三角形,利用三线合一得到AF为中线,利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出AF的长.在直角三角形AEF中,利用30°角所对的直角边等于斜边的一半列方程求出AE的长,即AE=2.
【学法归纳】1.勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中.
2.在不规则的几何图形中,通常通过添加辅助线得到直角三角形.
3.在应用勾股定理解决实际问题时,勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法,关键是从题中抽象出数学模型,画出准确的示意图.
教师点评:
应用勾股定理的前提,必须有直角三角形,没有直角,那真如小作者所说的——没戏了.可实际中,很多时候题中没有直接给出直角三角形,我们必须先构造出适当的直角三角形,从而为建立三边关系起到桥梁纽带作用.