初中数学中利用几何知识求函数最值问题研究

倪凤香

摘 要：在初中数学教学中，求函数的最值问题一直是教学的一个重点与难点。从初中数学函数最值教学中存在的问题出发，重点阐述了利用几何的相关知识解决函数最值问题的一些方法和手段。

关键词：几何知识；函数最值；研究

函数作为初中数学中的一个重点教学内容，是学生学习的基础与进一步进行学习的保障。在初中数学中的函数学习中，求最值是一个重要的内容，同时也是教师教学过程中的一个难点。求函数的最值的方法非常灵活，能对学生的综合能力做出了重点考查，很多时候需要学生能够熟练地运用数学各方面的分支内容，因此，在解题过程中，学生能否找出最简单、最正确的方法来进行是一个重要的教学内容。在实际的教学实践中，我逐渐发现几何图形可以作为研究函数性质的一个重要辅助工具，可以将函数复杂的知识结构变得简单，使学生更快速、灵活地进行解答。

下面，我将结合自身实际的教学经验，研究利用函数的不同形式给出几何知识的解决应用有效的方法帮助学生分析几何与函数的关系，从而帮助学生快速地掌握解答的关键，提升学生解决问题的能力，以供参考。

一、函数最值对教学的意义分析

函数是初中数学教学中的一个重要组成部分，对于整个初中数学体系的学习都具有重要的意义和作用。在初中函数教学中，最值是一个尤为重要的内容，是函数的一个重要的形态，并且，在实际生活中，最值也可以帮助我们解决很多问题，函数最值的求解也因此具有非常强烈的现实意义。在过去的初中函数教学中，最值问题一直是一个教学的重难点，而且在求解时也会涉及整个函数体系的知识，因此，如何在教学中帮助学生顺利理解最值的含义并且快速找出最有效的求解方案是历来初中数学教师的一个教学难题。

二、用几何知识解决函数最值问题的意义以及现状

1.利用几何知识求函数最值的意义

几何是初中数学中的一个关键教学内容，同时也可以作为研究函数性质的一个重要的辅助工具。在实际的教学过程中，如果将函数的特性利用几何知识呈现出来，则可以使函数本身的特性直观地展现出来，通过这般形象化地展示在学生的眼前，可以使学生更轻易地理解。

实际上，数学中很多的抽象知识都隐含着图形的信息，因此，在初中数学教学中，如果可以将一些原本看似复杂的数学知识利用图形表现出来，会更加容易进行研究，则可以使其得到迅速的破解。

2.利用几何知识求函数最值的教学现状

最值问题是我们的日常生活与工作中都非常容易碰到的一类问题，具有非常重要的现实学习意义。在传统的初中数学函数最值教学中，大多数教师为了提升学生的考试成绩，会对学生采用“背题”式的教学方法，让学生生硬地记住一些常规的解题方法，在考试时进行套用。目前，由于新课程改革的提出，作为初中数学关键组成部分的函数教学也在不断地进行方法的创新，其中，运用几何知识求函数最值就是一个有效的新型手段。

经过调查研究，目前在函数最值领域中运用几何知识的方法主要有两种：数形结合法和向量法。其中通过细致的划分，数形结合法可以分为使用截距的方法求函数的最值和使用构造法求函数的最值两种，而向量法则可以分为利用向量中的数量积求函数的最值和利用三角不等式求函数最值两种。

三、利用几何知识求函数最值的策略探究

1.利用数形结合的方法求函数最值

数与形是数学中研究的两个最基本的内容，在初中数学知识体系中，基本所有的問题都可以围绕数与形的发展进行展开。在每个几何图形中都包含着一定的数量之间的关系，同时，数量之间的关系也可以通过一些图象表现出来。因此，在解决某些数学问题时，可以将数的问题首先用图形表示出来，找到其中涉及的几何意义，将数量关系与几何进行有机的结合，这种处理的方法就是数形结合法。经过实践探索分析，数形结合法同样可以应用在函数最值求解中。

传授给学生数形结合的思想，不仅能够帮助学生掌握基本的解题手段，同样还能提升学生的思维迁移能力，加强学生的空间意识，对学生的数学素养的提升具有重要的意义。下面是用实例来对数形结合应用在函数最值问题中的说明。

（1）用截距求函数最值

截距是函数与坐标轴的交点中的一个知识。在初中函数最值问题中存在着一些诸如y=f（x）+/-g（x）的最值求解问题。这类问题是函数最值的基础性问题，同时也是函数最值问题的核心问题，因此，在教学过程中教师一定要重视学生解决这类基础问题的能力。在解决这类问题时，我们可以发现，问题并未直接地给出函数来让我们解答，而是通过函数的构造来进行问题的展示，这时，我们可以指导学生通过将这些问题利用数形结合的方法进行函数最值的构造，从而进行解答。

比如例子：两个数x与y满足2x2+y2-5x=5，然后需要我们求出x+y的值。在这个问题中，题目非常的简洁，但是在实际的求解中却与我们的传统认知不同，不是我们平常提起过的函数问题，这个时候，我们就可以使用数形结合的方法，构造出a=x+y，所以y=a-b，这样就将原函数转化成了求y=a-b在y轴上的截距问题。在接下来的解答中，还涉及了求截距的最大值与最小值的问题。

这类问题是初中数学求函数最值的一类非常简单的问题，其中涉及了用力截距求函数最值的核心知识。在实际的教学过程中，教师应当将这类问题作为函数最值教学的基础来进行详细的讲解，帮助学生掌握解决这类问题的思想关键，在遇到类似的问题时，首先要弄清楚已知的条件，构造简单的一元函数，在初期不熟练的阶段还可以通过画图进行分析，让思路更加清晰。

（2）用构造法求函数最值

在初中数学的整个体系中，构造法是一种非常有效并且常见的解题方法，在求函数最值问题中也发挥着巨大的作用。针对初中数学的教学内容与教学目标，现阶段经常使用到的构造法主要涉及两方面的构造，一是构造矩形来求函数的最值，另一个是构造立体的图形来求解函数的最值。

比如在教学过程中，我们经常会看到一些形如x2+y2的题目出现，这种形式的问题很容易使我们想到勾股定理（a2+b2=c2），结合实际的教学经验，在遇到此类的问题时，我们可以指导学生首先考虑构造矩形。如，题目：已知x+y+z=1，求的最小值，在解决这个问题时，可以首先根据x+y+z=1构造出一个边长为1的正方形，使其中的一对临边的一条长度为x，y，z，另一边为y，z，x，画出大致的图象，由图形观察两点之间直线的最短距离，从而求出最小值。在这类问题中，上述例题只是一个最简单的问题，但是却能够体现出利用构造句型来解决函数最值问题的核心，值得引起初中数学教师的重视。

另外一种构造立体图形的方法也是一种常见的解决函数最值问题的数形结合方法，例如：x2+y2+z2=2，求xyz的最小值，针对这类问题，我们可以将x，y，z构造为一个长方体的三条边，x等于，y等于，z等于，然后将这些代换到xyz，根据不等式求解出最小值。

2.利用向量法求函数的最值

在求解函数最值的几何方法中，向量法同样是一种非常重要的解题手段，向量法也就是构造向量，在具体的解题过程中，学生可以利用向量的一些不等式和性质作为依据，从而对函数的最值问题进行求解。向量是初中数学教学的一个必学内容，其中蕴含的数学思想对于学生把握整个初中数学体系都有有力的帮助，将向量与函数问题进行有效的融合，对巩固学生的数学知识并且提升学生的数学实际应用能力具有重要的意义。

（1）利用向量的数量积性质求函数最值

在初中数学函数部分的学习中，我们经常会遇到一些看上去非常难以解答的最值问题，这些问题一眼看上去很难找到解题的思路，给学生的学习造成了很大的困难，但是实际上，在面对这些问题时，教师可以指导学生利用向量中的一些与数量积相关的基本性质来进行解决。对某些函数最值问题构造适当的向量条件，可以将原本复杂的問题简单化，从而快速地解决。

例如：设有两个实数x和y，在满足5x2+y2≤8的前提下，现在需要我们计算出z=2x+7y的最大值。在面对这种类型的问题的时候，我们首先可以考虑向量化={，}，={，}，然后带入到，，然后根据≥·来计算出其中的最大值。

值得注意的是，在利用向量积求函数最值的过程中，构造的过程一定要合理，要通过练习使学生可以找出最为方便的向量构造，以得到快速解题的关键；另外，在构造的过程中很多时候会用到不等式的知识，在这个阶段里一定要注意不等式的等号成立的条件，学生要多依靠练习获得经验判断等号是否能取到，这是解题正确的重要依据。

（2）利用函数的三角不等式求函数最值

在初中数学内容中，三角不等式是解决大多数数学问题都会用到的一个有效的公式，在整个数学知识体系中都占据着重要的地位。三角不等式的内容非常简单，就是在三角形中两条边之和大于第三边，公式可以表示为a-b≤a±b≤a+b，根据这个公式，我们可以将其运用在求函数最值的问题中。

例如：要求求出函数y=的最小值，在面对这种问题时，我们可以将原函数进行因式分解，例如在这个问题中可以化为y=+，接着将y的两个部分分别用向量与表示，然后利用y=a±b≤a+b来计算出这个问题的最小值。

上面提到的是利用三角不等式求解函数最值的一个典型的问题，也是一个非常基础的问题，在实际的学习中，学生很可能会碰到更多更复杂的问题，这个时候，教师应当指导学生做题要认真、耐心和细致，利用学习过程中涉及的思想将问题进行一步步的划分，不要着急。另外，在实际的做题过程中，除了化为两个向量还有可能会碰到需要化为三个向量的情况，教师应当对学生有针对性地进行课后练习，帮助学生熟练地掌握这些方法。

在初中函数最值问题教学中采用几何知识来进行解决，可以帮助学生同时对几何知识进行熟练的掌握，一举双得。从前面的分析可以看出，在进行简单的函数最值问题求解时，可以进行直接的常规求解或者几何知识的转化，但是在进行比较复杂的函数最值求解时，则对学生的创新意识有了需求，要学生可以对其中隐藏的几何知识进行发掘，还要有联想的能力。初中数学教师应当重视起利用几何知识求解函数最值的问题，帮助学生更快速地对这种问题进行解答，同时还能培养学生的几何直观能力，提升学生的创新能力，对学生的综合能力发展具有重要的意义。

参考文献：

[1]孙心怡.初中数学函数图象的教学策略研究[D].华中师范大学，2017.

[2]肖霄.初中生函数应用题解题障碍的研究[D].西南大学，2014.