基本不等式中的“桃园三结义”

蒋孝国

“桃园三结义”的故事大家耳熟能详，刘备三兄弟息息相关，有苦同受，有难同当，在数学中也有不少这样的“三兄弟”，如三角函数中的sinx.cos x.tanx；sinx+cosx，sinx-COSx.sinxcosx等，它们息息相关，你中有我，我中有你，知一求二，本文将讲解基本不等式中的“三兄弟”——ab，a+b，a2 +b2，已知其中一个的值（或范围）就可以求出其余两个的范围，平均不等式链√ab≤（a+b）/2≤√（a2+b2）/2三将它们紧密地联系在一起，等号都是a =b时成立，

一、从“a+ b”到“ab”

二、从“ab”到“a+b”

三、从“ab”到“a2+ b2”

四、从“a2+ b2”到“a+b”

评注 该题采用的是先配方，再进行双变量换元，再运用基本不等式的变形形式（a+b）2≤2（a2+b2），實现从“a2 +b2”到“a+b”，双变量换元是解决基本不等式问题的重要策略.

运用基本不等式最重要的是根据已知条件把握不等式运用的方向，选择运用基本不等式以及变形形式.如果能从这“三兄弟”出发，将为我们的解题提供一定的方向.