基于导波模态转角的钢绞线张拉力计算方法研究

钱 骥，杨金川，李长春，张俊波

(1.重庆交通大学 土木工程学院， 重庆 400074；2.重庆交通大学 山区桥梁与隧道工程国家重点实验室培育基地， 重庆 400074)

0 引 言

预应力钢绞线广泛应用于预应力混凝土结构、桥梁拉/吊索等重要工程结构物中，其应力水平直接影响着结构的耐久性和安全性。然而，在张拉及使用过程中，受各种因素影响，钢绞线难以长期保持在设计应力水平，导致结构承载能力下降，甚至威胁到结构的整体安全。因此，开展在役结构钢绞线应力水平检测对保障预应力结构安全性及耐久性至关重要。

在结构施工阶段钢绞线张拉力易于测量，当施工完毕投入使用之后，由于受外围混凝土及PE管套保护，常规的钢绞线张拉力测量方法均不再适用。长期以来，开展在役结构钢绞线应力水平检测都是工程界面临的技术难题。目前，针对已运营结构钢绞线的应力水平检测研究成果均有其适用范围，如邓年春等[1]、兰春光等[2]采用光纤光栅监测钢绞线预应力，需要在钢绞线制作阶段预埋光纤；吴斌等[3]基于磁弹效应提出了一种杆件拉力测量方法，分析了传感器结构及其励磁方式、材料剩磁状态、温度和数据分析过程等因素的影响，但该方法仅适用于体外预应力结构；张奔牛等[4]将钢绞线考虑为振荡电路的一部分，通过振荡频率与钢绞线中应力的关系来检测钢绞线的预应力水平，但振荡频率随预应力变化不明显，且检测时干扰信号较大。超声导波是近年来研究较多的一种结构无损检测方法，与传统超声波检测使用的体波相比，导波是由波导介质边界多次反射形成，其模态特征携带了结构受力状态信息，不同应力状态产生不同的导波模态分布。H.KWUN等[5]通过试验研究了加载钢绞线中超声导波的频散特性，加载后钢绞线的纵向模态部分频段会出现缺失；N.CLAUDIO等[6]研究了钢绞线轴向张拉力与激励导波倍频能量比β之间的关系，并考虑了有粘结混凝土的影响；刘增华等[7]根据波动理论和声弹性理论，建立了钢绞线中最低阶纵向模态群速度与钢绞线应力之间的对应关系，当钢绞线应力小于500 MPa时呈现较好的线性关系。

笔者基于柱波导理论推导了有约束边界条件下高强钢丝导波模态分布，并采用有限元方法分析了不同边界约束条件下导波模态频散曲线的变化规律；基于张拉力对导波频散曲线的影响规律，回归分析了直径15.2 mm钢绞线中心钢丝一阶纵波模态转角随张拉力变化关系，建立了考虑钢绞线螺距、钢丝间摩擦系数的张拉力计算式。

1 有约束条件下单根钢丝纵向导波理论频散曲线求解

弹性波在均匀各向同性弹性固体介质中的传播应满足Navier控制方程[8]

(1)

而对于高强钢丝这类细长圆柱体，可以将式(1)转换到柱坐标系下

(2)

(3)

(4)

式中：ωr、ωθ、ωz分别为旋转矢量的3个分量。

导波在高强钢丝中传播存在多种模态。对于不受力自由边界钢丝而言，钢丝表面应力为0，纵向导波的应力边界条件可表示为：

σrr=σrz=0， (r=a)

(5)

式中：σrr、σrz为柱坐标系下钢丝表面的应力分量；a为钢丝截面半径。

通过该应力边界条件，可求解纵向导波的频率方程为：

4k2αβJ1(αa)J0(βa)=0

(6)

当钢丝表面处于受约束状态时，其应力边界条件不再满足式(5)，不同约束条件将产生不同的频率方程。考虑钢丝表面受最强位移约束，各向位移均为0，达到固结状态，此时纵向导波的边界条件可以表示为：

ur=uz=0， (r=a)

(7)

通过该位移边界条件，可求得高强钢丝受表面位移约束下纵向导波频率方程

αβJ1(αa)J0(βa) +k2J1(βa)J0(αa)=0

(8)

式(6)和式(8)均为超越方程，分别采用数值方法进行求解，得到自由和固定边界下高强钢丝中一阶纵向导波的理论频率-波数曲线。材料参数如表1，求解得到的一阶纵向导波频率-波数曲线如图1。

表1 高强钢丝材料参数Table 1 Material parameters of high strength steel wires

图1 高强钢丝中一阶纵向导频率-波数曲线Fig. 1 Frequency-wave number curves of first order longitudinal guided wave in high strength steel wires

由图1知，不同边界条件下，高强钢丝中一阶纵向导波模态分布具有明显差异，随着表面约束的增强，频散曲线整体向高频部分偏移。对钢绞线结构而言，其中心钢丝的边界约束条件受外围钢丝的张力影响，模态变化将反映钢绞线实时张拉力状态。因此，基于一阶纵向导波模态变化可以进行钢绞线的张力水平检测。

2 单根钢丝导波传播有限元分析

2.1 单根钢丝有限元模型

超声导波在钢绞线中传播，可看作是有约束条件下波在单根钢丝中的传播。以中心钢丝为例，钢铰线受轴向张拉力作用时，外围钢丝对中心钢丝施加法向接触力和切向摩擦力，且这两种约束力随着钢绞线张拉力的增大而增大。此时，钢绞线各钢丝之间的接触面为一条螺旋线，中心钢丝表面受外围6根钢丝形成的6条螺旋线位移约束。该约束状态理论求解非常复杂，笔者采用有限元方法进行计算分析。

采用ABAQUS/Explicit分别建立表面自由、表面固结、表面线约束(钢丝表面轴向施加6条线约束，同时约束轴向和径向位移，不考虑螺旋几何特征的影响，如图2)等3种边界条件下的高强钢丝有限元模型。钢丝长L=300 mm，直径d=5mm，不考虑材料阻尼影响，材料参数如表1。

图2 高强钢丝有限元计算模型Fig. 2 Finite element model of high strength steel wires

为激起高强钢丝中的纵向导波，采用三角脉冲对钢丝端面中心施加轴向激励，脉冲荷载持续时间为3 μs，荷载结束后持续197 μs以模拟弹性波在钢丝中的传播过程，激励荷载如图3。

图3 激励荷载Fig. 3 Impulses load

2.2 纵向导波频散曲线计算结果

在端面轴向三角脉冲激励下，钢丝内部形成导波传播，沿波传播路径上提取x=25、150、275 mm等3个节点的振动时域信号(图4)，从图中可以看到明显的时间滞后，但无法直观反映模态信息。

沿波传播路径上提取更多节点振动时程信号构成二维时间-空间矩阵，通过二维傅里叶变换，将时间域的信号转换到频率域、空间域的信号转换到波数域，可求得频率-波数频散曲线。二维傅里叶变换[10]如式(9)：

H(k,f)=∬A(z,t)e-i(wt+kz)dzdt

(9)

式中：A(z,t)为钢绞线中心钢丝各点的轴向加速度时程；ω为圆频率，ω=2πf。

图4 节点时程曲线Fig. 4 Time history curves in finite points

分别提取3种边界条件下有限元模型中间500个节点(x=25～275 mm，相邻节点间隔0.5 mm)的时域波形进行二维傅里叶变换，如图5。

图5 不同边界条件一阶纵向导波频率-波数曲线Fig. 5 The first order longitudinal guided wave modal distribution under different boundary conditions

从图5可知，边界条件为自由边界和表面固结时，有限元计算结果与理论频率-波数曲线完全吻合，说明采用有限元模拟导波传播过程及采用二维傅里叶变换提取频散曲线均有效可行。

同时，与自由边界条件相比，当钢丝表面有线固结约束时，一阶纵向导波截止频率显著上升，频散曲线整体向高频部分偏移，且低频成分的频率上升现象更为明显，导致一阶纵向导波频散曲线在低频段与自由边界频散曲线之间形成明显转角。

随着钢丝表面约束的进一步增强，即钢丝表面位移被全部约束达到固结状态，一阶纵向导波各波数对应的频率上升现象更明显。总体而言，随着钢丝表面约束刚度增大，频散曲线向高频部分偏移，截止频率提高，低频位置出现模态转角。

3 钢绞线导波传播有限元分析

3.1 钢绞线有限元模型

受预加力水平及荷载影响，不同桥梁钢绞线张拉力不一致，中心钢丝受到的约束强度也不相同，实际上处于一种弹性线约束状态，其最强约束为线固结约束。通过建立钢绞线整体有限元模型，可分析不同张拉力状态下导波频散曲线变化规律。

有限元模型采用工程中常用的直径d=15.2 mm，螺距h=260 mm的钢绞线，长度L=520 mm，不考虑材料阻尼影响，材料参数见表1。

为了更好地模拟钢绞线多根钢丝间的接触作用，钢绞线中接触区域的网格应在单根钢丝模型的基础上进一步加密。因此，文中钢绞线沿轴向的单元尺寸为1 mm，接触区域的单元尺寸最小为0.1 mm。网格划分后，该模型一共由1 745 623个六面体8节点单元组成(图6)。积分时间步长对波动效应求解的精度和稳定性影响较大，由于钢绞线结构的复杂性，笔者采用全自动积分时间步长。

图6 钢绞线有限元计算模型Fig. 6 Finite element model of steel strands

整个模拟过程分为轴向张拉力施加、导波激励以及导波传播3个阶段。模型采用一端完全固定，另一端仅释放轴向位移，约束其它方向自由度。在钢绞线的非固定端施加光滑幅值曲线的面荷载，模拟轴向张拉力作用，该过程是一个准静态加载过程，为了防止干扰信号的产生，加载时间设定为300 μs，在波激励和波传播过程中幅值保持恒定(如图7)。在非固定端的中心钢丝截面中心处，采用三角脉冲进行轴向激励，脉冲荷载持续时间为3 μs，荷载结束后持续697 μs以模拟弹性波在钢绞线中的传播过程，激励荷载如图3。为防止导波信号因预应力的扰动而湮灭，在已加载预应力钢绞线中激励导波时，激励信号能量级应远高于预应力能量级[11]。

钢绞线间的法向接触采用“硬”接触，切向接触采用摩擦系数为0.6的“罚”摩擦进行模拟[12]。

图7 轴向张拉力幅值曲线Fig. 7 Time-history curve of axial force

3.2 一阶纵向导波模态分布

分别提取钢绞线轴向应力达到1 302 MPa时，中心钢丝轴线上x=60、260、460 mm等3个节点时程曲线(如图8)，图中能看到时间滞后、幅值衰减及频散现象。在x=60 ～ 460 mm范围内，提取400个间距为1 mm的节点轴向加速度时程曲线A(z,t)构成二维矩阵。

图8 钢绞线中心钢丝节点时程曲线Fig. 8 Time-history curves in central wire nodes of steel strands

通过二维傅里叶变换计算钢绞线中心钢丝一阶纵向导波的频率-波数如图9。

图9 钢绞线中心钢丝纵向导波频率-波数曲线Fig. 9 Central wire frequency-wave number curves in steel strands

由图9可知，受钢绞线张拉力作用，钢绞线外围钢丝对中心钢丝提供了弹性约束，该约束作用使得中心钢丝一阶纵向导波频散曲线向高频部分偏移，但没有达到线固结约束状态频散曲线，这也说明钢绞线中外围钢丝对中心钢丝的约束没有达到线固结状态。

由于低频部分偏移更为明显，从而在300 kHz附近出现了模态转角，且该模态转角受外围钢丝的约束强度影响，即反映了钢绞线张拉状态。

3.3 引起模态转角的原因分析

钢绞线外围钢丝对中心钢丝的弹性约束作用使得钢绞线中心钢丝一阶纵向导波出现模态转角，但约束作用通常分为法向约束作用和切向约束作用，二者对于模态转角的影响需要进一步研究。

采用文中所建立的钢绞线有限元模型，分析2种不同约束状态下钢绞线中心钢丝一阶纵波模态分布情况。约束状态如下：

1)法向约束为“硬”接触，无切向约束；

2)法向约束为“硬”接触，切向约束采用摩擦系数为0.6的“罚”摩擦模拟。

有限元建模、脉冲激励及数据处理如前，计算得到2种约束状态下钢绞线中心钢丝一阶纵向导波的频率-波数曲线，如图10。

图10 不同工况钢绞线中心钢丝一阶纵向导波的频率-波数曲线Fig. 10 Central wire frequency-wave number curve in steel strands under different conditions

由图10可知，当外围钢丝仅对中心钢丝施加法向约束作用时，一阶纵向导波模态在500 kHz附近出现缺失；当外围钢丝对中心钢丝同时施加法向和切向约束作用时，一阶纵向导波模态同样在500 kHz附近缺失，且300kHz附近出现模态转角。结果表明，外围钢丝对中心钢丝的切向约束作用是引起一阶纵向导波模态转角的原因，而法向约束作用仅引起一阶纵向导波模态部分频带缺失。

3.4 模态转角随钢绞线拉应力变化关系

为准确计算模态转角，对图9中模态分布云图进行简化处理。将通过二维傅里叶变换得到的包含频率-波数-幅值信息的三维矩阵，按列进行划分，提取每列的最大值及最大值位置，根据求得的幅值矩阵各列最大值坐标，绘制其在频率-波数平面的散点图，并采用直线y=kx+b对投影点进行拟合。模态转角主要出现在200～400 kHz频率范围内，对该频段简化之后得到图11。定义两直线L(0，1，1)和L(0，1，2)之间的交角为一阶纵向导波模态转角，如图12。

图11 简化模态分布Fig. 11 Implification of mode graph

图12 模态转角计算方法Fig. 12 Calculation methods of mode bifurcation angle

工程中常用钢绞线的抗拉强度标准值为1 860 MPa，分别进行10%、20%、30%、40%、50%、60%、70%、80%、90%、100%倍抗拉强度标准值荷载作用下钢绞线导波传播模态分析。按文中模态简化提取方法进行数据处理，计算直线L(0，1，1)和L(0，1，2)各参数，结果见表2。

表2 参数计算Table 2 Calculation parameters

由表2可知，随着钢绞线张拉力的增加，钢丝间的相互约束逐渐增强，一阶纵向导波模态转角逐渐增大。回归分析轴向张拉力与模态转角之间的函数关系如图13。

图13 应力与模态转角的关系Fig. 13 Relationship between mode bifurcation angle and stress

由图13可知，当拉力较小时，一阶纵向导波模态转角现象不明显，采用简化方法计算的转角误差较大，不考虑10%荷载等级，拟合钢绞线应力σ(单位：MPa)与模态转角关系：

σ= 69.45θ3.275

(10)

3.5 考虑钢绞线螺距及摩擦系数影响的张拉力计 算简式

根据S. MACHIDA等[13]的研究成果，七芯钢绞线中，钢丝间的法向接触力p与钢绞线所受的轴向张拉力成正比：

(11)

式中：F为作用在钢绞线上的轴向张拉力，N；h为钢绞线的螺距，m。

采用“罚”摩擦公式模拟钢绞线间的切向作用时，当未达到临界切向摩擦力，切向摩擦力τ与法向接触力p成正比：

(12)

式中：μ为摩擦系数。

由式(12)可知，钢绞线张拉力与钢丝间摩擦力呈线性关系，考虑式中螺距和摩擦系数影响，对有限元计算结果进行修正，得：

(13)

式中：A为钢绞线截面积，A=144 mm2；μ0为有限元计算模型摩擦系数，μ0=0.6；h0为模型钢绞线螺距，h0=0.26 m。

从而可得到钢绞线张拉力计算简式：

4 结 论

1)推导了边界自由及表面固结条件下单根钢丝理论频散曲线分布，基于二维傅里叶变换的有限元仿真计算值与理论计算值完全吻合。

2)随着钢丝表面约束刚度增大，一阶纵向导波频散曲线整体向高频部分偏移，低波数部分偏移现象明显，在频率300 kHz附近出现模态转角。

3)受钢绞线张拉力作用，钢绞线外围钢丝对中心钢丝提供了弹性约束作用。对比分析了钢丝间法向约束作用和切向约束作用模态变化规律，引起300 kHz附近出现模态转角的原因是钢丝间的切向约束力。

4)对不同张拉力条件下的模态转角进行了回归分析，考虑钢绞线螺距与钢丝摩擦系数对回归式的影响，建立了一阶纵向导波模态转角与钢绞线张拉力之间的幂函数关系式。