时、频效应实验及数学关系式的验证

梁世铎

(温州市航海学会，浙江 温州325000)

0 引 言

根据多普勒效应[1]，观测者与波源之间存在相对运动时，测者测得波源频率不等于波源发射频率；相互靠近运动时，测者测得频率高于波源发射频率；相互背离运动时，测得频率低于波源发射频率。该实验笔者在1988年就做过声波实验了。

测者A用两只电子秒表，分辩率为0.01s，一只由B拿着坐在出租车上(在温州牛山北路测速段)，A站在路旁，小车以90km/h(25m/s)速度向着A方向行驶，B每隔2s说一声“按”，司机就按响喇叭，A听到喇叭声①，立即按下秒表，再一次听到喇叭声②，就按停秒表。A测下喇叭声①与喇叭声②的时间间隔。①声号与②声号不是在同一地点发射的，两者相差50m(25m/s×2s)，这50m，声波需走0.14s(50m/340m/s)。小车背离A行驶与向着A行驶，测得的时间间隔t=2±0.14s(见图1)。

图1 声源移动与声波传播图

A在坐标S系原点O处，波源在X轴X1处，声信号①由X1传送到O点，传送距离为C0t1。在发射信号①的瞬间，向测者(或背离测者)以U0的速度运动了t时间间隔，运动了U0t的距离，至X′(X″)处的瞬间，发射了信号②，信号②由X′(X″)处传送了C0t′(C0t″)距离到达O点，由此建立式(1)：

C0t′-C0t1=U0t

(t′-t1)C0=U0t

∵t′

∴-△tC0=U0t得

-△t=tU0/C0

(1)

式(1)为波源向着测者运动的关系式。

同理：波源背离测者运动的关系式：C0t″-C0t1=U0t整理，得式(2)：

△t=tU0/C0

(2)

可知，小车背离测者运动了50m(或向着测者)的间隔发射了两个声号，50m声波需走0.14s，故测得结果为2s± 0.14s。

该实验是用声波声速(340m/s)做实验，如果用光波光速(299792458m/s)做实验，精度要求太高，50m光波只需1.6×10-7s，该精度一般仪器达不到要求。

2013年笔者得到欧伦福平板PSD-3型、K波(2.413209697×1010Hz)雷达测速仪，在观测中，PSD-3型与平板电脑连接，在平板电脑上有数据“雷达速度与多普勒频率输出”，有效距离100m。

1 频率效应式[2]

f=f0(1+cosβ0u0/C0)/(1-cosα0u0/C0)

(3)

式(3)中：f为观测频率；f0为发射频率；β0为测者接收运动视分量角；α0为发射源运动视分量角。雷达波往返是瞬间完成的，故接收视分量角β0与发射视分量角α0相等，即β0=α0=α，式中运动速度也相等，即u0=U0，C0为光速。

将式(3)整理得式(4)：

f/f0=(1+cosαU0/C0)(1+cosαU0/C0)(1-cosαU0/C0)(1+cosαU0/C0)

1+Δf/f0=1+2cosαU0/C0

得Δf=2f0cosαU0/C0

(4)

因PSD-3雷达测速仪的有效观测距离为100m，车速不可过快，以36km/h(10m/s)较为理想，这样往返100m可以测得20多个数据。

PSD-3雷达测速仪[3]观测中，小车向着测者以36km/h匀速行驶时，由式(4)可知：

当α′=0时，Δf=f02U0/C0,U0=ΔfC0/2f0

(5)

将f=2.413209697×1010Hz

U0=10m/s

C0=299792458m/s

代入式(4)

得：Δf=1609.92Hz

小车一路驶来，车速保持36km/h匀速，而雷达测速仪所测数据是变化的，如图2所示。

图2 雷达测速视分量角变化图

当：α1=30°.558，U1=31km/h，Δf1=1386.32Hz；

α2=60°，U2=18km/h，Δf2=804.86Hz；

α3=90°，U3=0，Δf3=0；

α4=120°，U4=-18km/h，Δf4=-804.96Hz；

α5=149.442°，U5=-31km/h，Δf5=-1386.32Hz；

α″=π，U″=-36km/h，Δf=-1609.92Hz。

由图2可见，随着小车(匀速直行)相对测者的运动视分量角是变化的，由式(4)知，雷达测速仪所测出的数据也不同，多普勒频率Δf是接收频率f与发射频率f0之差(Δf=f-f)。一般的雷达测速仪将接收返射雷达波f与雷达本振雷达波f0混频，将多普勒频率Δf再由式(5)计算而得小车行驶视速率U，而PSD-3雷达测速仪将多普勒频率Δf数据也显示出来，见图3。

图3 PSD-3雷达测速仪在平板电脑上所得数据

由于路上车辆多，很难得到理想的数据。图3中的数据是在温州市瓯江七都岛屿北面沿江边道上而测，该道路平直，没有来往车辆，小车保持时速36km，按图2的示样，往返200m行驶，测得多组数据，图3为其中一组，较为理想，“+”为向着测者行驶，“-”为背离测者行驶。

在此，首先对图3数据组进行验证，见表1。

表1 对雷达测速仪数据验证

由以上系列计算的数字与图3中数据的验证；式(3)、(4)可行，经得起实验的验证。得出以下结论：

(1)P0为蓝移(靠近测者)和红移(背离测者)的临界点，蓝移过程，视速率在渐渐变慢，至临界点时，视速率为零(与车辆真速度快慢无关)，过临界点后，红移视速率渐渐变快。

(2)观测过程，视分量角都在渐渐变大(0→π)。

(3)观测频率在渐渐变低(观测周期在渐渐变慢，作者的8位数微波观测仪有效距离能达100m，就可直观周期在观测中，只会在渐渐变慢)，与频率源向着测者或背离测者无关。

(4)匀速直线运动的发射源，在蓝移区与红移区以临界点为基点，视分量角和视速率两边对称。

2 巴纳德星[4]

1916年由美国天文学家巴纳德(Edward Emerson Barnard，1875-1923)发现，自行为每年10.3角秒，所有恒星中年自行值最大的飞行之星“巴纳德星”。

笔者现知两个数据；SIMBAD是106.8km/s与ARIONS是110.8km/s，而且观测视速率向太阳系靠近，年自行值为10.31角秒，知道巴纳德星在蓝移区，向临界点P0靠近，而自行值在变大(对于同等的矢量，离临界点越近，其张角越大)。

设：1916年，巴纳德星视速率U1为110.8km/s，年自行值Δθ′为10.3角秒，视分量角为α1， 2017年视速率U2为106.8km/s，年自行值Δθ″为10.31角秒，视分量角为α2。由1916年至2017年总计101年自行总量为θ=(0°0′10.3″+0°0′10.31″)101/2=0°17′20.81″。

图4 蓝移区示意图

设巴纳德星真速率为U0,U0=U1/cosα1，U0=U2/cosα2=U2/cos(α1+θ)

得U1/cosα1=U2/cosα1cosθ-sinα1sinθ

整理：U2/U1=(cosα1cosθ-sinα1sinθ)/cosα1

U2/U1=cosθ-tgα1sinθ

得tgα1=(cosθ-U2/U1)/sinθ

(6)

将：U1=110.8，U2=106.8，θ=0°17′20.81″代入式(6)，

得tgα1=7.15191873，α1=82°2′25.29″

巴纳德星真速率：

U0=U1/cosα1=800.1413348km/s，α2=α1+θ=82°19′46.1″

巴纳德星真速率：

U0=U2/cosα2=800.1413372km/s

在图4中的X轴P1点上，有两艘飞船①、②，同一瞬间从P1出发。①飞船向P点以光速飞行，经过t1时间间隔到达P点，在P点等候，②飞船先沿X轴向P2点以U0速率飞行，经过t0时间间隔到达P2点，即刻转向P点，以光速飞行，经过t2时间间隔到达P点，此瞬间而①飞船在P点已等侯了t时间间隔。

①飞船用时t1+t，②飞船用时t0+t2，①飞船与②飞船在同一瞬间从P1点出发，又到达同一点P,只是①飞船早到了t时刻,两飞船用时相等,得t1+t=t0+t2

(7)

C0t1=L1

C0t2=L2

从图4中知：

∵L1≠L2

∴t1≠t2t≠t0,将地球时转换成巴纳德星时。将式(3)变换为：

t=t0(1-cosαU0/C0)(1+cosβU0/C0)

(8)

因地球天文台观测所有星空天体的自行与视速率，都是以太阳系为参照，故(8)式中U0=0,(8)式成为：

t0=t/(1-cosα0U/C)

(9)

巴纳德星现年自行值Δθ″=10.31″,将α3=α2+Δθ″=82°19′56.41″、U0、C0、Δt代入式(9)，得：t0″=1.000356241年。

取t0′、t0″平均值Δt0=1.000356307年，地球1年时，巴纳德星而为1.000356307年时。

将图4中Δ1计算出距离,Δ1=Δt0×U0/C0=2.669934978×10-3光年。

在△PP2P3中：Δ1/sinΔθ″=L3/sinα2=L2/sin(180-α3)

L3=Δ1·sinα2/sinΔθ″=52.93751987光年,t3=52.93751987年。

L2=Δ1·sinα3/sinΔθ″=52.93787618光年,t2=52.93787618年。

由式(7)同理知，

t2+Δt=Δt0+t3

t2+Δt=53.93787618年

Δt0+t3=53.93787618年

由以上数据得知式(7)正确。

在△PP1P2中：L1/sin(1800-α2)=L2/sinα1，

L1=L2·sinα2/sinα1=52.97471293光年,t1=52.97471293年。

将t1=52.9747293年，t=101年，t2=52.93787618年代入式(7)，得：

t0=t1+t-t2=101.0368368年，由地球时101年求知巴纳德星101.0368368年。

式(6)不但满足蓝移区，也能满足红移区，过蓝红移临界点后进入红移区,视速率渐渐变大。仍以巴纳德星为例，将：U1=106.8km/s，U2=110.8km/s，θ=0°17′20.81″，代入式(6)，得：

tgα1=-7.424921349，α1=-82°19′46.1″=180-82°19′46.1″=97°40′13.9″，真速率U0=U1/cosα1=-800.1413372km/s

α2=α1+θ=-82°2′25.29″=180-82°2′25.29″=97°57′34.71″ ，真速率U0=U2/cosα2=-800.1413348km/s。

式(6)能满足视速率为蓝移的天体,也满足视速率为红移的天体。可以先对太阳系临近的而视速率存在变化的天体进行测算,求知真速率、真距离。随着时间的推移，渐测求知远离太阳系的天体，将对宇宙有一新认识。